文档内容
专题 08 解三角形 7 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01利用正余弦定理解三角形
2025·天津2025·全国二卷 2024·天津
2023·上海 2023·天津2023·全国乙卷
2022·天津2021·全国甲卷 2021·上海
2021·天津
考点02正余弦定理综合
知识1 正余弦
2024·全国甲卷 2023·北京 2022·全国乙卷
定理
（5年5考） 考点03三角形的面积问题
1.三角形正余弦定理求基本量运算
2025·全国一卷2024·新课标Ⅰ卷2024·北京
是高考必考知识点，边角转化，
2023·全国甲卷2023·全国乙卷 2023·新课标Ⅱ卷
最值问题与不等式相结合等都是
2022·新高考全国Ⅱ卷2022·浙江2021·全国乙卷
高考高频考点
2021·新高考全国Ⅱ卷
2.解三角形在高考解答题中，周长
考点04三角形的周长问题
面积问题是高考中常考题型，难
2024·新课标Ⅱ卷2022·北京 2022·全国乙卷
度一般，容易出现结构不良试题
2021·北京
以及与三线相结合，注重常规方
考点05正、余弦定理在几何中的应用 法以及常规技巧
2025·北京2023·新课标Ⅰ卷 2023·全国甲卷
2022·全国甲卷 2021·浙江
知识2 解三角
2021·新高考全国Ⅰ卷
形的应用 考点06解三角形的最值问题
（5年5考）
2022·新高考全国Ⅰ卷
考点07解三角形的实际应用
2024·上海2021·全国甲卷 2021·全国乙卷
考点01利用正余弦定理解三角形
1．（2025·全国二卷·高考真题）在 中， ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理 直接计算求解即可.
【详解】由题意得 ，
又 ，所以 .
故选：A
2．（2021·全国甲卷·高考真题）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
3．（2023·上海·高考真题）在 中，已知 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求得 ，再利用同角三角函数关系式求得 .
【详解】 ，
A为 的内角，
.
故答案为: .
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 的值，最后利用三角
形内角和定理可得 的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
故选：C.
5．（2023·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出 ，再由平方关系求出 ，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，所以 都为锐角，因此 ， ，
．
6．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1） ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；
（2）法一：求出 ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出 ，则得到 ；
（3）法一：根据大边对大角确定 为锐角，则得到 ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；
法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.
【详解】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，
所以
7．（2025·天津·高考真题）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于 的方程，求解可得 ，进而求得 ；
（3）利用正弦定理先求 ，再由二倍角公式分别求 ，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，
故 ；（2）由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，
解得 （ 舍去），
故 ；
（3）由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
8．（2021·上海·高考真题）已知A、B、C为 的三个内角，a、b、c是其三条边， ﹒
(1)若 ，求b、c；
(2)若 ，求c．
【答案】(1)1， ；
(2) ﹒
【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解 的值；利用余弦定理即可求解 的值．
(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 、 的值，进而根据正弦定
理可得 的值．
【详解】（1）∵ ，由正弦定理得 ，
又 ，可得 ，
由于 ，可得 ．
（2）∵ ，0＜C＜π，
∴ ，C＞ ＞A，.
∵ ，
∴ ，
又 ，
可解得 或 (舍)，
由正弦定理 ，可得 ．
9．（2021·天津·高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ，
．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
【答案】（I） ；（II） ；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得 ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
10．（2022·天津·高考真题）在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知
.(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得：
．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以
．
（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而 ，所以
，
故 ．
考点02正余弦定理综合
11．（2024·全国甲卷·高考真题）在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，由正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
12．（2023·北京·高考真题）在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .
故选：B.
13．（2022·全国乙卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
考点03三角形的面积问题
14．（2021·全国乙卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
15．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
16．（2022·浙江·高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式
求出面积．
【详解】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
17．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c
为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
18．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种
方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边
，则该三角形的面积 ．
【答案】 .
【分析】根据题中所给的公式代值解出．
【详解】因为 ，所以 ．故答案为： .
19．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角
三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知 得 的值即
可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
21．（2023·全国甲卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得： ．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得： ，即 ，
而 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 的面积为 ．
22．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1) ；
(2)选择①无解；选择②和③ ABC面积均为 .
△
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得 ，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出 ，再代
入式子得 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先
得到 ，再利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形
面积公式即可；【详解】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,
则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
23．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
24．（2025·全国一卷·高考真题）已知 的面积为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】对 由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较 和 的
大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利
用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用 算出 取值，最后利用三角形面积求
出三边长，即可判断每个选项.
【详解】 ，由二倍角公式， ，
整理可得， ，A选项正确；
由诱导公式， ，
展开可得 ，
即 ，
下证 .方法一：分类讨论
若 ，则 可知等式成立；
若 ，即 ，由诱导公式和正弦函数的单调性可知， ，同理 ，
又 ，于是 ，
与条件不符，则 不成立；
若 ，类似可推导出 ，则 不成立.
综上讨论可知， ，即 .
方法二：边角转化
时，由 ，则 ，
于是 ，
由正弦定理， ，
由余弦定理可知， ，则 ，
若 ，则 ，注意到 ，则 ，
于是 （两者同负会有两个钝角，不成立），于是 ，
结合 ，而 都是锐角，则 ，
于是 ，这和 相矛盾，
故 不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由 ，结合正弦定理可得， ，由射影定理可得 ，于
是 ，
则 ，可同方法一种讨论的角度，推出 ，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知 同时为 或者异号，即
，展开可得，
，即 ，结合和差化积， ，由上述分析，
，则 ，则 ，则 ，即 ，于是 ，可
知 .
由 ，由 ，则 ，即 ，
则 ，同理 ，由上述推导， ，则 ，
不妨设 ，则 ，即 ，
由两角和差的正弦公式可知 ，C选项正确
由两角和的正切公式可得， ，
设 ，则 ，
由 ，则 ，则 ，
于是 ，B选项正确，由勾股定理可知， ，D选项错误.
故选：ABC
考点04三角形的周长问题
25．（2022·北京·高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.【详解】（1）解：因为 ，则 ，由已知可得 ，
可得 ，因此， .
（2）解：由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ， ，
所以， 的周长为 .
26．（2021·北京·高考真题）在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求 边
上中线的长．
条件①： ；
条件②： 的周长为 ；
条件③： 的面积为 ；
【答案】（1） ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1） ，则由正弦定理可得 ，
， ， ， ，
，解得 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 ，
与 矛盾，故这样的 不存在；
若选择②：由（1）可得 ，
设 的外接圆半径为 ，则由正弦定理可得 ，
，
则周长 ，
解得 ，则 ，
由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得 ，即 ，
则 ，解得 ，
则由余弦定理可得 边上的中线的长度为：
.
27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
28．（2022·全国乙卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
由（1）得 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 的周长为 .
考点05正、余弦定理在几何中的应用
29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在 中， ．(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 ,再由正弦定理求出 ，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
30．（2023·全国甲卷·高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出 ，再根据等面积法求出 ；
方法二：利用余弦定理求出 ，再根据正弦定理求出 ，即可根据三角形的特征求出．【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
31．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 中，点D在边BC上， ．当
取得最小值时， ．
【答案】 /
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
32．（2021·浙江·高考真题）在 中， ，M是 的中点， ，则
， .
【答案】
【分析】由题意结合余弦定理可得 ，进而可得 ，再由余弦定理可得 .
【详解】由题意作出图形，如图，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 （负值舍去），
所以 ，在 中，由余弦定理得 ，
所以 ；
在 中，由余弦定理得 .
故答案为： ； .
33．（2025·北京·高考真题）在 中， ．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求BC边上的高．
条件①： ；条件②： ；条件③： 的面积为 ．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得 都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得 ，由余弦定理求得 ，利用等面积法
求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得 ，再根据余弦定理可求得 ，由此可说明三角形 存
在，且可由等面积法求解 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理有 ，解得 ；
（2）如图所示，若 存在，则设其 边上的高为 ，
若选①， ，因为 ，所以 ，因为 ，这表明此时三角形 有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形 不存在，故 边上的高也不存在；
若选②， ，由 有 ，由正弦定理得 ,所以 ，
所以由余弦定理得 ,此时三角形 是存在的，且唯一确定，
所以 ,即 ，
所以 边上的高 ；
若选③， 的面积是 ，则 ，
解得 ，由余弦定理可得 可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得 也可以唯一确定，即 可以唯一确定，
这表明此时三角形 是存在的，且 边上的高满足： ，即 .
34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，
点 在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
考点06解三角形的最值问题
35．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，
方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知 即可求解，方法四：根
据半角公式和两角差的正切公式化简后求解.
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）方法一：直接法
可得 ，
则 ，即 ，注意到 ，于是 ，
展开可得 ，则 ，
又 ， .
方法二：二倍角公式处理+直接法
因为 ，
即 ，
而 ，所以 ；
方法三：导数同构法
根据 可知， ，
设 ， ，
则 在 上单调递减， ，
故 ，结合 ，解得 .
方法四：恒等变换化简
，
结合正切函数的单调性， ，则 ，
结合 ，解得 .
（2）由（1）知， ，所以 ，而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
考点07解三角形的实际应用
36．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是
测海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的
差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
37．（2021·全国甲卷·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C
点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面
的高度差 约为（ ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．
【详解】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，
所以
所以 ．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ．
38．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A满足
，则 (精确到0.1度)
【答案】
【分析】设 ，在 和 中分别利用正弦定理得到 ，
，两式相除即可得到答案.
【详解】设 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ’
即 ①
在 中，由正弦定理得 ，即 ，即 ，②
因为 ， 得 ，
利用计算器即可得 ，
故答案为： .
