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2000年数学（一）真题解析
一、填空题
7T
（1）【答案】
方法一
—x2 dx = f a/1 — (jc — l)2 d(j? — 1)= a/1 — x2 dj?
J 0
1 /----------帀 x = sin t cos2/d/=/2=£x K
V 1 —无 =
o o 2
根据定积分的几何应用，「屆—工认即以曲线
方法二
J 0
y = Jlx — jc2 （0 £工W 1）为曲边的曲边梯形的面积.
如图所示，显然［丿2工-工f =中.
⑵【答案】千1_卄2_「2
-4 6
【解】"={F： ,F； ,F；} |（1,一2,2）= {2工，4y ,6z} |（i,_2,2）= {2, — 8,12},
1 —I— 2 N 2
则曲面在点（1.—2,2）处的法线方qr程为y、i 工占=乞丁.
（3） 【答案】y =q + C2（C】，C2为任意常数）.
X
【解】 方法一 由xy" + 33/' = 0 ,得y"-----y' =0.
X
解得/hCojM =$，积分得原方程的通解为y =^ + C2（C15C2为任意常数）.
X JC
方法二 由砂"+ 3yf =0,得 x7,y" + 3x2yf =0 或（x3y'Y =0.
「 C
于是工s，=c。，解得y =-|,积分得原方程通解为^=4 + C2（C.,C2为任意常数）.
jc x
（4） 【答案】 一1.
【解】 因为原方程组无解，所以r（A） 0 - 1 * ° —1 3 1
-
'1 i o' 'o 1 -3 ； - 1'
3 —2 '0 0 0 0
得r（A） =r（A） =2,原方程组有无数个解，所以 a工3 ,故a == -1.
2
(5)【答案】 y.
【解】PCAB) =PCA) -F(AB), P CAB) = P (B) - P (AB),由 P(AB) =P(AB),得 P(A) =P(B).
----- --------- 1 «
由 P(AB)=P(A+B)=l-P(A+B)=y,得 P(A+B)=§.
又 P(A +B) =P(A) +P(B) -P(AB) =2P(A) -P2(A),
o o
得 P2(A) -2P(A) +y =0,解得 P(A) = y.
二、选择题
(6)【答案】(A).
【解】由厂Q)gQ)TQ)g‘Q)力黑>侏.
gd g(工) g lb)
于是 /'(•z)g(b) > f (b) gO ,应选(A).
方法点评：本题考查函数单调性.
若y'(H)> o或y'(_z)< o时，/•&)严格递增或严格递减.
注意如下技巧：若题中出现/'(_r)g(>z)—/■(H)g'(_z)时，一般构造辅助函数；
g(H )
若题中出现f' (j; ) + /(a- )gz(j：), 一般构造辅助函数/(JC )g(J7 ).
(7)【答案】(C).
【解】由对面积的曲面积分的对称性质，得
Fds =.jjj/dS = 0, zdS Z(1S 9
s s 】
s
又因为 x dS =JJ ydS 』n dS 9所以』n dS = 4JJx dS 9 应选(C).
si si S] S S]
方法点评：二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分有类似的对称性,
对面积的曲面积分的对称性如下：
若》关于jrOy平面对称，其中工0夕平面上方为I】，则有
J0, f (.x ,y , — z) = — f (工,y ,z),
]J/(z ,z)dS =
12jJ/(jr ,w)dS ,
f (a: ,y , — 2) = f{x ,y ,z).
I习
其他两种情形同上.
(8)【答案】(D).
【解】 方法一 令S”="]+“2 ------"”，因为工"”收敛，所以lim“”= 0且limS„存在.
”=] "-8 8
设limS” = S，令 S： = ("] +“2)+("2 + "3)+ …+ ("” + «„+i)= 2S” 一 "i + “卄i.
OO
因为limS：, = 2S —-，所以级数工("” +"”+i)收敛，应选(D).
心00
” = 1 ■
(—1 \ H g /_ 1 \ W °° 1
方法二 取Un = 丄 、，级数工| / 、收敛，而工丄 、发散，(A)不对;
1 ,1 1
ln(z? + 1) /z = 1 ln(n + 1) z/ = 1 n ln(7? + 1)取"”=上?，级数》 =工丄发散，(B)不对；
>7
寸Tl n = \ ” = 1"
(—1 \n~l 00 吕 1
取U” =' ，级数工(“2”T — “2”)= Y —发散，(C)不对，应选(D).
n n=\ n=\ n
(9) 【答案】(D).
【解】 令 A =( a 1 .a?,…，a”)，B = (0i，02，・"‘0,”).
由 i ,am 线性无关，得 r (A) =m.
a ,a2,
若山，卩-…仇线性无关，则r(B)=m,因为
r(A)
=r(B) 所以矩阵
A.B
等价；
反之,若矩阵A 等价，则r(A) — rCB ),因为r(A)—加，所以r(B)=加，又因为矩阵的秩
.B
与矩阵列向量组的秩相等，所以你，02,…，血的秩为加，即你心，… 线性无关，应选(D).
0”
(10) 【答案】(E).
【解】W诃不相关的充分必要条件是Cov(f，^) =0.
而 Cov(Wq) =Cov(X + Y,X — Y) =Cov(X,X) -Cov(Y,Y) =D(X) -D(Y),
又 D(X) =E(X2) -[E(X)T， D(Y) =E(Y2) ~[E(Y)]2,
所以不相关的充分必要条件是D(X) =D(Y),
即 E(X2) ~[E(X)J2 =E(Y2) -[E(Y)]2,应选(E).
三、解答题
— . 1
/2 + sin j- \ 2 -h e7
(11)【解】 由 lim T + I I = lim -------r + lim = 0 + 1=1,
z-o+'l+e’ 1 1 ' 乂_°* 1 +
— . 1
/2 + eJ . sin jc \ 9 4- e7 sin r
lim ( T I x I j = lim ------------lim --------=2 — 1 = 19
/2 + eT sin x \
得啸匚/ +甘)7
(12)【解】由复合函数求偏导法则，得
券= yf； + —fi —气 g'，
dx y x
=f\ + y (工咒 y 〃
-------g
dy X
l—i
£〃 无 〃〃
1 /
y >
1 —f 2 + ^yf 11 J 22 g s
y y
x
(13)【解】令 PCx.y) = 4 , j? 2 + i y 2 Q («Z 9 』)= 4 无2 + j/2
dQ dp y2 工2
— 4
((乂，』)# (0,0)).
3jc (4jc 2 + y2 )2
如图所示，作L0：4^2+y2=r2(r> 0且L。位于L内 取
9
逆时针方向)，设L,与L围成的区域为Dl9L0围成的区
域为。2，由格林公式得
三(13)题图■z dy — y djr ap
djr- dy = 0 ,
4工
L+L0 2 + jy 2
Di
工七-―皿一£ x Ay — y Ax
于 > x dy 一 y dx
4工2 + y2・'Lo 4 j-2 -y2 5
2 r
dcr —• 7r • r •
7 = 7r-
r
D2 °2
(14)1 解】P =xf(.x ), Q = — xy/(jc ), R =-e2xz,
由高斯公式得
IX + lf
z Ax d』=土 血
Q J
e2r ]dv =0,其中O为S围成的有界闭区域.
由曲面 S 的任意性 9 得 /(jc ) + xff (j? ) — xf(x ) — e2r = 0 9
整理得/(jc) + (丄一1)/(工)=兰
\工 丿 X
”(”=土上2
孑［(丄一 1) dr ,
解得/(工)= 一八 d_z+C
X
Px(Px — 1)
因为 lim /(j? ) =19所以 C = — 1,于是 f(x )=---------
工-*■()+ H
n 3" + (—2)" +得工 1
(15)【解】由lira | = lim 壬-的收敛半
00 CL 8 72 + 1 3"+i 十(—2)"+i ° n = \ 3" + (—2)" n
1
径为R=3,幕级数工； •—的收敛区间为(一3 93).
„=i 3" + (—2)” n
1 3" 3 1
当 =3时，〉2
X
n = \ 3" + (- 2)" n n = l 3" + (—2)" n
吕
因为 3” •丄 洛>0且乞 亦 11 发散，所以若 1 L 3” 发散,
3" + (—2)" 5 n = \ 2/7 3 + (—2)" n
即「3时，级数g亍;_ 2)”
—发散;
n
当z = — 3时，
8 1
(—3)" 3' (-1)
y__________ V
倉 3" + (—2)" n 3" + (—2)" n
” =1
(-1)" _ £ 2” 1
X
n = 1 n “ =1 3" + (—2)" 71
对正项级数头+(2"—1
2”+】
2" 1 2"
由lim 「得级数.”+—)”
_3"+】+ (— 2)"+i n + n
冷再略 (—1)" 收敛得工=-3时，级数工—:小” •二收敛.
n 十(一/) 兀
„ = 1 3（16）【解】 设球体为+y2+z2 点P°（0,0,R）为球面X上一点，且设0的重心
坐标为,由对称性得x =09y =0.
一 R）2]du Jj 2 + y2 + Cz — R ）2Jdv
M N •怡[工 2 + ? 2 +( N
n
— Q
Z = ―rcr---------------------------------------------
|jj
k \_jc 2 + y2 + (z 一 R )2 \_jc 2 + y2 + Cz — R )2]du
n
a
由奇偶性得Jj [a-2 + 夕2 +(Z 一 R)2]du = JJ(X2 + y2 + z2) d?7 + jjj K2 dx；
2
X
n nQ n
f 2n d0 d卩 R r 4 si - n 卩 d . 厂- 4 -- 兀 - 疋 --
0 J 0 o 3
rR 4 , , 4兀应 32兀疋
=2tt sin(pd(p r dr +
3 15
o o
JJnR? + y2 + (z — R )2 ]df = _2R x2 + y2 + / )du 8 Tri?6
15
n n
-手R ，故0的重心坐标为（0,0, — j）
于是N
4
方法点评：本题考查三重积分的物理应用.
积分学的物理应用是数学一的考点，主要有:
（1）重心
设D 为平面区域，面密度为p{x ,?）,则重心坐标为
jj
xp (jc Q )d(x jj，。（无,y）dcr
7 D —_ D
肿工，皿 f
p (jc ^y)da
D D
设0 为几何体，体密度为Q （工，夕9之），则重心坐标为
xp（H ，N）du ，夕,z）ck zp (j; 9y ^z)dv
—— n
Q
y =
|jj
JJioCx ,y ,z）dv ,y ,z）diy p (ar J ,n )du
Q
Q Q
设L 为平面曲线段，线密度为p{x Q）,则重心坐标为
xp (h 9y )ds yp （jc，歹）d s
7-----------------9 了 =
j* p（D ）ds
J Q (工，夕)ds
设丫 为曲面9面密度为0（2，夕，之）9则重心坐标为
jj
JJ Jtr/9（X ，夕，N）dS yp (jc，丿，n )dS zp (jc 9夕，N)dS
r — 2 —— 工
三=*（ N =〒
jjp (h q ,N)dS
jj^o (jc，夕 9N)dS jj^O(J： ,N)dS
5
2(2)转动惯量
设D为平面区域，面密度为°(工，》)，则转动惯量为
匚(z )dc , Zy =jjz F (工，y )ck , /” =『(工2 +3? )q(_z
D D D
对几何体、空间曲线、空间曲面绕某直线旋转的转动惯量有类似公式.
(17)【解】 令 FQ) = \ =F(tt) =0.
J 0
由罗尔定理，存在c e (0,兀)，使得F'(c)=o,即/Xc)=0.
用反证法.不妨设在(0,71)内/(jf)除C外没有其他零点，则/(工)在(0,C)与(C,7T)内异
号，不妨设当z e (0,c)时，/'(工)> 0；当工6(C,兀)时,/(jc) < 0.
(cos x — cos c) f (工)dz = (cos x — cos c) f (jc )dz + (cos x — cos c)/(jc )dz 9
。
Jo J J c
因为(cos x — cos c )/(jr )在[0 上连续，(cos x — cos c)/(j? ) A 0 且不恒为零，所以
一 cos c)/(jc )djr〉0.
同理J (cos x — cos c )/(j? )djr > 0 ,故](cos x 一 cos c)/(jc)cLz〉0・
而 (cos jc 一 cos c)/(jc )dr = cos xf^jc )dz 一 cos c /(jt )dz = 09矛盾 9所以才(工)在
J J 0
0 J 0
(0,7T)内至少有两个零点.
(18) L 解】|A* 1 = 8,由 |A* |=|A|3,得 |A| = 2.
由 ABA 1 =BA 1 +3E,得 =B + 3A，解得(A -E)B =3A.
于是 B =3(A -E)_1A =3[A_1 (A -E)]-1 =6(2E - 2A^)_1 =6(2E -A* )_1 ,
10 0 0
1 0 0 0
0 10 0
0 1 0 0
因为2E — A * ，所以(2E -A * ) 1 0 1 0
-1 0 1 0
.0 3 0 _6‘
16 0 0 0
0 6 0 0
于是B =
6 0 6 0
2 3 0 -1
(19)【解】(I)由题意得
[-9 丄 2
攵 百夕”，
整理得丿 ”+1 = J]o137 ” '
””+】=存”+汀
律A\
" 10 5 ,/工卄1\ (X
令 A = ，则( )=A
1 3 \y”+i / \y/4 一 1 \
令卩=(小诃 ])，因为小“ 不成比例，所以小，可 线性无关.
(U) 2)=(] 2 2
由At/j = t/i ,得小为A的属于特征值入 1 = 1 的特征向量；
由At]2 = -|■可
2'
得可
2
为A的属于特征值入
2 =*
的特征向量.
(IQ) x卄 1 •X “―1 =…=A
$卄
1 1
b，于是A
由 P AP =
2 '
/ 1 1 \
而 ；)'因此 A"=p[o 0 1 p ]=1土 4 + — 2" 4---- 2 - ” - - -- 2 \
' 5 1
F \1------ 1 H------2 /
2”-2 '
' 2"
(20)【解】 随机变量X的分布律为
P{X =k} =p(l -p)k~\k =1,2,…)，
则 E(X) =》kP〈X =卫2>(1 — p)i.
怡= 上=
1 1
OO OO -
令 S (工)=( | z | v 1),则 s(z)= ( —)'=—---------.
3 A = 1 \1一工/ (1—J?)
于是 E(X)=pS(\ — p)=丄；E(xb = ^k2P{X =pDU\ — pL ,
p ❻=1
令 Si (工)=工 9
k = \
则 Si (工)=才b (b — 1)/t + kxk~x
k=i k=\
肛上 _1)工z+石士尹="(£/)〃+d^
=(工 \ 〃 ] X
2 = 1 +
= U1_ J 十(1 — °)2 — (1 —工)3，
则 E(X2) =pSi(l-p) ，于是 D(X) =E(X2) - [E(X)]2 =上字.
P P
(21)【解】似然函数为
九。
—2 U x ■ +2
L(0) =/■(工
i
；&”(工
2
;0)"・/(工” ；0)=2"e '=「 (re, >6,i =1,2,--,72),
n
In L (0 ) = z? In 2 一 2 工 x，- + 2n& 9
1 = 1
因为2山L(0) =2”〉0,所以In L(0)关于9为增函数，
d(7
于是0的最大似然估计值为9 = min {x, }.
1W i W “
