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专题 08 复数、不等式、平面向量
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
1、近五年北京卷复数命题稳定，常以选
考点1 复数 2025北京卷、2024北京卷、2023北京
择题形式出现，分值固定，难度较低。重
（5年5考） 卷、2022北京卷、2021北京卷
点考查复数的基本概念，如模、共轭复数
考点2 等式与
等，以及复数的代数运算，包括加减乘除
不等式 2025北京卷、2024北京卷 等。题目通常结合复数在平面直角坐标系
（5年2考） 中的表示，考查复数与几何的结合。未来
可能会继续保持稳定，注重基础知识的考
查，同时可能结合其他数学知识，增加综
合性。
2、近五年北京卷等式与不等式命题形式
为选择题。选择题侧重基本性质和简单解
法。未来可能会继续强化综合应用，增加
考点3 平面向
2025北京卷、2024北京卷、2023北京 与其他知识模块的交叉考查。
量
卷、2022北京卷、2021北京卷 3、近五年北京卷平面向量命题以选择、
（5年5考）
填空题为主，偶尔在解答题中出现。重点
考查平面向量的基本概念、线性运算、数
量积等，常与平面图形结合。未来可能会
继续保持这一趋势，注重基础知识的考
查，同时可能增加难度，考查向量的综合
应用。
考点01 复数
1．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【解析】由 可得， ，所以 ，
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意得 .
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 在复平面对应的点是 ，根据复数的几何意义， ，
由共轭复数的定义可知， .
故选：D
4．（2022·北京·高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【解析】由题意有 ，故 ．
故选：B．
5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得： .
故选：D.
考点02 等式与不等式
6．（2025·北京·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A,当 时， ，故A错误；对于BD，取 ，此时 ，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.
故选：C.
7．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
考点03 平面向量
8．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
由 平方可得， ，所以 ．， ，
所以，
，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
9．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
10．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
11．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
12．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
； .
【答案】 0 3
【解析】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.1．（2025·北京·三模）已知向量 、 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量 、 满足 ， ，
则 .
故选：A.
2．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B．1 C． 或1 D．4
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .
因为 ，所以
所以 .
解得 .
故选：C.
3．（2025·北京东城·二模）已知单位向量 的夹角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为向量 为单位向量，且 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，
因为向量 的夹角 ，
所以 .
故选：B.
4．（2025·北京海淀·二模）已知向量 ．若 与 共线，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为向量 ．且 与 共线，
所以得 ，解得 .
故选：A.
5．（2025·北京海淀·二模）设 、 、 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，不妨取 ， ， ，则 ，A错；
对于B选项，不妨设 ， ， ，则 ，B错；
对于C选项，因为 ，由不等式的基本性质可得 ，C对；
对于D选项，不妨设 ， ， ，则 ，D错.
故选：C.
6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数 ， ， ， ，其中最小的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】易知 ，所以可得 ，
即 ；
再由基本不等式可得 ，即 ；
显然 ，即 ；
因此可得 ，即最小的是 .
故选：C
7．（2025·北京顺义·一模）已知直线 分别与函数 和 的图象交于 ，
，给出下列三个结论：① ；② ；③ .其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意直线 与 垂直，函数 和 的图象关于 对称，
所以 关于 对称，
又由 得交点坐标为 ，则 ，
对于①：因为 ，且 ，所以 ，①错误；
对于②：由 ，因为 ，则 ；②正确；
对于③：直线 与 联立，可得 ，即 ，
设函数 ， 是增函数，
又由 ， ，可得 ，
所以函数 在区间 上存在唯一零点，即 ，
因为 ，所以 ，
构造函数 ，则 ，
当 时，可得 ，
函数 在 单调递增；
当 时，可得 ，
函数 在 单调递减；
， ，
，③正确；
故选：C
8．（2025·北京房山·一模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项：举反例 可知不成立；
对于B选项： 举反例 可知不成立；
对于C选项： ，
因为 ，所以 ，而 且不同时为0，
故 ，即 ，正确；
对于D选项： 举反例 可知不成立；
故选：C．
9．（2025·北京丰台·一模）已知 ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，显然 不成立，因此A不恒
成立；
选项B：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，显然 不成立，故B不恒成立；
选项C：
由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此
恒成立，因此C恒成立；
选项D：
举反例：取 ， ， ， ，则 ， ，显然 不成立，因此D不
恒成立.
故选：C.
10．（2025·北京延庆·一模）设x， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
对于A：取 ，所以 ，A选项错误；对于B：取 ，所以 ，B选项错误；
对于C：取 ，所以 ，C选项错误；
对于D， ，当且仅当 取等号，所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 取等号，所以 ，
所以 ，D选项正确.
故选：D.
11．（2025·北京·三模）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数 对应的点的坐标是 ，
所以 ，
，
则 的共轭复数是： ，
故选：B．
12．（2025·北京大兴·三模）若复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】复数 为纯虚数，则 ，解的 .
故选：A
13．（2025·北京昌平·二模）若复数 ，则复数 的共轭复数 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
所以 ，故选：A.
14．（2025·北京·二模）设 为虚数单位，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ，
所以复数 对应的点 ，位于第四象限，
故选：D
15．（2025·北京丰台·二模）在复平面内，复数 的共轭复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】复数 的共轭复数 ，所以对应的点 位于第四象限.
故选：D.
16．（2025·北京海淀·三模）已知 为两个单位向量，且 ， 是平面内的一个定点， 是平
面内的一个动点， ， ．
（1）若 ， ，则 ．
（2）若 ，则点 的轨迹围成的图形面积为 ．
【答案】
【解析】（1） 为两个单位向量，且 ，
故 ，
；
（2）当 ， 时， ，
此时，点 的轨迹表示以点 ， 为端点的线段；
当 ， 时， ，
此时，点 的轨迹表示以点 ， 为端点的线段；
当 ， 时， ，
此时，点 的轨迹表示以点 ， 为端点的线段；当 ， 时， ，
此时，点 的轨迹表示以点 ， 为端点的线段；
记点 ， ， ， ，则点 的轨迹为四边形 ；
因为 ，故四边形为矩形 ，且 ，
所以，点 的轨迹围成的图形面积为 ，
故答案为： ，
17．（2025·北京·三模）已知单位向量 满足 ，则 的模为 .
【答案】
【解析】根据题意， ，
即 ，
所以 ，
则 .
故答案为：
18．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
19．（2025·北京海淀·二模）若 （ 为虚数单位），则 ．
【答案】
【解析】因为 ，又 ，所以 ，则 .
故答案为：
