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专题 04 万有引力
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
要求考生从宏大且复杂的宇宙场景中
考点1 行星的
2021、2023、 提炼出点质量、中心天体环绕等万有引力
运动
模型。在知识考查方面，不再局限于基础
的万有引力公式计算，而是深入挖掘其与
牛顿运动定律、能量守恒的内在联系。比
如，通过分析卫星在椭圆轨道上的运动，
综合考查万有引力提供向心力、机械能守
恒等知识，对开普勒定律的考查也从单纯
的记忆上升到结合实际情境的深度应用，
例如利用开普勒第三定律分析不同天体系
统中行星或卫星的运动特征。
从能力考查维度来看，对逻辑推理与
数学运算能力的要求显著提升。试题常设
置多过程、多变量的复杂情境，要求考生
考点2 万有引 依据已知条件，通过严谨的逻辑推导，构
力定律及其应 2022、2023、2024、2025 建物理方程，运用三角函数、开方运算等
用 数学工具求解天体质量、密度、轨道参数
等关键物理量。同时，注重对考生科学思
维的考查，如通过类比、迁移等思维方
法，将熟知的地球卫星模型拓展到其他恒
星 - 行星系统或双星、多星系统。部分
试题还会引入新的科研成果或理论假设，
如引力红移、广义相对论中的时空弯曲对
万有引力的影响等，考查考生在新情境下
获取信息、分析问题、应用知识的创新能
力，以此全面检验考生对万有引力知识的
掌握程度以及物理学科核心素养的发展水
平 。
考点01 行星的运动1．（2023·北京·高考）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太
阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用
时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过
程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是
（ ）
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
【答案】A
【详解】A．因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面
平均每天约转动1°，故A正确；
B．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，
故B错误；
Mm
C．根据G =ma 可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C
r2
错误；
D．“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的
距离，故D错误。
故选A。
2．（2021·北京·高考）2021年5月，“天问一号”探测器成功在火星软着陆，我国成为世界上第一个首次
探测火星就实现“绕、落、巡”三项任务的国家。“天问一号”在火星停泊轨道运行时，近火点距离火星
表面2.8×102 km、远火点距离火星表面5.9×105 km，则“天问一号” （ ）
A．在近火点的加速度比远火点的小 B．在近火点的运行速度比远火点的小
C．在近火点的机械能比远火点的小 D．在近火点通过减速可实现绕火星做圆周运动
【答案】D
Mm GM
【详解】A．根据牛顿第二定律有G =ma 解得a= 故在近火点的加速度比远火点的大，故A错误；
r2 r2
B．根据开普勒第二定律，可知在近火点的运行速度比远火点的大，故B错误；
C．“天问一号”在同一轨道，只有引力做功，则机械能守恒，故C错误；
D．“天问一号”在近火点做的是离心运动，若要变为绕火星的圆轨道，需要减速，故D正确。故选D。
考点02 万有引力定律及其应用
3．（2025·北京·高考）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆
形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确
的是（ ）
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
【答案】A
【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能
定理，动能逐渐减小，A正确；
Mm M
B．探测器受到万有引力，由G =ma 解得a=G 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐
r2 r2
渐变小，B错误；
C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨
道1上的机械能，C错误；
Mm 4π2 4π2r3
D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G =m r 解得M= 利用
r2 T2 GT2
引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
故选A。
4．（2024·北京·高考）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体
等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O为观测
点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象。当前P到O点的距离为r ，宇宙的密度为ρ 。
0 0
（1）求小星体P远离到2r 处时宇宙的密度ρ；
0
（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中
m m
于O点对P的引力。已知质量为m 和m 、距离为R的两个质点间的引力势能E =− G 1 2，G为引力常
1 2 p R
量。仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动。a．求小星体P从r 处远离到2r 。处的过程中动能的变化量ΔE ；
0 0 k
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系
数。H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小。
1 2
【答案】（1）ρ= ρ ；（2）a．ΔE =− Gπρ mr2 ；b．H随t增大而减小
8 0 k 3 0 0
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为r 和2r 的球内
0 0
4 4 1
质量相同，即ρ ⋅ πr3=ρ⋅ π(2r ) 3 解得小星体P远离到2r 处时宇宙的密度ρ= ρ
0 3 0 3 0 0 8 0
4
（2）a．此球内的质量M=ρ ⋅ πr3 P从r 处远离到2r 处，由能量守恒定律得，动能的变化量
0 3 0 0 0
Mm GMm 2
ΔE
k
=− G
r
− ( −
2r
)=−
3
Gπρ
0
mr2
0
b．由a知星体的速度随r
0
增大而减小，星体到观测点距离越
0 0
大，运动时间t越长，由v=Hr知，H减小，故H随t增大而减小。
5．（2023·北京·高考）在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳
一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用
停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正
确的是（ ）
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
FRt2
B．小球的质量为
4π2n2
C．若误将n−1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
【答案】A
【详解】A．空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；
2πn Ft2
B．根据F=mω2R，ω= 解得小球质量m= 故B错误；
t 4π2n2R
C．若误将n-1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；
D．若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误。
故选A。
6．（2023·北京·高考）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有
极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运
动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求r≤R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关
系图像，如图所示，根据在r>R范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r>R）存在
一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r=nR内
暗物质的质量M′。
【答案】（1）v=❑
√GM
；（2）v=r❑
√GM
；（3）M′=(n−1)M
r R3
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有G
Mm
=m
v2
解得v=❑
√GM
r2 r r
M 4 Mr3
（2）在r≤R内部，星体质量 M 0 = 4
πR3
⋅ 3 πr3= R3 由万有引力定律和向心力公式有G
r
M
2
0 m =m v
r
2
3
√GM
解得v=r❑
R3
Mm
v2
（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G =m 0 对处于r=nR处的恒星，由
R2 R
(M+M′)m v2
万有引力定律和向心力公式有G =m 0 解得M′=(n−1)M
(nR) 2 nR
7．（2022·北京·高考）利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
（1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为v，在远日点速度为v。求从近日点
1 2
到远日点过程中太阳对行星所做的功W；
r3
（2）设行星与恒星的距离为r，请根据开普勒第三定律（ =k）及向心力相关知识，证明恒星对行星的
T2
作用力F与r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流
浪”后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为T，绕此恒
1
T
2
星公转的周期为T，求 。
2 T
1
1 1 T
【答案】（1）W= mv2 − mv2 ；（2）见解析；（3） 2 =4❑√2
2 2 2 1 T
1
1 1
【详解】（1）根据动能定理有W= mv2 − mv2
2 2 2 1（2）设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为m，运动半径为r，运动速度大小为v。恒星对行星的
v2 2πr r3
作用力F提供向心力，则F=m 运动周期T= 根据开普勒第三定律 =k，k为常量，得
r v T2
4π2km
F= 即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
r2
（3）假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为r的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量
P
为P。以恒星为球心，以r为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量P= 0 设地球绕太
0 4πr2
阳公转半径为r 在新轨道上公转半径为r。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须满足P不
1 2
变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得r = 4r 设恒星质量为M，地球在轨道上运
2 1
GMm 4π2 √4π2r3
行周期为T，万有引力提供向心力，有 =mr 解得T=❑ 由于恒星质量是太阳质量的2
r2 T2 GM
T
倍，得 2 =4❑√2
T
1
1．（2025·北京东城·二模）质量为m的物块静止放置于地球赤道某处的水平桌面上。已知地球质量为M，
半径为R，自转周期为T，引力常量为G。若考虑地球自转，将地球视为质量均匀分布的球体，则物块对桌
面的压力大小F等于（ ）
Mm 4π2
A．G B．m R
R2 T2
Mm 4π2 Mm 4π2
C．G −m R D．G +m R
R2 T2 R2 T2
【答案】C
GMm 4π2 GMm 4π2
【详解】对物块，由牛顿第二定律有 −F =m R 解得物块受到的支持力F = −m R 根
R2 N T2 N R2 T2
GMm 4π2
据牛顿第三定律，可知物块对桌面的压力F大小为( −m R)。
R2 T2
故选C。
2．（2025·北京昌平·二模）2025年3月26日，我国在西昌卫星发射中心成功将“天链二号04星”发射升
空，该星是地球同步轨道数据中继卫星。已知“天链二号04星”的轨道半径约为地球半径的6倍，某卫星
在近地圆轨道运行时周期为T 。则“天链二号04星”的周期约为（ ）
0
A．6T B．❑√6T C．6❑√6T D．36T
0 0 0 0
【答案】C
R3 (6R)3
【详解】设地球半径为R，根据开普勒第三定律有 = 联立解得“天链二号04星”的周期
T2 T2
0 2
T =6❑√6T
2 0故选C。
3．（2025·北京通州·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船将三名航天员送入太空，飞船入轨后
按照预定程序与天和核心舱对接。飞船与核心舱对接过程的示意图如图所示。飞船从圆轨道Ⅰ，通过变轨
后，沿椭圆轨道Ⅱ由A处运动到B处，与沿圆轨道Ⅲ运行的核心舱对接，对接后的组合体继续在圆轨道Ⅲ
上运行。在上述过程中，飞船（ ）
A．由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需在B处减速
B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等
C．在轨道Ⅰ上A处的速度小于在轨道Ⅲ上B处的速度
D．在轨道Ⅱ上由A到B的时间大于在轨道Ⅲ上运行周期的一半
【答案】B
【详解】A．需在B处加速，做离心运动，才能由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，A错误；
Mm
G
B．在B处与核心舱对接前后的加速度相等，加速度大小为 r2 M ，B正确；
a= =G
m r2
C．根据G
Mm
=m
v2
，解得v=❑
√GM
，轨道半径越小，速度越大，所以在轨道Ⅰ上A处的速度大于在轨道
r2 r r
Ⅲ上B处的速度，C错误；
D．根据开普勒第三定律，在轨道Ⅱ上运行周期小于在轨道Ⅲ上运行周期，所以在轨道Ⅱ上由A到B的时
间小于在轨道Ⅲ上运行周期的一半，D错误。
故选B。
4．（24-25高三下·北京海淀·一模（期中））2024年6月，“嫦娥六号”探测器成功着陆在月球背面预选
着陆区，开启人类探测器首次在月球背面实施的样品采集任务。“嫦娥六号”被月球捕获进入月球轨道的
部分过程如图所示：探测器在椭圆轨道1运行经过P点时变轨进入椭圆轨道2、在轨道2上经过P点时再
次变轨进入圆轨道3。三个轨道相切于P点，Q点是轨道2上离月球最远的点。下列说法正确的是
（ ）A．探测器从轨道1进入轨道2的过程中，需点火加速
B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，机械能越来越大
C．探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点时的加速度相同
D．探测器在轨道3上运行的周期大于其在轨道1上运行的周期
【答案】C
【详解】A．由轨道1变到轨道2，半径减小，做近心运动，因此需要在P点减速，故A错误；
B．探测器在轨道2上从P点运行到Q点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；
GMm
C．根据牛顿第二定律，有 =ma由于探测器分别沿着轨道2和轨道3运行，经过P点的距离r相同，所
r2
以经过P点时的加速度相同，故C正确；
a3
D．根据开普勒第三定律 =k可知，轨道1的半长轴大于轨道3的半长轴，所以在轨道1上运行的周期比
T2
在轨道3上运行的周期大，故D错误。
故选C。
5．（24-25高三下·北京海淀·一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发
生变化，这是我们熟悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子会吸
收和发出某些特定波长的电磁波，我们观测到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原子引起的吸
收谱线。已知钠原子具有一条波长为5895.9A (1A=10−10mm)的特征谱线（D 线）。研究人员在观测某双
1
恒星系统时，从t=0时开始在表中记录双恒星系统中的钠原子在D 线对应波长处的吸收光谱，其中1号恒
1
星和2号恒星在吸收波长处吸收光谱的波长分别为λ 和λ 假定研究人员处于双恒星运动所在平面，双恒星
1 2
均近似做匀速圆周运动，且不考虑双恒星系统质心（质点系的质量中心）的运动。不考虑相对论效应和宇
宙膨胀的影响。关于该双恒星系统，下列说法正确的是（ ）
t/d λ/A λ/A
1 2
0.3 5893.1 5897.5
0.6 5892.8 5897.7
0.9 5893.7 5897.2
1.2 5896.2 5896.21.5 5897.3 5895.1
1.8 5898.7 5894.3
2.1 5899.0 5894.1
2.4 5898.1 5894.6
2.7 5896.4 5895.6
3.0 5894.5 5896.7
3.3 5893.1 5897.3
3.6 5892.8 5897.7
3.9 5893.7 5897.2
A．双恒星绕质心转动的周期约为1.8d
B．t=1.5d观测到波长为λ 的光是1号恒星靠近观测者时发出的
1
C．在2.7d~3.0d间观测到波长为λ 的光是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的
1
D．通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星质量较小
【答案】D
【详解】A．从表中数据来看，波长从一种状态变化回类似状态的时间间隔约为3.0d，因为双恒星绕质心
转动时，会引起光的多普勒效应，从而导致观测到的波长周期性变化，这个周期就等于双恒星绕质心转动
的周期，所以双恒星绕质心转动的周期约为3.0d，故A错误；
D．如图所示
M点表示恒星相对观察者在靠近，且靠近速度最大的位置，根据多普勒效应，频率应在其数据中最大，波
长应在其数据中最小；同理N点表示波长应在其数据中最大。表中1号恒星的最短波长（对应其做大频
率）为5892.8A，2号恒星最短波长（对应其最大频率）5894.1A，可以看出1号恒星的最短波长更短，
则对应最大频率更大，说明1号恒星相对观察者靠近的最大速度更大。说明其对应的轨道半径更大，即M
点所在的圆轨道。根据双星知识，轨道半径与质量成反比，则1号恒星比2号恒星质量小，故D正确；
BC．根据前面的分析，图中M点对应1号恒星波长最小的时刻，即t=0.6d，那么其再转四分之一周期后
（即t=1.35d）离观测者最近，再过半个周期后（即t=2.85d）离观测者最远，再次离观测者最近时
t=4.35d，则在2.7d~3.0d间观测到波长为λ 的光不是1号恒星在距离观测者最近位置附近发出的，
1t=1.5d时1号恒星一定是远离观测者，故BC错误。
故选D。
6．（2025·北京西城·一模）北斗卫星导航系统中包含地球静止卫星，即相对地面静止的卫星。静止卫星的
（ ）
A．周期大于地球自转的周期
B．线速度大于地球的第一宇宙速度
C．向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度
【答案】D
【详解】A．相对地面静止的卫星的周期与地球自转的周期相等，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力G
Mm
=m
v2
可得v=❑
√GM
第一宇宙速度是在地球表面运动的卫星的速度，
r2 r r
相对地面静止的卫星的轨道半径大于在地球表面运动的卫星，即静止卫星的线速度小于地球的第一宇宙速
度，故B错误；
Mm GM
C．根据牛顿第二定律G =ma 可得a= 可知向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；
r2 r2
D．根据a =ω2r可知向心加速度大于地球表面物体随地球自转的向心加速度，故D正确。
n
故选D。
7．（2025·北京房山·一模）某航天器绕地球运行的轨道如图所示。航天器先进入圆轨道1做匀速圆周运
动，再经椭圆轨道2，最终进入圆轨道3做匀速圆周运动。轨道2分别与轨道1、轨道3相切于P、Q两
点。下列说法正确旳是（ ）
A．航天器在轨道1的运行周期大于其在轨道3的运行周期
B．不论在轨道1还是在轨道2运行，航天器在Р点的速度大小相等
C．航天器在轨道3上运行的速度小于第一宇宙速度
D．航天器在轨道2上从Р点运动到Q点过程中，地球对航天器的引力做正功
【答案】C
GMm 4π2 √r3
【详解】A．根据万有引力提供向心力有 =mr 解得T=2π❑ 卫星在轨道1的运行周期小于
r2 T2 GM
其在轨道3的运行周期，故A错误；
B．根据变轨原理可知，航天器从轨道1到轨道2，需正P点加速，则航天器在2轨道时经过P点的速度较
大，故B错误；C．第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周的最大环绕速度，所以航天器在轨道3上运行的速度小于第一
宇宙速度，故C正确；
D．卫星在轨道2上从P点运动到Q点的过程中，引力做负功，故D错误。
故选C。
8．（2025·北京顺义·一模）空间站在距离地面高度为h的圆轨道上运行。航天员进行舱外巡检任务，此时
航天员与空间站相对静止。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法
正确的是（ ）
A．此时航天员所受合力为零
g(R+ ℎ ) 2
B．地球的质量为
G
√g
C．空间站的线速度大小为R❑
R+
ℎ
R
D．空间站的向心加速度大小为 g
R+
ℎ
【答案】C
【详解】A．航天员相对空间站静止，即航天员和空间站一起相对地球做圆周运动，所受合力不为零，A
错误；
GMm gR2
B．设地表有一物体，质量为m，忽略地球自转，有 =mg，解得地球的质量为M= ，B错误；
R2 G
C．由
GMm
=m
v2
，其中r=R+ ℎ ，得v=❑
√GM
，代入地球质量，解得v=R❑
√g
，C正确；
r2 r R+
ℎ
R+
ℎ
GMm GM gR2
D．由 r2 =ma，其中r=R+ ℎ ，得a= (R+ ℎ )2 ，代入地球质量，解得a= (R+ ℎ )2 ，D错误。
故选C。
9．（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成
径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后
逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列
说法正确的是（ ）
A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度
B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小
D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加
【答案】D
【详解】A．径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停
泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据v=rω
可知，它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误；
GMm
B．飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有
=mrω2
r2
飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分
GMm′
析可知
>m′r′ω2
需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静
r′2
止，故B错误；
GMm v2
C．对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有 =m
r2 r
√GM
解得v=❑ 对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误；
r
D．对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于“停泊点”，飞船的机械能增加，故D正确；
故选D。
10．（2025·北京·专项训练）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的
探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心
约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ）
A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h
B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81∶1
C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于11.2km/s
【答案】B
【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从
B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误；
Mm Mm
G =ma G =ma
B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 r2 A 同理在B点有 r2 B 代入题中数据联立解得
A Ba :a =81:1 故B正确；
A B
C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D
两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误；
D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号
的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D错误。
故选B。
11．（24-25高三·北京海淀·一模（期中））当波源与观测者发生相对运动时，观测者接收到波的频率发生
变化，这是我们熟悉的多普勒效应。观测者和波源之间的距离变化越快，多普勒效应越明显。原子吸收和
发出某些特定波长的电磁波，因此我们观察到的某颗恒星的光谱包含由此恒星的大气层中的原子引起的吸
收谱线。已知钠原子具有一条波长为5895.9A ∘( 10A ∘ =1nm )的特征谱线(D 1 线)。研究人员在观测某遥远双
恒星系统的光谱时，从t=0时开始在表中记录对于钠D 线的吸收光谱，其中1号恒星和2号恒星吸收光谱
1
的波长分别为λ 和λ 。假定研究人员处于双星运动所在平面，双星均近似做匀速圆周运动，且不考虑双
1 2
恒星系统质心的运动。不考虑相对论效应和宇宙膨胀的影响。关于该双恒星系统，下列说法不正确的是（
）
t/d λ /Å λ /Å
1 2
0.3 5893.1 5897.5
0.6 5892.8 5897.7
0.9 5893.7 5897.2
1.2 5896.2 5896.2
1.5 5897.3 5895.1
1.8 5898.7 5894.3
2.1 5899.0 5894.1
2.4 5898.1 5894.6
2.7 5896.4 5895.6
3.0 5894.5 5896.7
3.3 5893.1 5897.3
3.6 5892.8 5897.7
3.9 5893.7 5897.2
A．双恒星绕质心转动的周期约为3.0 d
B．t=1.5 d观测到波长为λ 的光是1号恒星远离观测者时发出的
1C．在1.2 d∼1.8 d间观测到波长为λ 的光是2号恒星在距离观测者最远位置附近发出的
2
D．通过比较观测波长变化量，可判断1号恒星转动半径较小
【答案】CD
【详解】A．由表中记录的数据，可知在0.6 d∼3.6 d 期间，两恒星吸收光谱的波长是一个循环变化周
期，则转动的周期约为3.0 d，故A正确；
∘ ∘
B．t=1.5 d观测到光的波长为λ =5897.3A>5895.9A，波长变长，由多普勒效应可知，它是1号恒星
1
远离观测者时发出的，故B正确；
C．在1.2 d∼1.8 d间观测到波长为λ 的光，波长在逐渐减小，由多普勒效应可知，2号恒星在逐渐接近
2
观测者，t=0.6d或3.6d时，在距离观测者最远位置附近，故C错误；
D．观测波长变化量，可知λ 变化范围较大，多普勒效应更明显，距离变化更快，线速度更大，可判断1
1
号恒星转动半径较大，故D错误。
故选CD。
12．（2025·北京朝阳·二模）开普勒行星运动定律内容如下：
①所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；
②对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等；
③所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
科研人员设想一种在太空中发射太空探测器的方案：卫星携带一探测器在半径为r 的圆轨道上绕地球做匀
0
速圆周运动，运动周期为T 。在轨道上某点启动辅助动力装置短暂工作（工作时消耗的气体质量忽略不
0
计），将探测器沿运动方向射出，探测器恰好能完全脱离地球引力的束缚，而卫星沿原方向绕地球做椭圆
Gm m
运动。已知质量分别为m 、m 的两个质点相距为r时的引力势能为E =− 1 2，其中G为引力常量。不
1 2 p r
计其他天体的作用。
(1)求卫星和探测器绕圆轨道运动的线速度大小v ；
0
(2)求发射后瞬间探测器的速度大小v ；
1
(3)小华认为，若给定卫星与探测器的质量之比，则可求得发射探测器后卫星沿椭圆轨道运动的周期。请你
分析说明她的观点是否正确，写出关键方程。
2πr
【答案】(1)v = 0
0 T
0
2❑√2πr
(2)v = 0
1 T
0
(3)见解析
2πr
【详解】（1）由匀速圆周运动线速度与周期的关系，可得v = 0
0 T
0
（2）设地球质量为M，探测器质量为m ，卫星质量为m ，探测器从被发射到无穷远的过程，由能量守恒
1 2
1 GMm M(m +m ) v2
定律得 m v2 − 1 =0 发射前，由牛顿第二定律得G 1 2 =(m +m ) 0 联立解得
2 1 1 r r2 1 2 r
0 0 02❑√2πr
v =❑√2v = 0
1 0 T
0
（3）小华的观点正确。 设发射后卫星的速度为v ，发射过程由动量守恒得(m +m )v =m v +m v 发
2 1 2 0 1 1 2 2
射后卫星绕地球做椭圆运动，设近地点速度为v′ ，近地点到地心距离为r，由开普勒第二定律得
2
1 1
r v Δt= rv′ Δt
2 0 2 2 2
1 GMm 1 GMm
由能量守恒定律得 m v2 − 2 = m v′2 − 2 设发射后卫星绕地球运动的周期为T，由开普勒第三
2 2 2 r 2 2 2 r
0
r +r 3
( 0 )
定律得
r3
2 联立以上方程，若给定卫星与探测器的质量之比，可求得发射后卫星的运行周期。
0 =
T2 T2
0
13．（2025·北京昌平·二模）随着航空航天科技的发展，人类有能力开展深空探测，逐渐揭开宇宙的奥
秘。
(1)探测器绕某星球沿圆轨道匀速率运行时，测得轨道半径的三次方与周期的二次方的比值为k。已知引力
常量为G。求该星球的质量M。
(2)太空中的探测器通过小型等离子推进器获得推力。在推进器中，从电极发射出的电子撞击氙原子使之电
离，氙离子在加速电场的作用下，从探测器尾部高速喷出，产生推力。已知探测器（含推进器和氙离子）
的初始质量为M ，每个氙离子的质量为m，电荷量为q，加速电压为U，等离子体推进器单位时间内喷出
0
的离子数为n。不计其它星球对探测器的作用力和离子间的相互作用。取刚向外喷出离子的时刻为初始时
刻（t=0），求探测器的加速度大小a随时间t的变化规律。
(3)深空探测器常借助行星的“引力弹弓效应”实现加速。设质量为m 的探测器以相对太阳的速率v 飞向质
1 1
量为M 的行星，行星相对太阳的轨道速率为v ，方向与v 相反。探测器从行星旁绕过（如图所示），忽略
2 2 1
太阳引力及行星自转的影响，探测器远离行星后相对太阳的速率为v′ ，方向与v 相反；行星运动方向不
1 1
变。已知m ≪M ，各速度在极远处可视为平行；探测器与行星间的相互作用可视为短暂弹性碰撞。
1 2
①推导v′ 的表达式（用v 、v 表示）；
1 1 2
②简要说明“引力弹弓效应”能使探测器明显加速的原因。
4π2k
【答案】(1)M=
G
n❑√2mqU
(2)
M −nmt
0(3)①v′ =v +2v ；②见解析
1 1 2
GmM 2π 2
【详解】（1）探测器绕星球沿圆轨道匀速率运行时，万有引力提供向心力 =m( ) r 即
r2 T
r3 GM 4π2k
= =k 可得M=
T2 4π2 G
1
（2）氙离子经加速电压U加速后，相对探测器的速度大小为v，根据动能定理得qU= mv2 在t时间内喷
2
出氙离子质量为Δm=nmt 根据动量定理得Ft=Δm·v 联立解得F=n❑√2mqU 根据牛顿第三定律知：探
测器获得的反冲作用力大小为F′=F=n❑√2mqU 探测器质量随时间的变化规律为M=M −nmt 探测器加速
0
F′ n❑√2mqU
度a随时间t的变化规律为a= =
M M −nmt
0
（3）①设探测器绕过行星后，行星速率为v ′，以行星运动方向为正方向，根据动量守恒定律得
2
1 1 1 1
M v −m v =M v′ +m v′ 根据机械能守恒定律得 M v2+ m v2= M v′2+ m v′2 联立解得
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1
M −m 2M
v′ = 2 1 v + 2 v 由于m ≪M 得v′ =v +2v 。
1 M +m 1 M +m 2 1 2 1 1 2
2 1 2 1
②行星与探测器相互作用时，发生动量和能量的转化。由于行星与探测器相对运动，行星具有较大的轨道
速率，且m≪M，行星动能（或动量）损失很小，探测器却获得了较大的速率。
14．（2025·北京东城·二模）开普勒三定律是描述行星运动的基本规律。
开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等。
这三条规律也适用于卫星绕行星的运动。
(1)一个质量为m的探测器绕某行星P做匀速圆周运动，轨道半径为r，如图甲所示。行星P的质量为
M(M≫m)，引力常量为G。行星P和探测器均视为质点。
r3
a.设探测器做匀速圆周运动的周期为T，求 的表达式；
T2
b.探测器在极短的时间内沿运动方向喷射高温气体减速制动，其运动轨迹变为椭圆，如图乙中的轨道I所
示；若制动后的速度越小，则椭圆越扁，椭圆轨道的长轴越短，如图乙中的轨道II所示。假设探测器在极
短的时间内减速到v，v趋近于零。请结合开普勒第二定律，分析并计算探测器的“近P点”到行星P的距
离d；
c.假设探测器在极短的时间内制动减速至零，其在万有引力的作用下向行星P做变加速直线运动，如图丙所示。请结合开普勒第三定律，求探测器到达行星P所用的时间t。
(2)真空中固定着一带正电的点电荷，所带电荷量为Q(Q>0)，距离为r 处有一质量为m 、带电量为
0 0
−q(q>0)的点电荷，该电荷由静止释放，如图丁所示。静电力常量为k。库仑力与万有引力都与距离的平
方成反比，结合运动与相互作用观，类比（1），求带电量为−q的点电荷仅在静电力的作用下到达Q所用
的时间τ。不计带电量为−q的点电荷运动过程中的电磁辐射。
【答案】(1)a. r3 = GM b. d= v r c.t= ❑√2π ❑ √r3
T2 4π2 v 4 GM
1
❑√2π √m r3
(2)τ= ❑ 0 0
4 kQq
Mm 4π2 r3 GM
【详解】（1）a.万有引力提供向心力，有G =m r 解得 =
r2 T2 T2 4π2
1 1 v
b.设近P点的速度为v
1
，根据开普勒第二定律
2
rvΔt=
2
dv
1
Δt ，d=
v
r 由于v趋于零，探测器从
1
远P点到近P点的过程中，万有引力对探测器做正功，所以d趋于零。
c.因制动后探测器做更扁的椭圆轨道，若减速至零时，可认为做长轴为r、短轴为零的无限扁椭圆轨道，其
r 3
( )
周期为T′。由开普勒第三定律，得r3 2 因为t=
T′
联立解得t=
❑√2π
❑
√r3
= 2 4 GM
T2 T′2
（2）万有引力、库仑力均与距离r的平方成反比，结合运动与相互作用观，图丙中的m与图丁中的-q两
kQq 4π2
者的运动也具有相似性，设电荷-q在距离Q为r
0
处做匀速圆周运动时，周期为T
0
，则有
r2
=m
T2
r
0
0 0
荷-q由静止释放可认为做无限扁的椭圆运动，长轴2a=r，设其周期为T'。 类比天体运动中的开普勒第三
0
r 3
( 0)
T'
定律，有r3 2 且τ= 0
0 = 2
T2 T'2
0 0
❑√2π √m r3
综上可得τ= ❑ 0 0
4 kQq
15．（2025·北京石景山·一模）神秘宇宙散发着无尽魅力，吸引着人们不断追寻和探索。
(1)某深空探测器在远离星球的宇宙深处航行时，由于宇宙中的星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略
不计，此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动。当探测器驶入一片分布均匀、静止的宇宙尘埃区域
时，为了保持原有的速率v，必须开启发动机。若该区域单位体积内有质量为m 的尘埃，尘埃碰到探测器
0
后立即吸附在上面，探测器可视为半径为R的球体。求发动机的推力大小F；
(2)科学家用天文望远镜在宇宙中发现许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远
小于两星体之间的距离。某双星系统中每个星体的质量都是M，相距2L。它们围绕两者连线的中点做相同
周期的圆周运动。已知引力常量为G。
a.求该双星系统的运动周期T；
1
b.若实际观测到该双星系统的运动周期为T，且T∶T=1∶❑√N（N>1）。为了解释T 与T 的差异，科学家预
2 2 1 2 1言双星系统之间存在一种望远镜观测不到的特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作
用，并遵循万有引力定律。可以建立一种简化模型，假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着暗
物质，球体内的暗物质对双星系统有引力相互作用，不考虑其它暗物质对双星系统的影响。请根据这一模
型和观测结果推测双星系统间暗物质的密度。
【答案】(1)F=πR2m v2
0
(2)a.T =4πL❑
√L
；b.ρ=
3(N−1)M
1 GM 16πL3
【详解】（1）探测器t时间内撞上的尘埃总质量Δm=m πR2vt 由动量定理有Ft=Δmv 解得
0
F=πR2m v2
0
（2）a.由万有引力定律G
MM
=ML
4π2
，解得T =4πL❑
√L
(2L) 2 T2 1 GM
1
b.设暗物质的质量为M′，由万有引力定律 G
MM
+G
MM′
=ML
4π2
又T∶T=1∶❑√N，解得M′=
(N−1)M
(2L) 2 L2 T2 2 1 4
2
M′
ρ=
暗物质的密度 4
πL3
3
3(N−1)M
解得ρ=
16πL3
16．（2025·北京东城·一模）两黑洞绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，组成一个孤立的双星系统，两
黑洞的质量分别为m 、m ，两者间距为r，引力常量为G。
1 2
(1)求两黑洞做匀速圆周运动的角速度的大小ω；
(2)科研人员观测到上述黑洞系统会向外辐射引力波，随着时间的推移，两个黑洞会缓慢靠近，系统的机械
ΔE Gm m Δr Δr
能E逐渐减小。已知机械能E随时间t的变化率为 = 1 2 ⋅ (Δt→0)，其中 可以定义为两
Δt 2r2 Δt Δt
32
黑洞的靠近速度v 。由广义相对论可知，该系统辐射引力波的功率P= G4 (m m ) 2 (m +m )c−5rα ，其中c
r 5 1 2 1 2
为电磁波在真空中的传播速度。当r较大时，靠近速度v 很小，不计两黑洞各自质量的变化。
r
a.求α的值；
b.请推导v 的表达式。
r
√G(m +m )
【答案】(1)ω=❑ 1 2
r3
64
(2)a. α=−5 ；b. v = m m (m +m )c−5G3r−3
r 5 1 2 1 2
【详解】（1）两黑洞绕其质心做匀速圆周运动，设轨道半径分别为r ，r ，根据牛顿第二定律
1 2
Gm
1
m
2 =m ω2r ，
Gm
1
m
2 =m ω2r 因为r +r =r 联立解得ω=❑
√G(m
1
+m
2
)
r2 1 1 r2 2 2 1 2 r3
（2）a.根据P=Fv可知P(辐射功率)的单位是kg⋅ m2 ⋅s−3 (m m ) 2 (m +m )的单位是kg5； G(引力常量)的
1 2 1 2单位是kg−1 ⋅m3 ⋅s−2； r(半径)的单位是m； c(光速)的单位是m/s； 辐射功率的表达式为
32
P= G4 (m m ) 2 (m +m )c−5rα 等式左右单位应相同，即
5 1 2 1 2
kg⋅ m2 ⋅s−3=kg5 ⋅(m⋅ s−1)−5 ⋅(m3 ⋅kg2 ⋅s−2) 4 ⋅mα
化简得kg⋅ m2 ⋅s−3=kg⋅ m(7+a） ⋅s−3 解得α=−5
ΔE Gm m Δr 32
b.双星系统的辐射功率P= = 1 2 ⋅ 又因为P= (m m ) 2 (m +m )c−5G4r−5 所以
Δt 2r2 Δt 5 1 2 1 2
