文档内容
专题 15 一次函数
考情概览
考点1 一次函数图象性质
考点2 一次函数求参数
考点 1 一次函数图象性质
1．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间
的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，
再结合题意即可判定．
【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减
小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，
故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为 ，
则矩形的面积为： ，故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
考点 2 一次函数求参数
2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点
和 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小
于函数 的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，
熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）由（1）可得函数 的解析式为 ，函数 的解析式为
，当 时，则 ，当 时，则 ，根据当
时，两个不等式都成立可得 ；当 ， 时， 和 恒成立；
当 时，则 且 ，再分当 时，则 ，当
时，则 ，两种情况分别解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点和 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）可得函数 的解析式为 ，函数 的解析式
为 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，也小
于函数 的值，
∴ ，且 ，
∴ ，
当 ， 时， 和 恒成立，故 符合题意；
当 时，则 且 ，
当 时，则 ，
解不等式 得 ，解不等式 ，
∴ ；
当 时，则 ，
解不等式 得 ，解不等式 得 ，此时不符合题意；
综上所述， ．
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与的图象交于点 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也
大于函数 的值，直接写出 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合
的思想是解决本题的关键．
（1）将 代入 先求出k，再将 和k的值代入 即可求出
b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于 的每一个值，直线
的图象在直线 和直线 的上方，画出临界状态图象分析即可．
【详解】（1）解：由题意，将 代入 得： ，
解得： ，
将 ， ，代入函数 中，
得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴两个一次函数的解析式分别为 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于
函数 的值，即当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线
的上方，则画出图象为：
由图象得：当直线 与直线 平行时符合题意或者当 与x轴
的夹角大于直线 与直线 平行时的夹角也符合题意，
∴当直线 与直线 平行时， ，
∴当 时，对于 的每一个值，直线 的图象在直线 和直线
的上方时， ，
∴m的取值范围为 ．
4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点
和 ，与过点 且平行于x轴的线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小
于4，直接写出n的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数
解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
【详解】（1）解：把点 ， 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点C的纵坐标为4，
当 时，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，
因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于4，
所以如图所示，当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐
标特征，利用数形结合的思想是解题的关键．
5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点， ，且与 轴交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，直接
写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当 时，求出 即可求解．
（2）根据题意 结合 解出不等式即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入函数解析式得，
，解得 ，
∴函数的解析式为： ，
当 时，得 ，
∴点A的坐标为 ．
（2）由题意得，
，即 ，
又由 ，得 ，
解得 ，
∴ 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解
析式及函数的性质是解题的关键．
6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由
函数 的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由
（1）可得： ，然后结合函数图象可进行求解．
【详解】解：（1）由一次函数 的图象由函数 的图象向下平移1个
单位长度得到可得：一次函数的解析式为 ；
（2）由题意可先假设函数 与一次函数 的交点横坐标为 ，则由
（1）可得：
，解得： ，
函数图象如图所示：
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值时，
根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当 时，符合题意，当 时，则函数
与一次函数 的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述： ．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点
和 ．
(1)求该函数的表达式；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于函数 的值且大于
0，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等．
（1）将点 和 代入 中即可得到本题答案；
（2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意得：将点 和 代入 中得：
，
解得： ，
∴该函数解析式为： ；
（2）解：当 时，代入 得： ，
在平面直角坐标系中画出直线 和满足条件的直线 ，如图：∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
∴当 过 时满足题意，
∴ ， ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于0，
∴当 过 时满足题意，
∴ ， ，
综上：满足条件的n的取值范围为： ．
2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系 中，函数 （ ）的图象由
函数 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 （ ）的值大于函数 （
）的值且小于 的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时
要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由函数 的图象由函数 的图象平移得到，从而 ，结合函
数过 ，可得 ，进而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）可得 为 ，当 时，有函数 ，， ，由当 时，对于x的每一个值，函数 （
）的值大于函数 （ ）的值且小于 的值，可得 ，
进而解不等式组即可解答．
【详解】（1）解：∵函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴
将点 、 代入 ，得
解得
答： 的值为1， 的值为 ．
（2）由（1）得 ，
当 时， ， ， ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 （ ）的值大于函数 （
）的值且小于 的值，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
3．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由
函数 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若函数 与一次函数 的图象的交点位于直线 的右侧，
直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或 或【分析】本题考查一次函数图象的平移，两条直线的交点问题，正确的求出函数解析式，
利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）平移，得到 ，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）令 ，求出交点横坐标，根据交点坐标在直线 的右侧，列出不等式进
行求解．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∴ ，
把 代入，得： ，解得： ，
∴ ；
（2）令 ，
∴ ，
∵图象有交点，
∴ ，
∴ ，
∵函数 与一次函数 的图象的交点位于直线 的右侧，
∴ ，
当 ，即： 时，不等式恒成立；
当 ，即： 时， ，解得： ，
又∵ ，
∴m的取值范围为： 或 或 ．
4．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，函数 与
的图象交于点 ．
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，且小于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 且
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合
的思想是解决本题的关键．
（1）将 代入 ，先求出k，再将 和k的值代入 即可求出
b；
（2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当 时，对于 的每一个值，直线
的图象在直线 的上方，在 的下方，画出临界状态图
象分析即可．
【详解】（1）解：函数 与 的图象交于点 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：由（1）得： ， ，
如图，记 ，
当 时， ，即 在 的图象上，当 过 时， ，
要满足当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
且小于函数 的值，即函数 与 的交点在 点及 点左侧，
即 ，
如图，当函数 的图象平行函数 的图象时， ，
此时满足：当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数
的值，且小于函数 的值，
综上：当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
且小于函数 的值， 的取值范围为： 且 ．
5．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象由函
数 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于
函数 的值，直接写出m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时
要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由函数 的图象由函数 的图象平移得到，从而 ，结合函数过 ，可得 ，进而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）可得 为 ， 为 ，然后在同一
坐标系中画出 ， 的图象，又当 时， ，则 ，且当
时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于函数
的值，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意， 函数 的图象由函数 的图象平移得到，
．
函数为 ．
又 函数过 ，
．
；
（2）解：由题意，结合（1）可得 为 ， 为 ，
在同一坐标系中画出 ， 的图象如下．
当 时， ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
那么 ，
当 时，对于 的每一个值，函数 的值小于函数 的值，
则 ，
结合图象可得， ．
6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象是由函数 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既小于函数 的值，
也大于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 且 ．
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键．
（1）根据平移得到 ，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据一次函数图象的性质求解即可．
【详解】（1）解：函数 的图象是由函数 的图象平移得到，
∴ ，
∵函数经过点 ，
∴ ，
解得， ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）解：函数 中，当 时， ，当 时， ，
函数的图象如下，
对于 ，当 时， 时， 的值小于 ，
对于 ，∵ 的值越大，越靠近 轴，若 的值大于 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
综上所述， ，且 ．
7．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与
正比例函数 的图象交于点 ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值既大于函数
的值又大于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关
键．
（ ）先求出 ，再把点 代入求出 的值，进而可得出答案；
（ ）画出图象，然后根据图象即可求解；
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点
，
∴ ，
∴一次函数 的图象与正比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：如图，当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值既大于函数
即 的值，又大于函数 的值，
∴ ．
8．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经
过 和 两点，与 轴交于点 ．
(1)求这个一次函数的表达式及点 的坐标；
(2)当 时，对于 的每一个值．一次函数 的值小于一次函数 的值
且大于1，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，点 的坐标为
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
（1）先利用待定系数法求出函数解析式为 ，然后计算自变量为0时对应的函数值
得到点 坐标；
（2）在同一坐标系中，作出 和 的图象，根据图象即可得到答案．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象经过 和 两点，
，
解得 ，
该一次函数的表达式为 ，
令 ，得 ，
；
（2）解：在同一坐标系中，作出 和 的图象如下；
结合图象可得，
∵当 时，对于 的每一个值．一次函数 的值小于一次函数 的值
且大于1，
∴ ．
9．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ 为常数， ）
的图象由函数 的图象平移得到且与 的图象交于点 ．
(1)求 的值；(2)当 时，对于 的每一个值，函数 （ ）的值既大于函数 的值，
也大于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函
数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质．
（1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果；
（2）根据一次函数图象的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：将 代入 得，
，
解得 ；
∵一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
，
，
将 代入 得，
解得 ；
（2）解：由（1）得 的解析式为 ， 的解析式为 ，
如图所示，当 时，对于 的每一个值，函数 （ ）的值既大于函数的值，也大于函数 的值，
则 ．
10．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过
点 和 ，与过点 且平行于x轴的直线交于点C．
(1)求该函数的解析式及点C的坐标．
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小
于5，直接写出n的值．
【答案】(1) ；点C的坐标为
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等知识，
注意数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法即可求得一次函数解析式，再求出点函数值为5时的自变量值，即可
得点C的坐标；
（2）把点C的坐标代入 中，求得n的值．
【详解】（1）解：把A、B两点坐标代入 中，得： ，
解得： ，
即函数解析式为 ；
由于 与过点 且平行于x轴的直线交于点C，则 ，
解得： ，
即点C的坐标为 ；
（2）解：把点C的坐标代入 中，即 ，∴ ，
如图所示，当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且
小于5．
11．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系 中，将函数 的图象向上平
移2个单位得到的直线 经过点 ．
(1)求k与b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的
性质是解题的关键．
（1）先根据直线向上平移 2 个单位得出 ，再将点 代入 ，求出 的值
即可；
（2）根据点 结合一次函数的性质即可求得．
【详解】（1）解：∵将函数 的图象向上平移 2 个单位得到的直线
，
∴ ，
∵一次函数 的图象经过点 ，∴ ，
∴ ．
（2）解：把 代入 ，得 ，
把点 代入 ，得 ．
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值，
∴ 的取值范围是 ．
12．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系 中，函数 与 的
图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于函
数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ,
(2)
【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集
是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围．
【详解】（1）解：∵函数 与 的图象交于点 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
解得， ；
（2）解：由（1）可得， ， ，
∴当 时，对于函数 ，则 ，对于函数 ，则 ，∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于函
数 的值，
如图所示，
∴ ，
∴ 的取值范围为 ．
13．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象
经过点 ， ．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于 且小于一次函数
的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一
次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，在同一坐标系中画出直线 ， ，又当 时，
，故 ；当 时， ，可得令 ，故 ，
结合结合题意，即可判断得解．
【详解】（1）解：把点 ， 代入 中，得 ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线 ， 如下．
由题意，当 时， ，
则 ，故 ．
又∵当 时， ，
∴令 ，则 ，故 ．
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于 且小于一次函数
的值，
∴ ．
14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系 中，函数 和函数
的图象相交于点 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值都大于函数 的值，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图
象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关
系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围．
（1）由 ，此得 和 ．可联立这两个函数方程求解．
（2）当 时， 的值都大于 的值，意味着在 时，直线 在
直线 的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为 时的情况，再
结合函数的性质来确定 的取值范围．
【详解】（1）解：当 时，函数 ， ．
联立方程组 ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ．
（2）解：联立 ，
∴ ，
解得 （ ）．
当 时， 的值都大于 的值，且当 时，若两函数值相等，则
，
解得 ．
又∵当 时， 在 的下方，
∴ 要大于等于 ，∴ ．
15．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象过
点 和点 ．
(1)求k，b的值；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值都小于 的值且大于 ，
求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次
函数的相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据解析式可判断出在 中，y随x增大而减小，那么当 时，函数
的最小值一定要大于 ，据此可得不等式 ；求出不等式
的解集，根据题意可得 是 的解集或解集的一部分，
据此求解即可．
【详解】（1）解：把 和 代入到 中得 ，
解得 ；
（2）解：由（1）得函数 的解析式为
∵在 中， ，
∴在 中，y随x增大而减小，∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值都大于 ，
∴当 时， ，
∴ ；
当 时，解得 ，
∵当 时，对于x的每一个值，函数 的值都小于 的值，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ．
16．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系 中，点 在函数 的
图象上．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的函数值都大于 的函数
值，且小于 的函数值，直接写出 的最小值和 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的最小值是 ；
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合
是解题的关键．
（1）将点 代入一次函数解析式即可解决问题．
（2）求得 时， ，代入 求得 ，求得 时， ，
把 代入 ，求得 ，然后根据图象即可求得．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，
；
（2）解：如图，当 时， ，
把 代入 ，求得 ，
当 时， ，
把 代入 ，求得 ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数 的函数值都大于 的函数
值，且小于 的函数值，
∴ 的最小值为 的取值范围是 ．
17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象与函
数 的图象交于点 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于4，直
接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合
思想是解题的关键．
（1）运用待定系数法的方法即可求解；（2）求出直线 经过点 时 的值，再根据图象即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，将 代入 ，
则 ，
解得： ，
再将 代入 ，
则 ，
解得： ；
（2）解：由（1）得 ，
可得 ，当 ，
∴ ，
当直线 经过 时， ，
解得： ；
当直线 经过 时， ，
解得： ，
∴当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于4，由图象可得： ．
18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过
点 和 ，与过点 且垂直于 轴的直线交于点 ．
(1)求该函数的解析式及点 的坐标；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小
于3，直接写出 的值．
【答案】(1)函数的解析式为 ，
(2)1
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐
标特征．
（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点 的纵坐标为3，代入函数解析式求
出点 的横坐标即可；
（2）根据函数图象得出当 过点 时满足题意，代入 求出n的值即可．
【详解】（1）解：把点 和 代入 得：
，
解得： ，
∴该函数的解析式为 ，
由题意知点 的纵坐标为3，
当 时，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由（1）知：当 时， ，因为当 时，函数 的值大于函数 的值且小于3，
所以当 过点 时满足题意，
代入 得： ，
解得： ．
19．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，函数 的图象与 轴，
轴交于点 ，则下列描述正确的是（ ）
A． 为等腰直角三角形 B．点 坐标为
C．图象经过第一、三、四象限 D．点 到 的图象距离为1
【答案】A
【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到 、 ，确定、B
错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象
限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半等知识即可判定D错误．
【详解】解：在平面直角坐标系 中，函数 的图象与 轴， 轴交于点 ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
A、 、 ，
，且 ，则 为等腰直角三角形，
故该选项正确，符合题意；
B、 ，
点 坐标为 错误，不符合题意；
C、 在平面直角坐标系 中，函数 的图象与 轴， 轴交于点 ，
，且 、 ，则图象经过第一、二、四象限，
故该选项错误，不符合题意；D、过点 作 于点 ，如图所示：
是等腰直角三角形， ，
由勾股定理可得 ，
，
由等腰三角形三线合一性质可知， 是斜边 上的中线，
，即点 到 的图象距离为 ，
故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函
数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
20．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象
是由 的图象平移得到，且经过点 ．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知一次函数 ，当 时，对于 的每一个值都有 ，直接写出
的取值范围．
【答案】(1)
(2) 且
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题
的关键．
（1）先根据直线平移时k的值不变得出 ，再将点 代入 ,求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）结合图象即可求得．
【详解】（1）解： 一次函数 的图象是由 的图象平移得到，
，
把点 代入可得 ，
解得 ，
所以一次函数的表达式为
（2）解：设 ，
当 时， ，
把 代入 ，可得 ，解得 ，
当 时，对于 的每一个值都有 ，
即当 时，对于 的每一个值都有 ，
结合图象可得 且 ．
