文档内容
押上海高考 1-6 题
集合、不等式、函数、数列、平面向量、复 数
考点 4年考题 考情分析
近四年考查方向集合相等，集合的包含关系判断及应
集合 2020年~2023年
用，交集及其运算连考三年。
近四年考查方向分式不等式连考三年，2023年考察绝对
不等式 2020年~2023年
值不等式
2023年考查函数值域和二倍角三角函数，2022年考查三
函数 2020年、2022年、2023年 角函数周期性和两角和与差三角函数，2020年考查函数
的奇偶性、三角函数的周期性、二倍角三角函数
2023年考查等比数列的前n项和，2021年考查等差数列
数列 2020年、2021年、2023年
的通项公式、2020年考查数列的极限
2023年考查平面向量的数量积运算和平面向量的坐标运
平面向量 2021年、2023年
算，2021年考查平面向量数量积的性质及其运算
近四年考查方向共轭复数连考三年，复数的运算连考四
复数 2020年~2023年、2024年春考
年
题型一：集合
1．（2023•上海）已知集合 ， ， ， ，且 ，则 2 ．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ， ， ， ，且 ，
则 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
2．（2020•上海）集合 ， ， ，2， ，若 ，则 3 ．
【分析】利用集合的包含关系即可求出 的值．
【解答】解： ，且 ， ， ，故答案为：3．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
3．（2022•上海）已知集合 ， ，集合 ， ，则 ， ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ， ，集合 ， ，
， ， ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2021•上海）已知 ， ，0， ，则 ， ．
【分析】直接根据交集的运算性质，求出 即可．
【解答】解：因为 ， ，0， ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．
5．（2020•上海）已知集合 ，2， ，集合 ，4， ，则 ， ．
【分析】由交集的定义可得出结论．
【解答】解：因为 ，2， ， ，4， ，
则 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．
题型二：不等式
6．（2022•上海）不等式 的解集为 ．【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解．
【解答】解：由题意得 ，
解得 ，
故不等式的解集 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
7．（2021•上海）不等式 的解集为 ．
【分析】由已知进行转化 ，进行可求．
【解答】解： ，
解得， ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
8．（2020•上海）不等式 的解集为 ．
【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．
【解答】解：由 得 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．
9．（2023•上海）不等式 的解集为 ．
【分析】原不等式可化为 ，从而求出 的范围．
【解答】解：由 可得， ，解得 ，
即不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．
10．（2023•上海）不等式 的解集为： ， ．（结果用集合或区间表示）
【分析】运用 ，不等式 即为 ，解出即可．
【解答】解：不等式 即为 ，
即为 ，
则解集为 ， ，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
题型三：函数
11．（2023•上海）已知函数 ，则函数 的值域为 ， ．
【分析】分段求出 的值域，再取并集即可．
【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．
12．（2020•上海）若函数 为偶函数，则 1 ．【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 ，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 为偶函数，则 ，
即 ，
变形可得： ，
必有 ；
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
13．（2022•上海）函数 的周期为 ．
【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得 ，从而根据周期公式即可求值．
【解答】解：
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础
题．
14．（2020•上海）函数 的最小正周期为 ．
【分析】根据函数 的周期为 ，求出函数 的最小正周期．
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．15．（2022•上海）若 ，则 ．
【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【解答】解：若 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2023•上海）已知 ，则 ．
【分析】直接利用正切函数的二倍角公式求解．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
17．（2020•上海）已知 ， ，则 ．
【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
题型四：数列18．（2021•上海）已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 2 1 ．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等差数列 的首项为3，公差为2，
则 ．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
19．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 18 9 ．
【分析】直接利用等比数列的前 项和公式求解．
【解答】解： 等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
【点评】本题主要考查了等比数列的前 项和公式，属于基础题．
20．（2020•上海）计算： ．
【分析】由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题．
题型五：平面向量
21．（2023•上海）已知向量 ， ，则 4 ．
【分析】直接利用平面向量的坐标运算法则求解．
【解答】解： 向量 ， ，
．故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
22．（2021•上海）如图正方形 的边长为3，求 9 ．
【分析】根据 ，直接求解即可．
【解答】解：由数量积的定义，可得 ，
因为 ，所以 ．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题．
23．（2023•上海）已知向量 ， ，则 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．
【解答】解：因为向量 ， ，
所以 ， ， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
题型六：复数
24．（2024•上海）已知 ，则
=
．
【分析】利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解．
【解答】解：由题意可得 ，
所以 ．故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题．
25．（2021•上海）已知 ， ，求 ．
【分析】直接根据复数的运算性质，求出 即可．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数的加法运算，属基础题．
26．（2020•上海）已知复数 为虚数单位），则 ．
【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：由 ，得 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
27．（2023•上海）已知复数 为虚数单位），则 ．
【分析】根据复数的基本运算，即可求解．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．
28．（2022•上海）已知 （其中 为虚数单位），则 ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解： ，则 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．29．（2022•上海）已知 （其中 为虚数单位），则 ．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．
30．（2021•上海）已知 ，则 ．
【分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解： ，
，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
31．（2020•上海）已知复数 满足 ，则 的实部为 2 ．
【分析】设 ， ．根据复数 满足 ，利用复数的运算法则、复数相等即可得
出．
【解答】解：设 ， ．
复数 满足 ，
，
可得： ， ，解得 ， ．
则 的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
1．集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是
集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合相
等，记作 A＝B． ⊆ ⊆
（3）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：
①两个集合的元素个数相等；
②两个集合的元素之和相等；
③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判
断或证明两个集合相等的依据．
【解题方法点拨】
集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往
往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性．
【命题方向】
通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能
与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问．
2．集合的包含关系判断及应用
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B； 如果集合A
是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，⊆即A B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A⊂的元素，那
么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．
【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义
域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
3．交集及其运算
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x A，且x B}．
A∩B实际理解为：x是∈A且是B∈中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝
，两个集合没有相同元素∅．⑦∅ A∩（ A）＝ ．⑧ （⊆A∩B）＝（⊆ A）∪（ B）⇔． ⊆
U U U U
∅【解题方法点拨】解答交集问题，需要∁注意交集∅中：“∁ 且”与“所有”∁的理解．∁不能把“或”与“且”混
用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联
合命题．
4．分式不等式的解法
（1）
（2）
（3）
（4）
5．绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x∅≠0} ∅R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣⇔b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求
解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜
m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，
只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|
b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|
≥|b|．
6．函数的值域
函数值的集合{f（x）|x A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）∈求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，
是常考题型．
7．函数奇偶性的性质与判断
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，
且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对
称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】
函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确
率．
8.三种三角函数的图象和性质
正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x
图象
定义域 R R { x | x ≠ ＋ k π ， k ∈ Z }
值域 [－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性) R
零点 { x | x ＝ k π ， k ∈ Z } {x|x＝＋kπ，k∈Z} { x | x ＝ k π ， k ∈ Z }
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
[－π＋2kπ，2kπ]
增区间 ，(k∈Z) ，(k∈Z)
单调性 (k∈Z)
减区间 (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
对称性 对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
9．三角恒等变换
(1) cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ，
cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ，
sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ，
sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ，
tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝.
(2)二倍角公式：sin 2α＝ 2sin α cos α ，
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝2cos2α－1＝ 1 － 2sin 2 α ，
tan 2α＝.
10．等差数列的通项公式
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列
的首项a ，公差d，那么第n项为a ＝a +（n﹣1）d，或者已知第m项为a ，则第n项为a ＝a +（n﹣
1 n 1 m n m
m）d．
【命题方向】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或
者复习时应重点掌握的知识点．
11．等比数列的前n项和
1．等比数列的前n项和公式等比数列{a }的公比为q（q≠0），其前n项和为S ，
n n
当q＝1时，S ＝na ；
n 1
当q≠1时，S＝＝；
n
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{a }的前n项和为S ，则S ，S n﹣S ，S n﹣S n仍成等比数列，其公比为qn．
n n n 2 n 3 2
12．数列的极限
1、数列极限的定义：对于数列 ，如果存在一个常数 ，无论预先指定多么小的正数 ，都能在数列
找到一项 ，使得 时， 恒成立，则 ；
2、三个最基本的极限：（1）常数数列的极限就是其本身，即： ；（2） ；（3）当
时， ；当 时，若 ，则 ；若 ，则 不存在；
当 时， 不存在。这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
【注意】：它们是极限运算的基础，但是要区别，如果 是收敛的等比数列的公比时， 。
lim
3 、 极 限 的 运 算 法 则 ： 如 果 ， n→∞b ＝ B ， 那 么 ，
n
，；
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况；例如，若 ， ， 有极限，
则： ；
特别地，如果 是常数，那么
13．平面向量数量积的性质及其运算
向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝ | a||b |；
当a与b反向时，a·b＝ － | a|| b |.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
（4）|a·b|≤|a||b|.
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题
目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
15．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模
设 ＝(x，y)， ＝(x，y)，则：
1 1 2 2
＋ ＝(x＋x，y＋y)， － ＝(x－x，y－y)，λ ＝(λx，λy)，| |＝.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x
1 1 2 2 2
－x，y－y)．
1 2 1
[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
【命题方向】
这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式的应用，常用的
解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数．
16．复数的运算
加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i ；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i
( c ＋ d i ≠ 0) ． (其中a，b，c，d∈R)
17．共轭复数
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi.
【命题方向】
共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭
复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问
题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．
一．填空题（共60小题）
1．（2024•崇明区二模）若集合 ，0， ， 或 ，则 ， ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ，0， ， 或 ，
， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是
基础题．
2．（2024•金山区二模）已知集合 ，3，5，7， ， ，则 ．
【分析】求解指数方程化简 ，再由交集运算的定义得答案．【解答】解： ，3，5，7， ， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查指数方程的解法，是基础题．
3．（2024•松江区二模）函数 的定义域为 ．
【分析】由对数式的真数大于0求解 的范围得答案．
【解答】解：由 ，得 ．
函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
4．（2024•虹口区二模）若 ，则 ．
【分析】根据二倍角公式求解即可．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题．
5．（2024•黄浦区二模）若 ， ，其中 ，则 3 ．
【分析】直接根据向量数量积运算即可求解．
【解答】解： ， ，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查向量数量积的运算，属基础题．6．（2024•宝山区二模）已知向量 ， ，若 ，则实数 2 ．
【分析】直接根据题意建立方程即可求解．
【解答】解： ， ， ，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查向量数量积的运算，方程思想，属基础题．
7．（2024•黄浦区二模）集合 ， ， ，则 ， ．
【分析】由并集运算可得．
【解答】解：由集合 ， ， ，
得 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
8．（2024•嘉定区二模）设集合 ， ， ，则 ， ．
【分析】直接根据补集的运算求解即可．
【解答】解： 集合 ， ， ，
， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
9．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ， ，则 ．
【分析】直接利用交集运算的定义求解．
【解答】解： 集合 ， ，，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
10．（2024•普陀区模拟）已知 ，设集合 ， ， ，集合 ， ，若 ，则
2 ．
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ， ， ，集合 ， ， ，
当 时，等式不成立，舍去，
当 时，解得 ，此时 ，2， ， ， ，满足题意，
故 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
11．（2024•徐汇区模拟）已知集合 ，集合 ，那么 ，
．
【分析】先求出集合 ， ，然后结合集合的交集运算即可求解．
【解答】解：因为集合 ， ，集合 或 ，
那么 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
12．（2024•嘉定区校级模拟）已知集合 ， ，则
【分析】可求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ；．
故答案为： ．
【点评】考查描述法、区间的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．
13．（2024•嘉定区二模）函数 的值域为 ， ．
【分析】先对已知函数进行化简，作出函数图象
【解答】解： ，
其大致图象如图所示，结合函数图象可知，函数有最小值3，没有最大值．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了函数值域的求解，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
14．（2024•虹口区模拟）若函数 为偶函数，则 1 ．
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 ，变形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 为偶函数，则 ，
即 ，
变形可得： ，必有 ；
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
15．（2024•徐汇区校级模拟）设函数 的定义域为 ，满足 ，当 ， 时，
，则 ．
【分析】令 代入已知关系即可求值．
【解答】解：因为 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数值的计算，属于基础题．
16．（2024•闵行区校级二模）已知 ，且 ，则 ．
【分析】根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解．
【解答】解：因为 ，且 ，可知 ，
又因为 ，且 ，
结合 在 内单调递减，可得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
17．（2024•宝山区二模）已知 ，则 ．
【分析】由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．18．（2024•虹口区模拟）若 ，则 ．
【分析】由题意利用二倍角的正切公式即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19．（2024•闵行区校级二模）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为2，且 ，则 1 ．
【分析】直接根据 ， 进行求解即可得到 ．
【解答】解： 等比数列 的前4项和为 ，公比为2，
，解得 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查等比数列的前 项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
20．（2024•徐汇区校级模拟）已知两个单位向量 ， 满足 ，则向量 ， 的夹角为
．
【分析】根据题意，设向量 ， 的夹角为 ，由数量积的运算性质可得 ，
求出 的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量 ， 的夹角为 ，
若 ，则 ，
解可得 ，
又由 ，故 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查向量夹角的求法，涉及向量数量积的计算，属于基础题．21．（2024•静安区二模）若单位向量 、 满足 ，则 2 ．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解．
【解答】解：单位向量 、 满足 ，
则 ，
则 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
22．（2024•浦东新区校级模拟）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹
角为 ．
【分析】根据题意，设向量 与 的夹角为 ，分析可得 ，变形可得
，由向量夹角公式 计算可得 的值，结合 的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量 与 的夹角为 ，
又由 ，则有 ，变形可得 ，
又由非零向量 ， 满足 ，即 ，
则 ，
又由 ，则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．
23．（2024•普陀区模拟）已知复数 ，其中 为虚数单位，则 在复平面内所对应的点的坐标为．
【分析】求出复数 的共轭复数，进而可得点的坐标．
【解答】解：由题意，复数 ，在复平面内所对应的点的坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．
24．（2024•青浦区二模）已知复数 ，则 ．
【分析】根据已知条件，对 化简，再结合虚部的定义，即可求解．
【解答】解： ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
25．（2024•浦东新区校级模拟）设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 1 ．
【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解．
【解答】解：复数 ，
因为复数 是纯虚数，
所以 ，解得 ．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
26．（2024•嘉定区校级模拟）已知复数 满足 是虚数单位），则 ．
【分析】结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．
【解答】解： ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．
27．（2024•虹口区模拟）已知复数 满足 为虚数单位），则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，即可求解．
【解答】 ，则 ，
由复数虚部的定义可知， ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题．
28．（2024•闵行区二模）已知复数 满足 为虚数单位），则 ．
【分析】根据复数的除法运算和模的定义求解．
【解答】解：由 得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
29．（2024春•黄浦区校级期中）已知集合 ， ，且 ．则实数
的取值范围为 ， ．
【分析】根据集合的包含关系列不等式组，解出实数 的取值范围．
【解答】解：由题意， ，解得 ，
则实数 的取值范围为 ， ．故答案为： ， ．
【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
30．（2024•长宁区二模）已知集合 ， ， ，3， ，若 ，则 2 ．
【分析】由已知结合集合的包含关系即可求解．
【解答】解：因为集合 ， ， ，3， ，
若 ，则 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．
31．（2024春•宝山区校级月考）已知 ，2，3， ， ， ，则 可用列举法表示为
， ． ．
【分析】利用交集、补集定义直接求解．
【解答】解： ，2，3， ， ， ，
则 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
32．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ，全集 ，则 或 ．
【分析】先求出集合 ，再利用补集运算求解．
【解答】解：由 可得 且 ，
解得 ，
即 ，
又因为全集 ，所以 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
33．（2024•浦东新区二模）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是
【分析】由已知可先求出 ，然后结合奇函数的定义即可求解．
【解答】解：因为 是奇函数，当 时， ，
所以 ．
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义在函数求值中的应用，属于基础题．
34．（2024•普陀区模拟）若 ，则
【分析】由题意利用诱导公式，求得所给式子的值．
【解答】解： ，则 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
35．（2024•虹口区二模）已知集合 ， ，则 ．
【分析】先确定集合 ，再根据集合运算的定义即可得 ．
【解答】解： ， ， ， ， ，
，则 ．
故答案为： ．【点评】本题考查集合的运算，考查三角函数的性质，属于基础题．
36．（2024•浦东新区校级模拟）已知 ，则 ．
【分析】由已知结合同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
则 ．
故答案为：
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
37．（2024•浦东新区二模）已知等差数列 满足 ， ，则 5 ．
【分析】直接利用等差数列的性质求出结果．
【解答】解：根据等差数列的性质， ，解得 ．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识点：等差数列的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
38．（2024•松江区二模）已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则使得 成立
的 的最大值为 5 ．
【分析】利用等差数列的性质求解．
【解答】解： 等差数列 的公差为2，前 项和为 ， ，
，
解得 ，
，
，， ，
整理得 ，解得 ，
， 使得 成立的 的最大值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
39．（2024•崇明区二模）若等差数列 的首项 ，前5项和 ，则 9 ．
【分析】利用等差数列 的首项 ，前5项和 ，列方程求出 ，由此能求出 ．
【解答】解：等差数列 的首项 ，前5项和 ，
则 ，
解得 ，
则 ．
故答案为：9．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
40．（2024•杨浦区二模）各项为正的等比数列 满足： ， ，则通项公式为 ．
【分析】利用等比数列的性质直接求解．
【解答】解：各项为正的等比数列 满足： ， ，
，
解得 ，
通项公式为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．41．（2024•浦东新区校级模拟）已知 为无穷等比数列， ， ，则 的公比为
．
【分析】由题意知， ，再利用无穷等比数列和的公式求解即可．
【解答】解：因为无穷等比数列 ， ，
则 ， ，
又 ，
所以 ，
解得 或 （舍 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
42．（2024•静安区二模）已知等比数列的前 项和为 ，则 的值为 ．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式的特点即可求解．
【解答】解：等比数列的前 项和为 ，
因为 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
43．（2024•金山区二模）设公比为2的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 4
．
【分析】由已知结合等比数列的求和及等比数列的性质即可求解．
【解答】解：因为公比为2的等比数列 中， ，则 ．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
44．（2024•浦东新区校级模拟）已知首项为2的等比数列 的公比为 ，则 3 ． ．
【分析】根据题意判断出等比数列 是无穷递缩等比数列，然后根据无穷递缩等比数列的求和公式进行
计算即可得到结果．
【解答】解：由题意，可知等比数列 是无穷递缩等比数列，
故 ．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的求和问题，属基础题．
45．（2024•闵行区二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 12 1 ．
【分析】由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等比数列 中， ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
则 ．
故答案为：121．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式，属于基础题．
46．（2024•虹口区二模）已知等比数列 是严格减数列，其前 项和为 ， ，若 ， ，
成等差数列，则 3 ．
【分析】先求公比 ，再求等比数列的前 项和，最后判断极限．【解答】解：设等比数列 的公比为 ，则由 ， ， 成等差数列可得
，即 ，整理得 ，解得 ，或 ，
又等比数列 是严格减数列， ，故 ，
，当 时， ， ．
故答案为：3．
【点评】本题考查等比数列的前 项和，属于基础题．
47．（2024•浦东新区校级模拟）已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ．
【分析】由平面向量的数量积运算计算即可求得．
【解答】解：因为向量 ， 的夹角为 ， ， ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
48．（2024•虹口区模拟）已知向量 满足 ， ， ，则 等于 ．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．
【解答】解：由 ，
则 ，
即 ，
即 ，则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
49．（2024•宝山区二模）设实数 、 满足 为虚数单位），则 2
．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解．
【解答】解：由 ，
得 ，即 ，
则 ，解得 ．
．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题．
50．（2024•静安区二模）已知 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 的值为 ．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．
【解答】解： 是纯虚数，
，即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
51．（2024•杨浦区二模）设复数 与 所对应的点为 与 ，若 ， ，则 2
．
【分析】根据复数的几何意义与平面向量的坐标运算求解．【解答】解： ，则复数 所对应的点 为 ，
，复数 所对应的点 为 ，
则 ， ．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
52．（2024•杨浦区二模）计算 （其中 为虚数单位）．
【分析】根据复数的除法运算求解．
【解答】解： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
53．（2024•嘉定区二模）已知 是虚数单位，则 1
【分析】利用复数运算法则求出 ，由此能求出 的值．
【解答】解： 是虚数单位，
，
则 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
54．（2024•金山区二模）已知复数 满足 ，则 的模为 ．
【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得 ，即可求解．
【解答】解：设 ， ， 为实数，则 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ， ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
55．（2024•徐汇区模拟）已知复数 为虚数单位），则 2 ．
【分析】首先求出复数 的共轭复数，进一步求出结果．
【解答】解：复数 ，
故 ，
所以 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点：复数的运算，共轭复数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
56．（2024•浦东新区二模）若复数 是虚数单位），则 ．
【分析】直接根据共轭复数的定义以及复数的运算法则求解即可．
【解答】解： 复数 是虚数单位），
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
57．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ，则 的解集是 ．
【分析】由已知结合对数的运算性质及对数函数的单调性即可求解．
【解答】解：因为 ， ，
对于函数 ，
有 ，即 ，则 ，
即 ，
所以 ，
整理得， ，
解得， ，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质及对数函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
58．（2024•浦东新区校级模拟）设定义在 上的偶函数 满足 ，它在区间 ，
上的图像为如图所示的线段 ，则方程 的最大实数根的值为 ．
【分析】由 的奇偶性及对称性可得 周期性及图象，由 可得 ，求方程
的根即求 交点的横坐标，观察图象可得转化为求 即可．
【解答】解：由图象知，设 的方程为 ，则 ，
则 的方程为： ，又因为 是偶函数，
所以当 时，则 ，
所以 ，
由 ，可得 的图象关于直线 对称，
又 ，所以 ，
所以 的周期 ．
因为 ，所以 ，
则方程 的根为 交点的横坐标．
则作出函数 和 的大致图象如图，
由图象知 （5） （3） （1） ， ， ，
则当 时，方程 取得最大根，
当 时， ， ，
由 得 ，即 ，
解得 （舍 或 ．
故答案为： ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查数形结合思想的应用，属于中档题．
59．（2024•普陀区模拟）若向量 在向量 上的投影为 ，且 ，则 ， ．
【分析】由平面向量的模的运算，结合平面向量数量积及夹角的运算求解．
【解答】解：若向量 在向量 上的投影为 ，
则 ，
即 ，
又 ，
则 ，
即 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积及夹角的运算，属中档题．
60．（2024•黄浦区二模）若实系数一元二次方程 有一个虚数根的模为4，则 的取值范围是
．
【分析】设 ，则 ．则 也是一元二次方程 的一个虚数根，
利用根与系数的关系可得： ．再利用△ ，即可得出．
【解答】解：设 ，则 ．则 也是一元二次方程 的一个虚数
根，所以 ．
因为实系数一元二次方程 有虚数根，
所以△ ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
