文档内容
专题 16 圆锥曲线（选填题）16 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01求椭圆的标准方程
2024·新课标Ⅱ卷 2022·全国甲卷
考点02椭圆的焦点三角形
2023·全国甲卷 2021·新高考全国Ⅰ卷
2021·全国甲卷
知识1 椭圆及
考点03椭圆的离心率问题
其性质
2023·新课标Ⅰ卷 2022·全国甲卷
（5年4考）
2021·全国乙卷 2021·浙江
考点04直线与椭圆的位置关系
2023·新课标Ⅱ卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
2022·新高考全国Ⅱ卷
考点05椭圆的最值问题 1.双曲线：离心率与渐近线成“绝对重
2021·全国乙卷 点”
双曲线在5年中保持“5考”的高频出
考点06求双曲线的标准方程
现，其中离心率（2025年全国一卷、
2024·天津2023·天津2023·北京2022·天津2021·
二卷、北京卷、天津卷，2024年新课
北京2021·浙江
标Ⅰ卷等多卷次考查）和渐近线（2024
考点07双曲线的基本量的计算
年天津卷、2023年全国甲卷等）是核
2022·上海 2021·全国乙卷
心。二者常结合双曲线的基本量关系，
考点08双曲线的离心率 通过几何图形（如焦点到渐近线的距
知识2 双曲线 2025·全国一卷2025·全国二卷2025·北京2025·天 离、渐近线与坐标轴夹角等）或方程条
件（如渐近线方程、顶点坐标等）求解
及其性质 津2024·新课标Ⅰ卷2024·全国甲卷2023·新课标
2.抛物线定义与焦点相关性质是“主旋
（5年5考） Ⅰ卷2022·全国乙卷2022·浙江2021·全国甲卷
律”
2021·天津
抛物线同样5年5考，定义的应用和焦
考点09双曲线的渐近线
点弦性质是高频考点。选填题中侧重利
2024·天津2023·全国甲卷2022·北京 2022·全国
用定义简化计算（如求距离最值、判断
甲卷2021·全国甲卷2021·全国乙卷
点的轨迹），或结合焦点弦的几何特征
考点10直线与双曲线的位置关系 （如斜率、中点坐标）快速求解，淡化
2024·北京 2023·全国乙卷2022·全国甲卷 复杂代数运算。椭圆：基础性质与几何
关系并重
知识3 抛物线 考点11抛物线定义的应用
3.椭圆5年4考，离心率和焦点三角形2025·全国二卷2024·上海2023·北京
2022·全国乙卷 2021·北京
考点12根据抛物线方程求焦点或准线
2025·北京2024·北京2024·天津2023·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·新高考全国Ⅰ卷
及其性质
考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质
（5年5考）
2025·全国一卷 2023·新课标Ⅱ卷
2022·新高考全国Ⅱ卷
是重点。离心率求解常与椭圆定义、焦
考点14直线与抛物线的位置关系
点三角形的边角关系（如余弦定理、正
2023·天津2022·新高考全国Ⅰ卷
弦定理）结合；焦点三角形则侧重考查
周长、面积（结合正弦定理或向量）等
考点15新型曲线
知识4 圆锥曲 2024·新课标Ⅰ卷 几何性质，强调数形结合。
线综合
（5年2考） 考点16圆锥曲线新定义
2023·上海
考点01求椭圆的标准方程
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段
， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
2．（2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
考点02椭圆的焦点三角形
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.4．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出 的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
5．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
6．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形
面积等于 ，即可求解.
【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
考点03椭圆的离心率问题
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
8．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y
轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将
用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
9．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直
线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设 ，根据图形可知， ，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出 ，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，
于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
考点04直线与椭圆的位置关系
11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与
C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方
程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，，解得 或 （舍去），
故选：C.
12．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，
y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即
13．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜
率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程
，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据
对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.考点05椭圆的最值问题
14．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
考点06求双曲线的标准方程
15．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
16．（2024·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 点 在双曲线右支
上，直线 的斜率为2．若 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可利用 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 ，由面积公式求出 ，由
勾股定理得出 ，结合第一定义再求出 .
【详解】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，
则由 得 ，由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A
17．（2023·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条
渐近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ， .再由
三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
18．（2022·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，抛物线
的准线l经过 ，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：D.
19．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若 成等
比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心
素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
20．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线 的实半轴、虚半轴长，再写出 的方程作答.
【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
考点07双曲线的基本量的计算
21．（2022·上海·高考真题）双曲线 的实轴长为 ．
【答案】6
【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案.
【详解】由 知， ，所以 ，
所以实轴长 .
故答案为：6
【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题.
22．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
考点08双曲线的离心率
23．（2025·北京·高考真题）双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出 ，即可求出离心率．
【详解】由 得， ，所以 ，
即 ，所以 ，
故选：B．
24．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的 倍，则C的离心率为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中 的关系，结合 和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为 ，
由题知， ，
于是 ，则 ，
即 .
故选：D
25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 ，结合双曲线定义计算可得 ，即可得离心率.
【详解】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.27．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
28．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作
平行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 ，结合双曲线第一定义求出 ，即可得到 的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .故答案为：
29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点
在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
30．（2025·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ，以右焦点 为焦点
的抛物线 与双曲线交于第一象限的点P，若 ，则双曲线的离心率
（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 ，根据勾股定理从而确定P的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.【详解】根据题意可设 ，双曲线的半焦距为 ， ，则 ，
过 作 轴的垂线l，过 作l的垂线，垂足为A，显然直线 为抛物线的准线，
则 ，
由双曲线的定义及已知条件可知 ，则 ，
由勾股定理可知 ，
易知 ，即 ，
整理得 ，∴ ，即离心率为2.
故选：
31．【多选】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别是 ，
左、右顶点分别为 ，以 为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且 ，则
（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当 时，四边形 的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由 且 结合 在渐近线上可求 的坐标，从而可
判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得 ，计
算后可判断C的正误，或者利用 并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面
积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为 ， 在第一象限， 在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得 为平行四边形，故 ，
故A正确；
对于B，方法一：因为 在以 为直径的圆上，故 且 ，
设 ，则 ，故 ，故 ，
由A得 ，故 即 ，故B错误；
方法二：因为 ，因为双曲线中， ，
则 ，又因为以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 、 ，则 ，
则若过点 往 轴作垂线，垂足为 ，则 ，则点 与 重合，则 轴，
则 ，
方法三：在 利用余弦定理知， ，
即 ，则 ，
则 为直角三角形，且 ，则 ，故B错误；对于C，方法一：因为 ，故 ，
由B可知 ，
故 即 ，
故离心率 ，故C正确；
方法二：因为 ，则 ，则 ，故C正确；
对于D，当 时，由C可知 ，故 ，
故 ，故四边形 为 ，
故D正确，
故选：ACD.
32．【多选】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，
过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，
又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，
故 ，故 ，
故选：AC.
33．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交
双曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率
是 ．
【答案】
【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后根据
点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
考点09双曲线的渐近线
34．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得
即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
35．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由
关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
36．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的渐近线为 ，
当渐近线为 时，圆心 到该渐近线的距离 ，不合题意；
当渐近线为 时，则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
37．（2021·全国甲卷·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
38．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
39．（2024·天津·高考真题）设 ，函数 .若 恰有一个零点，则 的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与 ，则两函
数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当 时，计算函数定义域可得 或 ，计
算可得 时，两函数在 轴左侧有一交点，则只需找到当 时，在 轴右侧无交点的情况即
可得；当 时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数 与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
考点10直线与双曲线的位置关系
40．（2024·北京·高考真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为
．
【答案】 （或 ，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
【详解】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
41．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
42．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对
于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
考点11抛物线定义的应用
43．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离
为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
44．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线 的焦点为 点A在C上，过A作 的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先由直线 求出焦点 和 即抛物线 的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依
次求出 和 ，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对 ，令 ，则 ，
所以 ， 即抛物线 ，故抛物线的准线方程为 ，
故 ，则 ，代入抛物线 得 .
所以 .
故选：C
45．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得点 坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
46．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若
，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
47．（2024·上海·高考真题）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知 ，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由 知抛物线的准线方程为 ，设点 ，由题意得 ，解得 ，
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
则点 到 轴的距离为 ．
故答案为： ．
考点12根据抛物线方程求焦点或准线
48．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如 的抛物线的焦点坐标为 ，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
49．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
50．（2025·北京·高考真题）已知抛物线 的顶点到焦点的距离为3，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求 的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为 ，故 ，故 ，
故答案为： .
51．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为
.
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利
用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
52．（2024·天津·高考真题）已知圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合，且两曲线在
第一象限的交点为 ，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求 及 的方程，从而可求原点
到直线 的距离.
【详解】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 ，故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
53．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ，
为 上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，
因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
考点13与抛物线焦点弦有关的几何性质
54．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线 的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F
且垂直于 的直线交 于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】对于A，先判断得直线 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用
三角形相似证得 ，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联
立直线 与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得
， ，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线 ，
则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，易知直线 的斜率不为 ，
设直线 的方程为 ， ，
联立 ，得 ，
易知 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，故C正确；对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，
同理 ，
又
，
，
所以 ，
则 ，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线 ，
则 ，其准线方程为 ，焦点 ，
则 为抛物线上点到准线的距离， 为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知， ，故A正确；
对于B，过点 作准线 的垂线，交于点 ，
由题意可知 ，则 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，同理 ，
又 ，
所以 ，即 ，
显然 为 的斜边，则 ，故B错误；
对于C，当直线 的斜率不存在时， ；当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
联立 ，消去 ，得 ，
易知 ，则 ，
所以
，
综上， ，故C正确；
对于D，在 与 中， ，
所以 ，则 ，即 ，
同理 ，
当直线 的斜率不存在时， ， ；
所以 ，即 ；
当直线 的斜率存在时， ，
，
所以 ，
则 ；
综上， ，故D正确.
故选：ACD.
55．【多选】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F
的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的
方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断
C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.56．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
考点14直线与抛物线的位置关系
57．【多选】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
58．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线
交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据圆 和曲线 均关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即可
根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆 和曲线 均关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
考点15新型曲线
59．【多选】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部
分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离
之积为4，则（ ）A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利
用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点 ，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，
故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.
考点16圆锥曲线新定义
60．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点 ，都有
使得 ．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（ ）
①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．
A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【答案】B【分析】由新定义求解曲线上任一点 到定点 距离的取值范围 ，当任意 ，都有 时，曲线满
足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断，
【详解】对于①，不妨设椭圆方程为 ， ，
则椭圆上一点 到 距离为
，
当 时，对称轴 ，可得 ，
总存在 使得 ，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，
对于②，对于给定的双曲线和点 ，显然 存在最小值，而 横坐标趋近于无穷大时， 趋近于
无穷大， ，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，
故选：B
【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点 距离的取值范围，再结合椭圆与双
曲线的性质判断即可．
