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专题 06 圆锥曲线
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 直线与
分析近五年北京卷高考命题情况，圆锥曲
圆 2024北京卷、2022北京卷
线相关内容是高考热点。在题型分布上，
（5年2考）
选择填空题侧重对双曲线和抛物线的考
考点2 椭圆方
2025北京卷、2024北京卷、2023北京 查，主要检验考生对这两种曲线基本性
程及其性质
卷、2022北京卷、2021北京卷 质、方程特点等基础知识的掌握程度。而
（5年5考）
解答题则聚焦于直线与椭圆的综合问题，
考点3 双曲线
2025北京卷、2024北京卷、2023北京 这类问题综合性强。它涉及直线与圆锥曲
方程及其性质
卷、2022北京卷、2021北京卷 线关系中的诸多方面，如求弦长、面积，
（5年5考）
探究弦中点、定点、定值，确定参数取值
考点4 抛物线
范围以及求解最值等。备考时，考生需对
2025北京卷、2024北京卷、2023北京
方程及其性质 双曲线、抛物线的基础知识烂熟于心，同
卷、2021北京卷
（5年4考） 时针对直线与椭圆综合问题加强训练，掌
握解题思路与方法，提升综合运用知识的
考点5 新定义
2024北京卷、2022北京卷
能力。
（5年2考）
考点01 直线与圆
1．（2024·北京·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
2．（2022·北京·高考真题）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A【解析】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得 ．
故选：A．
考点02 椭圆方程及其性质
3．（2025·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆E上的点到两焦点的距
离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点 在椭圆E上，直线 与直线 ， 分别交
于点A，B．设 与 的面积分别为 ，比较 与 的大小．
【解析】（1）由椭圆可知， ，所以 ，又 ，所以 ， ，
故椭圆E的方程为 ；
（2）联立 ，消去 得， ，
整理得， ①，
又 ，所以 ， ，
故①式可化简为 ，即 ，所以 ，
所以直线 与椭圆相切， 为切点.
设 ，易知，当 时，由对称性可知， ．
故设 ，易知 ，
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，所以
，
，
故 ．
法二：不妨设 ，易知，当 时，由对称性可知， ．
故设 ，
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
则 ， ， ,
又 ，所以 ，
所以
，
，
则 ，即 ，
所以 .4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
【解析】（1）由题意 ，从而 ，
所以椭圆方程为 ，离心率为 ；
（2）直线 斜率不为0，否则直线 与椭圆无交点，矛盾，
从而设 ， ，
联立 ，化简并整理得 ，
由题意 ，即 应满足 ，
所以 ，
若直线 斜率为0，由椭圆的对称性可设 ，
所以 ，在直线 方程中令 ，得 ，
所以 ，
此时 应满足 ，即 应满足 或 ，
综上所述， 满足题意，此时 或 .
5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶
点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
【解析】（1）依题意，得 ，则 ，
又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，
易得 ，则直线 的方程为 ，
，则直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即 ，
而 ，则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
又 ，则 ， ，
所以
，
又 ，即 ，
显然， 与 不重合，所以 .
6．（2022·北京·高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
【解析】（1）依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以
，
所以 ，
即
即
即
整理得 ，解得
7．（2021·北京·高考真题）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶
点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
考点03 双曲线方程及其性质
8．（2025·北京·高考真题）双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得， ，所以 ，
即 ，所以 ，
故选：B．9．（2024·北京·高考真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为
．
【答案】 （或 ，答案不唯一）
【解析】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
10．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
11．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【解析】对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
12．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
考点04 抛物线方程及其性质
13．（2025·北京·高考真题）已知抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为 ，故 ，故 ，
故答案为： .
14．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
15．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离
为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
16．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
考点05 新定义
17．（2024·北京·高考真题）已知 是平面直角坐标系中的点集.
设 是 中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，
可知任意两点间距离最大值 ，
阴影部分面积 .
故选：C.18．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集
合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
故选：B1．（2025·北京·三模）已知直线 与圆 交于 、 两点，则 的最小
值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，圆 ，圆心 的坐标为 ，半径 ，
直线 ，恒过定点 ，且点 在圆内，
当直线 与 垂直时，弦 最小，
此时 ，
则 的最小值为 .
故选：D
2．（2025·北京大兴·三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，与 轴平行的直线与 和 分
别交于 ， 两点，且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】由抛物线定义可知 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
故 ， ，
所以 ，
其中准线 与 轴交点为 ，则 ，故 ，
所以 .
故选：D3．（2025·北京大兴·三模）已知直线 ： 与圆 ： ，则（ ）
A． 与 相离 B． 与 相切
C． 平分 D． 与 相交但不平分
【答案】C
【解析】已知圆 ： ，则圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，即直线经过圆心.
故选：C.
4．（2025·北京大兴·三模）已知点 是准线为 的抛物线 上一动点， 于点 ，点
，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意抛物线 的焦点为 ，
由抛物线的定义可得： ，
则 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号．
即 的最小值是3．
故选：C.
5．（2025·北京海淀·三模）已知双曲线 ，若双曲线的左、右两支上各存在一点
、 ，使 为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为等边三角形，由对称性可知， 、 关于 轴对称，
如下图所示，要使 为等边三角形，需 ，其中 是 轴正方向的单位向量．故斜率为正的渐近线与 轴正半轴的夹角应大于 ，所以渐近线斜率 ．
故 ．所以只有D选项符合题意．
故选：D.
6．（2025·北京·三模）已知 图形T的面积为S，给出下列四
个结论： ① T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1 S=2其中所有正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④
④
C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】根据题意曲线形成的图形由去线 与 即 所围成，点集T为阴影部分，
根据图像可知，图形T关于 轴对称非中心对称图，故②正确；
根据对称性，把左边对称补齐到右边， ，
所以图形T的面积为 ，
故选：D.
7．（2025·北京·三模）经过点 ，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线 的距离最大值
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】已知圆经过点 ，半径为 ，设圆心 的坐标为 ，
可得圆心 到点 的距离为 ，
即 ，化简可得 ，
所以圆心 的轨迹是以原点 为圆心， 为半径的圆.
可得原点 到直线 的距离为： ，
所以点 到直线 的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即 .
故选：B.
8．（2025·北京东城·模拟预测）设直线 经过抛物线 的焦点， 为直线 上任意一点，过 总能作圆
的切线，则直线 斜率 的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可知直线 与圆 不相交，则圆心 到直线 的距离 大于等于半径 ，即
，
由抛物线 可得焦点 ，易知直线 的斜率存在，设为 ，则直线 ，
由 ，则 ，整理可得 ，解得 ，
所以直线 的斜率 的最大值为 .
故选：B.
9．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．过 的直线与 交于
两点，过 作 的垂线，垂足分别为 ．若四边形 的周长等于 ，则直线 的斜率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由抛物线的定义可知， ， ，
则四边形 的周长为 ，
则 ，设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 或 ，
则 ，则直线 的斜率为 .
故选：C
10．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线 的距离为 ，则 的
最大值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点 为圆心，1为半径的圆，
而原点 到直线 的距离为 ，
所以圆心到直线 的距离 的最大值为 .
故选：D.
11．（2025·北京朝阳·二模）若直线 与双曲线 没有公共点，则双曲线C的离心率
的一个取值为 ．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】 的渐近线为 ，且焦点在 轴上，
由题知： ，因 ，解得 ，
所以离心率 ，
故离心率的一个取值可以为3.
故答案为：3(答案不唯一).12．（2025·北京东城·二模）已知曲线 .给出下列四个结论：
①曲线 为中心对称图形；
②曲线 与直线 有两个交点；
③曲线 恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线 上任意两点 ， ，当 时， .其中正确结论的序号是 .
【答案】①③
【解析】对于①，假设曲线 的对称中心为 ，将对称点 代入原方程：
，
整理得 ，
与原方程比较系数，有 ，解得 ，
说明曲线 关于点 对称，故①正确；
对于②，联立 与 ，
消去 并整理可得 ，此时 ，
故曲线 与直线 有一个交点 ，故②错误；
对于③，当 时，原方程不成立，故曲线 可变形为 ，
若横、纵坐标均为整数，则 必须为整数，故 或 ；
当 时， ，当 时， ，
故曲线 恰好经过两个整点 和 ，故③正确；
对于④，由③可知 ，
因为 ，
令 ， ， ，，
当且仅当 即 时等号成立，
同理 ，
由①知曲线 关于点 成中心对称，所以当 和 都最小时， 三点共线，
此时 最小，所以 ，故④错误.
故选：①③
13．（2025·北京昌平·二模）已知曲线 ，给出下列四个结论：
曲线 关于 轴对称；
①当 时，曲线 上任意一点到点 ，的距离均不超过 ；
②曲线 与直线 围成图形的面积小于5；
③经过点 且与 平行的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
④其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】
【解析】①由曲③线④ ，
用 代换方程中的 ，方程不变，所以曲线 关于 轴对称，所以①正确；
设曲线 上的一点 ，其中 ，
则点 到点 的距离为 ，
当 时，可得 ，
所以点 到点 的距离可以超过 ，所以②不正确；
当 时，可得 ，即 ；
当 时，可得 ，即 ；
令 ，可得 ，所以 为增函数，
令 ，可得 ，所以 为单调递增函数，
所以 的增长趋势越来越快，可得曲线大致图象如图所示，
可得梯形 的面积为 ，
所以曲线 与直线 围成图形的面积小于5，所以③正确；过点 且与直线 平行的直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，
所以经过点 且与 平行的直线与曲线 的所有交点的横、纵坐标均为有理数，所以④正确．
故答案为：①③④.
14．（2025·北京东城·二模）已知直线 与抛物线 在第一象限交于点 ，过点 作
轴的垂线，垂足为抛物线的焦点 ，则 ；若该抛物线的准线上的点到点 与点 的距离之和的
最小值为 ，则 .
【答案】
【解析】对于抛物线 ，其焦点坐标为 .
因为过点 作 轴的垂线，垂足为抛物线的焦点 ，所以点 的横坐标为 .
将 代入抛物线方程 ，可得 ，因为点 在第一象限，所以 ，即 .
已知直线 过点 ，将点 的坐标代入直线方程可得 ，因为 ，两边同时除以 得
；
当 时，已知 ，焦点 ，准线为 .
设焦点 关于准线 的对称点 ，则 .
因为 ，故其最小值为 ，又 .
所以 ，可得 .
故答案为： ； .
15．（2025·北京朝阳·一模）已知点 在抛物线 上，则抛物线C的焦点F的坐标为
；以F为圆心， 为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是 ．（填“相交”“相切”或“相
离”）
【答案】 相切
【解析】由题意可得 ，所以 ，
所以抛物线C的焦点F的坐标为 ；
由两点间距离公式可得 ，即为圆的半径，
又焦点到准线的距离为2，
所以 为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是相切.
故答案为： ；相切.
16．（2025·北京·三模）已知椭圆 ： 过 ， 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ， ，过点 的直线 与椭圆交于 两点，连接 、 交x轴于 两点（
不重合），已知 ，求直线 的方程.
【解析】（1）将 ， 代入椭圆 的方程可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）结合题意可知，直线 的斜率存在，
又 ，设直线 方程为 ， ，如下图所示：
联立 ，整理可得 ，
所以可得 ，且 ，
可得 ，即 或 ；
因为 ，所以 、 的斜率分别为 ，
因此直线 、 的方程分别为 ，
则交点 的坐标为 ；
结合 可知 ，即 ,
也即 ，整理可得 ，
又 ，可得 ，
又因为 ，将 代入 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
代入 计算可得 ，解得 ，
即 或 ，经检验符合题意，
所以直线 的方程为 或 .
17．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆 ： （ ）的短轴长为 ，过左焦点 作
两条互相垂直的直线 ， ，分别交椭圆 于 ， 和 ， 四点．设 ， 的中点分别为 ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【解析】（1）因为椭圆的左焦点 ，所以 ，
又短轴长为 ，所以 ，由 可得 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）
当直线 和 斜率存在时，设直线 方程为： ，
设 ， ，则有中点 ，
联立方程 ，消去 得： ，
由韦达定理得： ，所以 的坐标为 ，
将上式中的 换成 ，同理可得 的坐标为 ，
若 ，即 ， ，此时直线 斜率不存在，直线过定点 ；
当 时，即直线 斜率存在，
则 ，
直线 为 ，
令 ，得 ，
此时直线 过定点 ，
显然当直线 或 斜率不存在时，直线 就是 轴，也会过 ，
综上所述：直线 经过定点，定点坐标为 .
18．（2025·北京海淀·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线交椭圆于
、 两点，点 在第一象限．
(1)求椭圆的焦距；若 ，求点 的坐标；
(2)若 轴，垂足为 ，连结 并延长交椭圆于点 ，取线段 中点 ，求证： ．
【解析】（1）设椭圆长轴长、短轴长、焦距分别为 ．依题意， ， ，
所以椭圆焦距为 ；
设点 ，而 ，则 ，
于是 ，即 ，由点 在椭圆上，得 ，
解得 ， ，由点 在第一象限，得 ，则 ，
所以点 的坐标为 .
（2）方法1：设点 ， ， ，则 ，
依题意，点 与点 关于原点对称，即 ，
显然直线 斜率存在且不为0，设直线 ，
代入 中得， ，
，
设 ，则 ， ，
，即 ，直线 斜率 ，
由 在直线 上，得 ，即 ，
于是直线 的斜率 ， ，即 ，
又 为线段 中点，所以 ．
方法2：设点 ， ， ，则 ，
依题意，点 与点 关于原点对称，即 ，
直线 斜率 ，直线 ，
联立直线 与椭圆方程 得： ，
必有 ，设 ，则 ， ，
，即 ，直线 斜率 ，而直线 斜率 ，
则 ，即 ，又 为线段 中点，所以 ．
方法3：设点 ， ， ，则 ，
依题意，点 与点 关于原点对称，即 ，
直线 斜率 ，直线 ，
联立直线 与椭圆方程 得： ，
显然 ，设 ，则 ， ，
于是 ， ，
点 ， ，
又 ，则 ，即 ，
因此 是直角三角形，又 为斜边 中点，所以 .
方法4：设 ，与椭圆 联立，得 ， ，
而 点在第一象限，则 ， ，
点 ，直线 的斜率 ，
直线 ，令 ，则 ，
与椭圆 联立得 ，显然 ，
线段 中点 ，有 ， ，点 ，于是直线 斜率 ， ，
又 为 中点，所以 .
19．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点 ，焦距为 过点 的直线 与
椭圆 交于两个不同的点 ， 已知点 ， 为直线 上一点， 且直线 .
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)求 的横坐标.
【解析】（1）由题意可知， ，由焦距 ，则 ，
所以 ，
所以椭圆方程为 ，离心率
（2）若斜率不存在，则 ，则 ；
设直线 方程 ， ，
则 ，消元可得；
则 ，
设 ，由点 是直线 上一点，，
则存在 ，使得 ，则 ，
由 ,则 ，
故 ，代入可得，
,
故 点的横坐标为 .20．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆 过点 ，短轴长为4．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 与 轴的交点为 ， （点 位于点 的上方），直线 与椭圆 交于不同的两点 ，
．设直线 与直线 相交于点 ．试问点 是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，
说明理由．
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）在定直线 上，理由如下：
设点 与直线 联立消去 整理得 ，
由 ，且 ，
所以 ，
易知 ， ，则 ， ，
两式作商得 ，解得 ，
故 在定直线 上.
