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押天津卷 14~15 题
平面向量线性运算、函数性质综合应用
考点 2年考题 考情分析
近两年高考对于平面向量的线性运算考察难度较大，主要考
平面向量 2023年天津卷第14题 察平面向量基本定理以及平面向量的数量积运算，而且近两
年高考对于数量积运算考察时都结合了基本不等式的内容。
线性运算 2022年天津卷第14题 整体来看综合性较强，难度较大，可以预测24年高考很可
能仍会结合基本不等式和数量积运算来考察。
高考对于函数性质的综合考察难度较大，需要考生熟练掌握
函数图像与性质，常考察分段函数，零点问题，参数范围问
函数性质 2023年天津卷第15题
题，考查形式较多，并在解题过程中大多涉及数学中重要的
综合应用 2022年天津卷第15题 分类讨论思想，整体综合性较强，属于填空压轴题。
题型一平面向量线性运算
14．（5分）（2023•天津）在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若
设 ， ，则 可用 ， 表示为 ；若 ，则 的最大值为
．
【答案】 ； ．
【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
【解答】解：在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点， ，
，则 ；
设 ， ，
由余弦定理可得： ，
又 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
则 ，
则
，
即 的最大值为 ．
故答案为： ； ．14．（5分）（2022•天津）在 中， ， ， 是 中点， ，试用 ， 表示
为 ，若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】由题意，利用两个向量加减法及其几何意义，两个向量的数量积公式，基本不等式，求出
的最小值，可得 的最大值．
【解答】解： 中， ， ， 是 中点， ，如图：
．
， ，
，即 ，
即 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，故 的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故答案为： ； ．
一、平面向量共线定理
已知 ，若 ，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点P在直线AB上或者在平行
于AB的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和
线.
（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；
（2）当等和线在O点和直线AB之间时， ；
（3）当直线AB在点O与等和线之间时， ；
（4）当等和线过O点时，k=0；
（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.
三、平面向量中的最值（范围）问题
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．
其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
等，解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根
据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、
方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决．
四、极化恒等式
设a，b是平面内的两个向量，则有
证明： ，① ，②
将两式相减可得 ，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ， ，则
，由 ，得 ．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的 ”．②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由
变形为 ，得 ，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们
从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量
与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
五.基本不等式
a+b a+b
√ab≤
如果 a>0，b>0 ，那么 2 ，当且仅当a=b时，等号成立．其中， 2 叫作 a，b 的算术平均数，
√ab a，b a，b
叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
R a2 +b2 ≥2ab a=b
基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；
a+b
基本不等式2：若 R+ ，则 2
≥√ab
（或 a+b≥2√ab ），当且仅当a=b时取等号.
注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值
时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致.
（1）几个重要的不等式
①
②基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： （ 同号）.
（2）其他变形：① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
六.均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，积有
最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有最小
值”.
1．平面四边形 中， ， 为 的中点，用 和 表示
；若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】根据中线的向量表示，写出 ，即可求出 ；根据 ， ， ，
计算 ，即可求出 的最小值．
【解答】解：平面四边形 中， 为 的中点，所以 ，所以 ；因为 ， ，所以 ，
若 ，则
，
，
，
当 、 共线反向时取“ ”，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
2．在平行四边形 中、 是线段 的中点，点 满足 ，若设 ， ，则 可
用 ， 表示为 ；点 是线段 上一点，且 ．若 ，则 的
最大值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】由向量的线性运算，可将 可用 ， 表示出来；再由 ，可得 ，从而得
，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值．
【解答】解：由 ，可得 ，
则；
由 ，可得 ，
则 ，
由 ，可得 ，
即 ，
整理得 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立，
则 的最大值为 ．
故答案为： ； ．
3．如图，在平行四边形 中， ， 为 的中点， 为线段 上一点，且满足
，则 ；若 的面积为 ，则 的最小值为 ．【答案】 ； ．
【分析】利用平面向量基本定理以及线性运算，结合向量相等，求出 的值，利用平行四边形的面积，求
出 ，由模的运算性质以及基本不等式求解最值即可．
【解答】解： ，
所以 ，
则 ，所以 ，所以 ，
因为 的面积为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
则 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
4．在 中， 是 边的中点， ， ， ，则 4 ；设 为平面上
一点，且 ，其中 ，则 的最小值为 ．
【答案】4； ．
【分析】设 ，根据平面向量数量积的定义与运算性质化简 ，得到关于 的方程，解之可得 边的长；设 ，由 证出 、 、 三点共线，然后利用三角形中
线的性质与向量数量积的运算性质，化简 得到关于 的二次函数，进而求出 的最小值．
【解答】解：设 ，则 ，
因为 ， 为 边的中点，所以 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 不符合题意，舍去），即 ．
因此，可得 ， ，
，
．
设 ，由 ，得 ，整理得 ，
即 ，可得 、 、 三点共线，
如图所示， 为 的边 上的中线，可得 ，同理 ．
所以 ，
而 ， ，
， ，可得 ，
当 时， 的最小值为 ．
故答案为：4； ．
5．已知平行四边形 的面积为 ， ，且 ．若 为线段 上的动点，且
，则实数 的值为 ； 的最小值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】将 用 和 表示出来，利用 ， ， 三点共线，得 ，解得 ；设
，由平行四边形面积，解得 的长，结合 的表达式，利用向量数量积的性质进行运算，再由
基本不等式求得模的最值．
【解答】解：由题意，
，
因为 ， ， 三点共线，
则有 ，解得 ；
设 ， ，不妨设 ，
因为 的面积为 ， ，
所以 ，即 ，
由 ，可得
，
当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ； ．
6．如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在边 上，
交 于点 ，设 ，则 ；点 是线段 上的一个动点，则
的最大值为 ．
【分析】取 的中点， 连接 ，结合条件可得 ，再由平面向量的线性运算计算可得
，由平面向量基本定理即可求得 ， ，从而求得第一空；设 ，由
平面向量的线性运算得 ，再由平面向量的数量积运算可得 ，
结合 的取值范围，即可求得．【解答】解：取 的中点， 连接 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，则 为 的中位线，所以 ，
因为 ，所以 为 的中位线，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
因为点 是线段 上的一个动点，所以设 ，
所以 ，
所以
，
当 时， 有最大值，且最大值为 ．
故答案为： ； ．
7．如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的直线 与直线 相交于
点，与直线 相交于 点 ， 交两点不重合）．若 ，则 ，若
，则 的最小值为 ．【答案】 ．
【分析】根据 即可得出 ，从而得出 ，从而求出 的值；可得出
，根据 ， ， 三点共线即可得出 ，并且 ， ，然后可根据
基本不等式和1的代换即可求出 的最小值．
【解答】解： ，
，
，又 ， 不共线，
， ；
，且 ， ， 三点共线，
，且 ， ，
，当且仅当 ，即 时取等号，
的最小值为： ．
故答案为： ．
8．在平面四边形 中， ， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则；若 ，点 为线段 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】由平面向量投影的运算，结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数最值的求法求解即可．
【解答】解：过点 作 垂直 于点 ，
则向量 为向量 在向量 上的投影向量，
又向量 在向量 上的投影向量为 ，
则点 为线段 的中点，
所以 ，
所以 ，
又 为锐角，
故 ；
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴建系如图，
则 ， ， ，
因为 ，
所以 ，
因为点 为线段 上的动点，
设 ， ， ，
故点 ，
则 ， ，
，当 时， 取到最小值 ．
故答案为： ； ．
9．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图
2 是 从 窗 花 图 中 抽 象 出 的 几 何 图 形 的 示 意 图 ． 如 图 2 ， 正 八 边 形 中 ， 若
，则 的值为 ；若正八边形 的边长为2， 是正八边
形 八条边上的动点，则 的最小值为 ．
【分析】对第一空，建系，根据向量坐标运算，建立方程，即可求解；
对第二空，分别延长 与 交于点 ，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：
的最小值为 ，再计算即可得解．
【解答】解：对第一空，建系如图，设正八面体的中心 到顶点的距离为1，则 ， ， ， ， ，即 ， ，
， ， ，
又 ，
， ， ， ，
，解得 ，
；
对第二空，如图，分别延长 与 交于点 ，
则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：
的最小值为 ，
又 ，三角形 为等腰直角三角形，
，
的最小值为 ．
故答案为： ； ．10．在平面四边形 中， ， ， ，若 ，
则 ；若 为边 上一动点，当 取最小值时，则 的值为
．
【分析】根据题意可知 是等边三角形， 是有一个内角为 的直角三角形．又知道它们的边
长，所以可以建立坐标系，将问题坐标化后进行计算求解．
【解答】解： 平面四边形 中， ， ， ，
是边长为2的等边三角，在 中， ， ，所以 ．
又 ， ， ， 是 边的四等分点．
如图建立坐标系：则： ， ， ，
， ， ， ．
所以 ， ．
再设 ， ， ．
显然 时， 最小，此时 ．
．
故答案为： ， ．
11．在 中， ， ， ， ，则 ，若动点在线段 上，则 的最小值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】首先将 转化为 ，直接求出 ，再建系表示 ， ， 坐标
利用公式求解即可．
【解答】解：由已知有 在 延长线上，且 ， ，且 ，
，
由已知有 ，代入可得： ，
以 中点 点建立直角坐标系，则 ， ，设 ， ，
故 ， ，
故 ，故当 时取最小值，最小值为 ．
故答案为： ； ．
12．已知向量 满足 分别是线段 ， 的中点，若
，则 ；若点 为 上的动点，且 ，则 的最小
值为 ．
【答案】 ； ．
【分析】根据向量的线性运算，向量的数量积的定义与性质，平面向量的共线定理的推论，基本不等式，
即可分别求解．
【解答】解：如图，根据题意可得：，
，
，
；
延长 ， 交于点 ，则易得 ， 分别为 ， 的中点，
，又 ， ， 三点共线，
， ，
又点 为 上的动点，且 ，
， ， ， ， ， ，
，
当且仅当 时，取得等号，
的最小值为 ．
故答案为： ； ．13．在 中， 为 的中点， ，过点 任作一条直线，分别交线段 、 于 、 两
点，设 ， ，若用 、 表示 ，则 ；若 ， ，
则 的最小值是 ．
【答案】 ； ．
【分析】求出 关于 、 的表达式，再由已知条件可得出 ，可得出 关于 、 的表达式，
求出 、 关于 、 的表达式，根据 可得出 ，将代数式 与 相乘，
展开后利用基本不等式可求得 的最小值．
【解答】解：如下图所示：
因为 为 的中点， ， ， ，
则 ，
因为 ， ， ，
则 ，
因 为 ， ， 则 ，，
因为 、 、 三点共线，则 ，
所以存在实数 使得 ，即 ，
所以 ，消去 化简整理可得， ，即 ，
故 ，
因为过点 任作一条直线，分别交线段 、 于 、 两点，且 ，
则 ， ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立．
故 的最小值是 ．
故答案为： ； ．
14．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，则 的值
为 ；若 的面积为 ， 的最小值为 ．
【答案】 ； ．【分析】将 表示为 ， 的线性组合，由 ， ， 三点共线知系数和为1，可解得 的值，对
两边平方，再结合基本不等式即可求出 的最小值．
【解答】解： ， ，
，
又 ， ， 三点共线，
，
，
，
两边平方得： ，
由于 的面积为 ，
，
，即 ，当且仅当 时，等号成立，
的最小值为 ．
故答案为： ； ．
15．在梯形 中， ，且 ， ， 分别是 和 的中点，若 ， ，
用 表示 ，若 ，则 余弦值的最小值为 ．
【答案】 ， ．
【分析】根据向量加法和数乘的几何意义即可得出 ，同样可得出 ，根据可得出 ，从而得出 ，然后可求出 ，然后根
据基本不等式即可求出最小值．
【解答】解：如图，
， ， ， 分别是 和 的中点，且 ，
，
，且 ，
，
，
，当且仅当 ，即 时取等号，
余弦值的最小值为 ．
故答案为： ．
题型二 函数性质的综合应用
15．（5分）（2023•天津）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为
， ， ， ．
【答案】 ， ， ， ．【分析】首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．
【解答】解：①当 时， ，不满足题意；
②当方程 满足 且△ 时，
有 即 ， ， ，
此时，
，当 时，不满足，
当 时，△ ，满足；
③△ 时， ， ， ，
记 的两根为 ， ，不妨设 ，
则 ，
当 时， ， 且 ， ， ，
但此时 ，舍去 ，
， ，且 ，
但此时 ，舍去 ，
故仅有1与 两个解，即 有且仅有两个零点，
当 时，有 ，舍去 ， ，舍去 ，
故仅有 和 两个解，即 有且仅有两个零点，
综上， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．15．（5分）（2022•天津）设 ，对任意实数 ，记 ， ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出△ ，求
出 的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合可
求得实数 的取值范围．
【解答】解：设 ， ，由 可得 ．
要使得函数 至少有3个零点，则函数 至少有一个零点，
则△ ，
解得 或 ．
①当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
此时函数 只有两个零点，不满足题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如图所示：
由图可知，函数 的零点个数为3，满足题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有3个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在
区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2.解决嵌套函数形如f (g(x))零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．函数 若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值
范围为 ， ， ．
【答案】 ， ，
【分析】画出 ， 的图象，数形结合后可求参数的取值范围．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
则函数 恰有2个零点等价于 有两个不同的解，
故 ， 的图象有两个不同的交点，
设 ，
又 ， 的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，当 时，
考虑直线 与 的图象相切，
则由 可得△ ，即 ，
考虑直线 与 的图象相切，
由 可得 ，则△ ，即 ．
考虑直线 与 的图象相切，
由 可得 ，则△ ，即 ，
结合图象可得当 或 时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上， 或 ．
故答案为： ， ， ．
2 ． 已 知 函 数 有 且 仅 有 2 个 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 为
．
【答案】 ．
【分析】根据函数 是否有零点进行分类讨论：当△ 时， 恒成立，结合题意求解即可；当△ 且 时， 恒成立，不符合题意；当△ 且 时，结合二次函数性质讨论，
可得 没有实数根，计算出 的取值范围，最后综合可得本题答案．
【解答】解：设 ，对于方程 的根的判别式，有以下两种情况：
（1）当△ ，即 时， 恒成立，所以 ．
因为 有两个零点，所以 且 ，解得 或 （舍 ，
综上所述，当 时，满足 或 ；
（2）当△ ，即 或 时，
设 的两个根为 ， ，且 ，当 时， 恒成立，不满足题意，
当 时，关于 的方程 有两个解，
因为 ，可知 ，所以 与 的图象在 上必有一个交点，
当 时， 与 的图象没有交点，当 时， ，
所以 与 的图象在 内必有一个交点，
因此，要使方程 有且只有两个零点，则 没有实数根，
即方程 没有实数根，可得 ，解得 ，
结合 ，可得 ．
综上所述，满足条件的实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．3 ． 函 数 ， 函 数 ， 若 函 数
恰有2个零点，则实数 的取值范围是 或 或 ．
【答案】 或 或 ．
【分析】根据题意整理函数解析式，利用导数要求分段函数单调性，结合分类讨论思想以及零点存在性定
理，可得答案．
【解答】解：由题意可得 ．
当 时， ，
△ ，
当 在 ， 上存在2个零点时， ，解得 ；
当 在 ， 上存在唯一零点时， ，解得 ；
当 在 ， 上不存在零点时， 无解．
当 时， ，则 ，
当 时， ， 在 单调递增，
（1） ， ，由 （2） ，
则 在 上存在唯一零点，此时符合题意；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，所以 ，令 ，解得 ，
当 时， 在 上存在唯一零点，此时符合题意；
当 时， ，此时符合题意；
当 时， ， （1） ， ，
由 ，则 在 存在2个零点，此时不合题意；
当 时， ，则 在 不存在零点，此时不合题意．
综上所述， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
4．已知函数 ，若函数 在 上恰有三个不同的零点，则 的取值
范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用参数分离法分离参数，构造两个函
数，求出函数的导数，研究函数的单调性和图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：当 时，由 ，
得 ，
则 ，
当 时，由 ，
得 ，当 时， 不成立，即 ，则 ，
设 ， ，
，
当 时，由 得 ，此时 为增函数，
由 得， ，此时 为减函数，且 ，
即当 时， 取得极大值为 ，
设 ， 且 ，
，
则由 ，得 ，此时 为增函数，
由 ，得 或 ，此时 为减函数，
即当 时， 取得极大值为 ，
当 时， ，
作出 ， 和 ， 且 的图象如图：
要使 在 上恰有三个不同的零点，
等价为 与 ，和 的图象分别有三个不同的交点，
由图象知， 或 ，
即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．5．函数 ， ， ，其中 ， ， 表示 ， ， 中的最小者．若函数
有12个零点，则 的取值范围是 ， ， ．
【 分 析 】 将 问 题 转 化 为 有 12 个 不 等 实 根 ， 设 ， 可 知 方 程
有两个不等实根，结合函数图象可确定 ， 的范围，结合二次函数零点的分布列出不
等式组求得结果．
【解答】解：题意转化为 有12个不等实根，
作出 图象，如下图所示：
设 ，则 有两个不等实根，所以△ ，
记 的两根为 ， ， ，
则有 ，
所以 ，
解得： ， ， ，
综上所述：实数 的取值范围为 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
6．已知函数 是定义域为 的偶函数，当 时， 若关于 的方程
， 有且仅有6个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ， ，
．
【答案】 ， ， ．
【分析】根据函数的奇偶性作出函数 的图象，利用换元法判断函数 的根的个数，利用数形结
合即可得到结论．
【解答】解：作出函数 的图象如图：
则 在 和 上递增，在 和 上递减，当 时，函数取得极大值 （1） ；
当 时，取得极小值0．
要使关于 的方程 ， ， 有且只有6个不同实数根，
设 ，则当 ，方程 ，有0个根，
当 ，方程 ，有1个根，
当 或 ，方程 ，有2个根，
当 ，方程 ，有4个根，
当 ，方程 ，有0个根．
则 必有两个根 、 ，
则有两种情况符合题意：
① ，且 ，
此时 ，
则 ， ；
② ， ， ，
此时同理可得 ，
综上可得 的范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．7．已知函数 ，则函数 的各个零点之和为 5 ；若方程 恰有四
个实根，则实数 的取值范围为 ．
【答案】5； ， ， ．
【分析】求出函数 的零点，可求得函数 的各零点之和；令 ，可得出函数 的值域
为 ， ， ，设方程 在 ， ， 上有两个不等的实根，设为 、 ，可
得出 、 或 、 或 ， ，数形结合可得出实数 的取值范围．
【解答】解：当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，解得 或4，
所以，函数 的各个零点之和为 ；
令 ，当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以，函数 的值域为 ， ， ，
作出函数 的图象如下图所示：若方程 恰有四个实根，则方程 在 ， ， 上有两个不等的实根，设为 ，
，
由图可知， ， 或 ， 或 、 ，
作出函数 在 ， ， 上的图象如下图所示：
由图可得 或 ，
因此，实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为：5； ， ， ．8．设 ，函数 与函数 在区间 ， 内恰有3个零点，则
的取值范围是 ， ．
【答案】 ， ．
【分析】设 ，结合题意可知函数 在区间 ， 内恰有3个零点，分析 时不符
合题意， 时，结合二次函数△ 的正负及 （a） 的正负即可求解．
【解答】解：由题意，函数 与函数 在区间 ， 内恰有3个零点，
设 ，
即函数 在区间 ， 内恰有3个零点，
当 时，函数 在区间 ， 内最多有2个零点，不符合题意；
当 时，函数 的对称轴为 ，
△ ，
所以，函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且 （a） ，
当△ ，即 时，函数 在区间 ， 上无零点，
所以函数 在 ， 上有三个零点，不符合题意；
当△ ，即 时，函数 在区间 ， 上只有一个零点，
则当 ， 时， ，
令 ，解得 或 ，符合题意；当 ，即 时，函数 在区间 ， 上有1个零点，
则函数 在 ， 上有2个零点，
则 ，即 ，所以 ；
当 ，即 时，函数 在区间 ， 上有2个零点，
则函数 在 ， 上只有1个零点，
则 或 或 ，即无解．
综上所述， 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
9．设 ，对任意实数 ，记 ， ．若 有三个零点，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】 ．
【分析】分析函数 ， 的零点，由条件列不等式求 的取值范围．
【解答】解：令 ， ，
因为函数 有一个零点，函数 至多有两个零点，
又 有三个零点，所以 必须有两个零点，且其零点与函数 的零点不相等，
且函数 与函数 的零点均为函数 的零点，
由 可得， ，所以 ，
所以 为函数 的零点，
即 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
由已知 有两个根，
设 ，则 有两个正根，
所以 ， ， ，
所以 ，故 ，
当 时， 有两个根，
设其根为 ， ， ，则 ，
设 ，则 （2） ， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
则 ， ，
且 ， ，
所以当 时， ，所以当 时， ， 为函数 的零点，又 也为函数 的零点，
且 ， 与 互不相等，
所以当 时，函数 有三个零点．
故答案为： ．
10．若函数 ，函数 有两个零点，则实数 的取值是 或 0
．
【答案】 或0．
【分析】由题意可得函数 与 有两个不同的交点，作出两函数的图象，结合图象即可求解．
【解答】解：若 有两个零点，
即函数 与 有两个不同的交点，
作出函数 与 的图象，
当 时，显然符合题意，
当 时，两函数在 内有一个交点，则另外一交点为 与 的切点，
设切点坐标为 ， ，则 ，
解得 ，及切线斜率 ，
故答案为： 或0．11．已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ．满足 ，且
，则 1 ， 的取值范围是 ．
【答案】1；
【分析】作出函数 的图象，结合图象可知 ， ， ， 之间的关系，利用此关系直接求出 ，
再将 转化为关于 的二次函数求范围即可．
【解答】解：作出函数 的图象，如图，
因为 ，
所以由图可知， ，即 ，且 ，
，
在 上单调递增，
，即 的取值范围是 ．
故答案为：1； ．
12．已知函数 ，若关于 的方程 恰有5个不同的实数
解，则实数 的取值集合为 ．
【答案】 ．
【分析】利用函数与方程的解的个数之间的关系，利用数形结合的思想即可求解．
【解答】解：作出函数 的大致图象，如图所示，
令 ，则 可化为 ，
则 或 ，
则关于 的方程 恰有5个不同的实数解
等价于 的图象与直线 ， 的交点个数之和为5个，
由图可得函数 的图象与直线 的交点个数为2，
所以 的图象与直线 的交点个数为3个，
即此时 ，解得 ，即实数 的取值集合为 ．
故答案为： ．
13．记 ，若 ， 有三个不等实
根 ，若 ，则实数 ．
【答案】 ．
【分析】首先根据定义，画出函数 ， 的图象，并在同一坐标系中画出 的图
象，根据图象，并联立方程，求得 ， ， ，利用条件求解 的值即可．
【解答】解：令 ，两边平方后得 ，
令 ， ，定义域为 ， ， 恒过点 ，
联立 ，解得： ， ，所以 ， ，
画出函数 的图象，
， 在 上， ， 在 上， ， ，
联立 ，解得： ，联立 ，得 ，解得： ， ，
， ，
，解得： ，因为 ，所以 ．
故答案为： ．
14．设 ，函数 若 恰有两个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】 ．
【分析】分析可知 ，令 ，由参变量分离法可知，直线 与函数 的图象
有两个交点，利用导数分析函数 的单调性与极值，数形结合可得出实数 的取值范围．
【解答】解：因为函数 ， ，
当 时，由 可得 ，可得 ，
当 时，由 可得 ，可得 ，
令 ，则直线 与函数 的图象有两个交点，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，
由 可得 ，由 可得 ，所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的极小值为 （1） ，
且当 时， ，当 时， ，如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，此时函数 有两个零点，
因此，实数 的取值范围是 ．
另解：由 ，可得 ， ，
，即 ，即有 ， ，
分别作出 ， ，与 ， 的图象，
考虑 与 ， 相切，设切点为 ，可得 ， ，
解得 ，所以当 时，直线 与函数 ， 的图象有两个交点，
此时函数 有两个零点．
故答案为： ．
15．已知 ，且函数 恰有3个不同的零点，则实数 的取值范围是．
【分析】函数的零点的问题也是函数的图象的交点问题，分别画出函数的图象，由图象可知 的范围．
【解答】解： 函数数 恰有3个不同的零点，
有三个解，
即 与 有三个交点，分别画出函数 与 的图象，
当 时， 与 只有一个交点，
则当 时，函数 ，与 的图象有必有两个交点，
有图象可知 的范围为 ，
故答案为：
16．定义函数 ，设 ， ，
若 含有3个不同的实数拫，则实数 的取值范围是 或 ．
【答案】 或 ．【分析】由于方程 有两个实数根，所以 有两个相等的实根或者
两个相异的实根，若 含有3个不同的实数拫，结合函数的图象，分情况进行讨论 根的情形
得出结果．
【解答】解：设 ， ，
由 ，解得 ， ，
由于 含有3个不同的实数拫，
所以 有两个相等的实根或者两个相异的实根，
则△ ，
即 ，解得 ，或 ．
当 时， ，解得 ，又 ，满足题意；
当 时，如下图， 的对称轴方程 ， （2） ，则 有4个根，不合题
意，舍去；
当 时， ，解得 ，即 （2） ， 含有2个不同的实数拫，不满足
题意；
当 时，如下图， （2） ，若 含有3个不同的实数拫，则 ，解得 ；
综上， 或 ．
故答案为： 或 ．
