专题16圆锥曲线（选填题）16种常见考法归类（全国通用）（学生版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 圆锥曲线(选填题)16种常见考法归类 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 圆锥曲线(选填题)16种常见考法归类 1 一 求椭圆的标准方程 1 二 椭圆的焦点三角形 1 三 椭圆的离心率问题 1 四 直线与椭圆的位置关系 2 五 椭圆的最值问题 2 六 求双曲线的标准方程 2 七 双曲线的基本量的计算 3 八 双曲线的离心率 3 九 双曲线的渐近线 4 十 直线与双曲线的位置关系 5 十一 抛物线定义的应用 5 十二 根据抛物线方程求焦点或准线 5 十三 与抛物线焦点弦有关的几何性质 6 十四 直线与抛物线的位置关系 6 十五 新型曲线 6 十六 圆锥曲线新定义 7 参考答案 7 ~ ~ 一 求椭圆的标准方程 1. (2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP， P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 ( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1(y>0) B. + =1(y>0) 16 4 16 8 y2 x2 y2 x2 C. + =1(y>0) D. + =1(y>0) 16 4 16 8 x2 y2 1 2. (2022·全国甲卷·高考真题)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C的左、 a2 b2 3 1 2   右顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =-1，则C的方程为 ( ) 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. +y2=1 18 16 9 8 3 2 2 二 椭圆的焦点三角形   x2 1. (2023·全国甲卷·高考真题)设F ,F 为椭圆C: +y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF ⋅PF =0，则 1 2 5 1 2 PF 1  ⋅PF 2  = ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 x2 y2 2. (2023·全国甲卷·高考真题)设O为坐标原点，F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点，点 P在C上， 1 2 9 6 3 cos∠FPF = ，则|OP|= ( ) 1 2 5 数学试题 第 1 页 共 37 页13 30 14 35 A. B. C. D. 5 2 5 2 x2 y2 3. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知F 1 ，F 2 是椭圆C： 9 + 4 =1的两个焦点，点M在C上，则MF 1  ⋅MF 2  的最大值为 ( ) A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 x2 y2 4. (2021·全国甲卷·高考真题)已知F ,F 为椭圆C： + =1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点 1 2 16 4 对称的两点，且PQ  =F 1 F 2  ，则四边形PFQF 的面积为 ． 1 2 三 椭圆的离心率问题 x2 x2 1. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)设椭圆C : +y2=1(a>1),C : +y2=1的离心率分别为e ,e ．若 1 a2 2 4 1 2 e = 3e ，则a= ( ) 2 1 2 3 A. B. 2 C. 3 D. 6 3 x2 y2 2. (2022·全国甲卷·高考真题)椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y a2 b2 1 轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为 ( ) 4 3 2 1 1 A. B. C. D. 2 2 2 3 x2 y2 3. (2021·全国乙卷·高考真题)设B是椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满 a2 b2 足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是 ( )  2 A.  ,1  2  1 B.   ,1  2  2 C. 0, 2  1 D. 0, 2  x2 y2 4. (2021·浙江·高考真题)已知椭圆 + =1(a>b>0)，焦点F(-c,0)，F(c,0)(c>0)，若过F 的直线 a2 b2 1 2 1 1 和圆x- c 2  2 +y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF ⊥x轴，则该直线的斜率是 ，椭 2 圆的离心率是 . 四 直线与椭圆的位置关系 x2 1. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知椭圆C: +y2=1的左、右焦点分别为F，F，直线y=x+m与C交 3 1 2 于A，B两点，若△FAB面积是△FAB面积的2倍，则m=( )． 1 2 2 2 2 2 A. B. C. - D. - 3 3 3 3 x2 y2 2. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x轴， 6 3 y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2 3，则l的方程为 ． x2 y2 3. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为 a2 b2 数学试题 第 2 页 共 37 页1 F，F，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 1 2 2 1 2 ． 五 椭圆的最值问题 x2 1. (2021·全国乙卷·高考真题)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点，点P在C上，则PB 5  的最大值为 ( ) 5 A. B. 6 C. 5 D. 2 2 六 求双曲线的标准方程 x2 y2 1. (2021·北京·高考真题)若双曲线C: - =1离心率为2，过点 2, 3 a2 b2  ，则该双曲线的方程为 ( ) y2 x2 y2 A. 2x2-y2=1 B. x2- =1 C. 5x2-3y2=1 D. - =1 3 2 6 x2 y2 2. (2024·天津·高考真题)双曲线 - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ,F.点P在双曲线右支 a2 b2 1 2 上，直线PF 的斜率为2．若△PFF 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为 ( ) 2 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 2 8 4 8 8 2 8 4 x2 y2 3. (2023·天津·高考真题)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F．过F 向一条 a2 b2 1 2 2 渐近线作垂线，垂足为P．若PF 2  2 =2，直线PF 的斜率为 ，则双曲线的方程为 ( ) 1 4 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 8 4 4 8 4 2 2 4 x2 y2 4. (2022·天津·高考真题)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F，抛物线y2= a2 b2 1 2 π 4 5x的准线l经过F，且l与双曲线的一条渐近线交于点A，若∠FFA= ，则双曲线的方程为 1 1 2 4 ( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D. x2- =1 16 4 4 16 4 4 5. (2021·浙江·高考真题)已知a,b∈R,ab>0，函数fx  =ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等 比数列，则平面上点s,t  的轨迹是 ( ) A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线 6. (2023·北京·高考真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为 2，则C的方程为 ． 七 双曲线的基本量的计算 x2 1. (2022·上海·高考真题)双曲线 -y2=1的实轴长为 ． 9 x2 y2 2. (2021·全国乙卷·高考真题)双曲线 - =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 ． 4 5 数学试题 第 3 页 共 37 页八 双曲线的离心率 1. (2025·北京·高考真题)双曲线x2-4y2=4的离心率为 ( ) 3 5 5 A. B. C. D. 5 2 2 4 2. (2025·全国一卷·高考真题)若双曲线C的虚轴长为实轴长的 7倍，则C的离心率为 ( ) A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2 3. (2021·全国甲卷·高考真题)已知F 1 ,F 2 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F 1 PF 2 =60°,PF 1  = 3PF 2  ，则C的离心率为 ( ) 7 13 A. B. C. 7 D. 13 2 2 4. (2024·全国甲卷·高考真题)已知双曲线的两个焦点分别为0,4  ,0,-4  ，点-6,4  在该双曲线上，则 该双曲线的离心率为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 x2 y2 5. (2021·天津·高考真题)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点 a2 b2 重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD  = 2|AB|．则双曲 线的离心率为 ( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 x2 y2 6. (2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F，过F 作 a2 b2 1 2 2 平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|FA|=13,|AB|=10，则C的离心率为 ． 1 x2 y2 7. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F．点 a2 b2 1 2     2 A在C上，点B在y轴上，FA⊥FB,FA=- FB，则C的离心率为 ． 1 1 2 3 2 x2 y2 8. (2025·天津·高考真题)双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F，以右焦点F 为焦点 a2 b2 1 2 2 的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若PF 1  +PF 2  =3F 1 F 2  ，则双曲线的离心率e = ( ) 2+1 5+1 A. 2 B. 5 C. D. 2 2 x2 y2 9. 【多选】(2025·全国二卷·高考真题)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F、F，左、 a2 b2 1 2 5π 右顶点分别为A ，A ，以FF 为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且∠NAM= ，则 1 2 1 2 1 6 ( ) π A. ∠A 1 MA 2 = 6 B. MA 1  =2MA 2  C. C的离心率为 13 D. 当a= 2时，四边形NAMA 的面积为8 3 1 2 10.【多选】(2022·全国乙卷·高考真题)双曲线C的两个焦点为F ,F，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 1 2 1 数学试题 第 4 页 共 37 页3 作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠FNF = ，则C的离心率为 ( ) 1 2 5 5 3 13 17 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 b 11.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为 的直线 a2 b2 4a 交双曲线于点Ax 1 ,y 1  ，交双曲线的渐近线于点Bx 2 ,y 2  且x <00)的一条渐近线为 3x+my=0，则C的焦 m 距为 ． x2 y2 3. (2023·全国甲卷·高考真题)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，C的一条渐近线 a2 b2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|= ( ) 5 2 5 3 5 4\sqrt5 A. B. C. D. 5 5 5 5 4. (2021·全国甲卷·高考真题)点3,0  x2 y2 到双曲线 - =1的一条渐近线的距离为 ( ) 16 9 9 8 6 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 x2 5. (2022·全国甲卷·高考真题)若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m m2 = ． 6. (2024·天津·高考真题)设a∈R，函数fx  =2 x2-ax-ax-2  +1.若fx  恰有一个零点，则a的取值 范围为 ． 十 直线与双曲线的位置关系 1. (2024·北京·高考真题)若直线y=kx-3  x2 与双曲线 -y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为 4 ． x2 y2 2. (2022·全国甲卷·高考真题)记双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y a2 b2 =2x与C无公共点”的e的一个值 ． y2 3. (2023·全国乙卷·高考真题)设A，B为双曲线x2- =1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是 9 ( ) A. 1,1  B. -1,2  C. 1,3  D. -1,-4  十一 抛物线定义的应用 1. (2023·北京·高考真题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=-3的距离为 5，则|MF|= ( ) 数学试题 第 5 页 共 37 页A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2025·全国二卷·高考真题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C的准线的垂 线，垂足为B，若直线BF的方程为y=-2x+2，则|AF|= ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (2022·全国乙卷·高考真题)设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF  =BF  ，则 AB  = ( ) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 2 4. (2021·北京·高考真题)已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若MF  =6，则点M的横坐标为 ；△MNF的面积为 ． 5. (2024·上海·高考真题)已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离为 ． 十二 根据抛物线方程求焦点或准线 1. (2024·北京·高考真题)抛物线y2=16x的焦点坐标为 ． 2. (2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 2，则p= ( ) A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4 3. (2025·北京·高考真题)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= ． 4. (2023·全国乙卷·高考真题)已知点A1, 5  在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为 . 5. (2024·天津·高考真题)已知圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px的焦点F重合，且两曲线在第 一象限的交点为A，则原点到直线AF的距离为 ． 6. (2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P为C上 一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，若FQ  =6，则C的准线方程为 . 十三 与抛物线焦点弦有关的几何性质 1. 【多选】(2025·全国一卷·高考真题)设抛物线C:y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂 3 直于AB的直线交l:x=- 于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则 ( ) 2 A. |AD|=|AF| B. |AE|=|AB| C. |AB|≥6 D. |AE|⋅|BE|≥18 2. 【多选】(2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直 线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则 ( ) A. 直线AB的斜率为2 6 B. |OB|=|OF| C. |AB|>4|OF| D. ∠OAM+∠OBM<180° 3. 【多选】(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)设O为坐标原点，直线y=- 3x-1  过抛物线C:y2= 2pxp>0  的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )． 数学试题 第 6 页 共 37 页A. p=2 B. MN  8 = 3 C. 以MN为直径的圆与l相切 D. △OMN为等腰三角形 十四 直线与抛物线的位置关系 1. 【多选】(2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0) 上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则 ( ) A. C的准线为y=-1 B. 直线AB与C相切 C. OP  ⋅OQ  >|OA  2 D. |BP|⋅|BQ|>|BA|2 2. (2023·天津·高考真题)已知过原点O的一条直线l与圆C:(x+2)2+y2=3相切，且l与抛物线y2= 2px(p>0)交于点O,P两点，若OP  =8，则p= ． 十五 新型曲线 1. 【多选】(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部 分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于-2，到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a< 0)的距离之积为4，则 ( ) A. a=-2 B. 点(2 2,0)在C上 C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点x 0 ,y 0  4 在C上时，y ≤ 0 x +2 0 十六 圆锥曲线新定义 1. (2023·上海·高考真题)在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P∈Γ，都有Q∈Γ 使得PM  ⋅QM  =1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假 ( ) ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A. ①假命题；②真命题 B. ①真命题；②假命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 数学试题 第 7 页 共 37 页参考答案 1. A 【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解. 【解析】设点M(x,y)，则P(x,y ),P(x,0)， 0 因为M为PP的中点，所以y =2y，即P(x,2y)， 0 又P在圆x2+y2=16(y>0)上， x2 y2 所以x2+4y2=16(y>0)，即 + =1(y>0)， 16 4 x2 y2 即点M的轨迹方程为 + =1(y>0). 16 4 故选：A 2. B   【分析】根据离心率及BA ⋅BA =-1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解. 1 2 c b2 1 b2 8 8 【解析】解：因为离心率e= = 1- = ，解得 = ，b2= a2， a a2 3 a2 9 9 A 1 ,A 2 分别为C的左右顶点，则A 1-a,0  ,A 2a,0  ， B为上顶点，所以B(0,b).     所以BA =(-a,-b),BA =(a,-b)，因为BA ⋅BA =-1 1 2 1 2 8 所以-a2+b2=-1，将b2= a2代入，解得a2=9,b2=8， 9 x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 9 8 故选：B. 1. B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PFF 的面积，即可解出； 1 2 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．   【解析】方法一：因为PF ⋅PF =0，所以∠FPF =90°， 1 2 1 2 1 从而S △FP1F2 =b2tan45°=1= 2 ×PF 1  ⋅PF 2  ，所以PF 1  ⋅PF 2  =2． 故选：B. 方法二：   因为PF ⋅PF =0，所以∠FPF =90°，由椭圆方程可知，c2=5-1=4⇒c=2， 1 2 1 2 所以PF 1  2+PF 2  2=F 1 F 2  2=42=16，又PF 1  +PF 2  =2a=2 5，平方得： PF 1  2+PF 2  2+2PF 1  PF 2  =16+2PF 1  PF 2  =20，所以PF 1  ⋅PF 2  =2． 故选：B. 2. B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF 1 F 2 的面积，即可得到点P的坐标，从而得出OP  的 值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1  PF 2  ,PF 1  2+PF 2  2，再结合中线的向量公式以及数量 积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1  2+PF 2  2，即可根据中线定理求出． π ∠FPF 【解析】方法一：设∠FPF =2θ,0<θ< ，所以S =b2tan 1 2 =b2tanθ， 1 2 2 △PF1F2 2 数学试题 第 8 页 共 37 页cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 1 由cos∠FPF =cos2θ= = = ，解得：tanθ= ， 1 2 cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 2 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3， 1 所以，S △PF1F2 = 2 ×F 1 F 2  ×y p  1 = ×2 3×y 2 p  1 =6× ，解得：y2=3， 2 p 3 即x2=9×1- p 6  9 = ，因此OP 2  9 30 = x2+y2= 3+ = ． p p 2 2 故选：B． 方法二：因为PF 1  +PF 2  =2a=6①，PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  PF 2  cos∠F 1 PF 2 =F 1 F 2  2， 即PF 1  2+PF 2  6 2- 5 PF 1  PF 2  =12②，联立①②， 解得：PF 1  PF 2  15 = 2 ,PF 1  2+PF 2  2=21，    1 而PO= PF+PF 2 1 2  ，所以OP   =PO    1 = PF+PF 2 1 2  ，  即PO    1 = PF+PF 2 1 2   1 = PF 2 1     2 +2PF⋅PF+PF 1 2 2  2 = 1 21+2× 3 × 15 = 30 ． 2 5 2 2 故选：B． 方法三：因为PF 1  +PF 2  =2a=6①，PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  PF 2  cos∠F 1 PF 2 =F 1 F 2  2， 即PF 1  2+PF 2  6 2- 5 PF 1  PF 2  =12②，联立①②，解得：PF 1  2+PF 2  2=21， 由中线定理可知，2OP    2+F 1 F 2  2=2 PF 1  2+PF 2  2   =42，易知F 1 F 2  =2 3，解得：OP  30 = ． 2 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以 常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解 决，难度不是很大． 3. C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到MF 1  +MF 2  =2a=6，借助基本不等式MF 1  ⋅MF 2  ≤ MF 1  +MF 2   2  2 即可得到答案． 【解析】由题，a2=9,b2=4，则MF 1  +MF 2  =2a=6， 所以MF 1  ⋅MF 2  ≤ MF 1  +MF 2   2  2 =9(当且仅当MF 1  =MF 2  =3时，等号成立)． 故选：C． 【点睛】 4. 8 【分析】根据已知可得PF ⊥PF，设|PF|=m,|PF|=n，利用勾股定理结合m+n=8，求出mn，四边 1 2 1 2 形PFQF 面积等于mn，即可求解. 1 2 【解析】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|=|FF|，所以四边形PFQF 为矩形， 1 2 1 2 设|PF|=m,|PF|=n，则m+n=8,m2+n2=48， 1 2 所以64=(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn， mn=8，即四边形PFQF 面积等于8. 1 2 故答案为：8. 1. A 数学试题 第 9 页 共 37 页【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 4-1 a2-1 2 3 【解析】由e = 3e ，得e2=3e2，因此 =3× ，而a>1，所以a= . 2 1 2 1 4 a2 3 故选：A 2. A 【分析】设Px 1 ,y 1  ，则Q-x 1 ,y 1  y2 1 x2 y2 ，根据斜率公式结合题意可得 1 = ，再根据 1 + 1 =1，将 -x2+a2 4 a2 b2 1 y 用x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 1 1 【解析】[方法一]：设而不求 设Px 1 ,y 1  ，则Q-x 1 ,y 1  1 y y y2 1 则由k ⋅k = 得：k ⋅k = 1 ⋅ 1 = 1 = ， AP AQ 4 AP AQ x +a -x +a -x2+a2 4 1 1 1 由 x 1 2 + y 1 2 =1，得y2= b2a2-x 1 2 a2 b2 1  ， a2 b2a2-x 1 2 所以  a2 1 b2 1 = ，即 = ， -x2+a2 4 a2 4 1 c b2 3 所以椭圆C的离心率e= = 1- = ，故选A. a a2 2 [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：k =-k PB AQ 故k ⋅k =k ⋅-k AP AQ PA PB  1 =- ， 4 b2 由椭圆第三定义得：k ⋅k =- ， PA PB a2 b2 1 故 = a2 4 c b2 3 所以椭圆C的离心率e= = 1- = ，故选A. a a2 2 3. C 【分析】设Px 0 ,y 0  ，由B0,b  ，根据两点间的距离公式表示出 PB  ，分类讨论求出PB  的最大值，再构 建齐次不等式，解出即可． 【解析】设Px 0 ,y 0  ，由B0,b  x2 y2 ，因为 0 + 0 =1，a2=b2+c2，所以 a2 b2 PB  2=x2 0 +y 0 -b  y2 2=a21- 0 b2  +y 0 -b  c2 b3 2=- y + b2 0 c2  2 b4 + +a2+b2， c2 b3 因为-b≤y 0 ≤b，当- c2 ≤-b，即 b2≥c2时，PB  2 =4b2，即 PB max  =2b，符合题意，由b2≥c2可得 max 2 a2≥2c2，即 0-b，即b20，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方 程，解出即可. y=x+m  【解析】将直线y=x+m与椭圆联立x2 ，消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0， +y2=1 3 因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36m2-4×43m2-3  >0，解得-20，求出M、N的坐标，再根据MN  求出k、m，即可得解； 【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法 令AB的中点为E，设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  1 ，利用点差法得到k ⋅k =- ， OE AB 2 设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标， 再根据MN  求出k、m，即可得解； 解：令AB的中点为E，因为MA  =NB  ，所以ME  =NE  ， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x2 y2 x2 y2 ，则 1 + 1 =1， 2 + 2 =1， 6 3 6 3 所以 x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 =0，即 x 1 -x 2 6 6 3 3  x 1 +x 2  + y 1 +y 2 6  y 1 -y 2  =0 3 所以 y 1 +y 2  y 1 -y 2  x 1 -x 2  x 1 +x 2  1 1 =- ，即k ⋅k =- ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0， 2 OE AB 2 m m 令x=0得y=m，令y=0得x=- ，即M- ,0 k k  ，N0,m  ， m m 所以E- , 2k 2  ， m 2 1 2 2 即k× =- ，解得k=- 或k= (舍去)， m 2 2 2 - 2k 又MN  =2 3，即MN  = m2+ 2m  2=2 3，解得m=2或m=-2(舍去)， 2 所以直线AB:y=- x+2，即x+ 2y-2 2=0； 2 故答案为：x+ 2y-2 2=0 [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0， m 则M- ,0 k  ，N0,m  m m ，E- , 2k 2  ，因为MN  =2 3，所以OE  = 3 数学试题 第 12 页 共 37 页y=kx+m  联立直线AB与椭圆方程得x2 y2 消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0 + =1 6 3 4mk 其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x +x =- ， 1 2 1+2k2 2mk m m ∴AB中点E的横坐标x =- ,又E- , E 1+2k2 2k 2  2mk m ，∴x =- =- E 1+2k2 2k 2 ∵k<0，m>0，∴k=- ,又OE 2  m = - 2k  2 m + 2  2 = 3，解得m=2 2 所以直线AB:y=- x+2，即x+ 2y-2 2=0 2 3. 13 x2 y2 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 + =1，即3x2+4y2-12c2=0，根据离心率得到直线AF 4c2 3c2 2 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：x= 3y-c，代入椭圆方 13 程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-6 3cy-9c2=0，利用弦长公式求得c= ，得a=2c= 8 13 ，根据对称性将△ADE的周长转化为△FDE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13. 4 2 c 1 x2 y2 【解析】∵椭圆的离心率为e= = ，∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴椭圆的方程为 + =1，即 a 2 4c2 3c2 3x2+4y2-12c2=0，不妨设左焦点为F，右焦点为F，如图所示，∵AF =a，OF =c，a=2c，∴∠AFO 1 2 2 2 2 π = ，∴△AFF 为正三角形，∵过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF 的垂直 3 1 2 1 2 2 3 平分线，∴直线DE的斜率为 ，斜率倒数为 3，直线DE的方程：x= 3y-c，代入椭圆方程3x2+ 3 4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-6 3cy-9c2=0， 判别式Δ=6 3c  2+4×13×9c2=62×16×c2， ∴DE  = 1+ 3  2 y 1 -y 2  Δ c =2× =2×6×4× =6， 13 13 13 13 ∴ c= ，得a=2c= ， 8 4 ∵DE为线段AF 的垂直平分线，根据对称性，AD=DF，AE=EF，∴△ADE的周长等于△FDE的周 2 2 2 2 长，利用椭圆的定义得到△F 2 DE周长为DF 2  + EF 2 +DE   =  DF 2+  EF 2+  DF 1+  EF 1=  DF 1+  DF 2+  EF 1+   EF 2  =2a+2a=4a=13. 故答案为：13. 数学试题 第 13 页 共 37 页1. A 【分析】设点Px 0 ,y 0  ，由依题意可知，B0,1  x2 ， 5 0 +y2 0 =1，再根据两点间的距离公式得到PB  2，然后消 元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【解析】设点Px 0 ,y 0  ，因为B0,1  x2 ， 0 +y2=1，所以 5 0 PB  2=x2 0 +y 0 -1  2=51-y2 0  +y 0 -1  1 2=-4y2-2y +6=-4y + 0 0 0 4  2 25 + ， 4 1 而-1≤y 0 ≤1，所以当y 0 =- 4 时，PB  5 的最大值为 ． 2 故选：A． 【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数 的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭 圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后， 自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.． 1. B 【分析】分析可得b= 3a，再将点 2, 3  代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方 程. c x2 y2 【解析】∵e= =2，则c=2a，b= c2-a2= 3a，则双曲线的方程为 - =1， a a2 3a2 将点 2, 3  2 3 1 的坐标代入双曲线的方程可得 - = =1，解得a=1，故b= 3， a2 3a2 a2 y2 因此，双曲线的方程为x2- =1. 3 故选：B 2. A 【分析】可利用△PF 1 F 2 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2  =m，由面积公式求出m，由 勾股定理得出c，结合第一定义再求出a. 【解析】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F 1 PF 2 =90°，设PF 2  =m， 2 ∠PFF =θ ,∠PFF =θ ，由k =tanθ =2，求得sinθ = ， 2 1 1 1 2 2 PF2 1 1 5 数学试题 第 14 页 共 37 页1 1 因为∠FPF =90°，所以k ⋅k =-1，求得k =- ，即tanθ = ， 1 2 PF1 PF2 PF1 2 2 2 1 sinθ 2 = 5 ，由正弦定理可得：PF 1  :PF 2  :F 1 F 2  =sinθ :sinθ :sin90°=2:1: 5， 1 2 则由PF 2  =m得PF 1  =2m,F 1 F 2  =2c= 5m， 1 由S △PF1F2 = 2 PF 1  ⋅PF 2  1 = m⋅2m=8得m=2 2， 2 则PF 2  =2 2,PF 1  =4 2,F 1 F 2  =2c=2 10,c= 10， 由双曲线第一定义可得：PF 1  -PF 2  =2a=2 2，a= 2,b= c2-a2= 8， x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 2 8 故选：A 3. D b 【分析】先由点到直线的距离公式求出b，设∠POF =θ，由tanθ= 2 OP  b = 得到OP a  =a，OF 2  =c. a 2 再由三角形的面积公式得到y ，从而得到x ，则可得到 = ，解出a，代入双曲线的方程即可得 P P a2+2 4 到答案. 【解析】如图， 因为F 2c,0  b ，不妨设渐近线方程为y= x，即bx-ay=0， a 所以PF 2  bc =  bc = =b， a2+b2 c 所以b=2. 设∠POF =θ,则tanθ= PF 2 2  OP  b = OP  b = ，所以OP a  =a，所以OF 2  =c. ab 1 1 ab y c b a2 因为 ab= c⋅y ,所以y = ，所以tanθ= P = = ，所以x = ， 2 2 P P c x x a P c P P a2 ab 所以P , c c  ， 数学试题 第 15 页 共 37 页因为F 1-c,0  ， ab c ab 2a a 2 所以k = = = = = ， PF1 a2 a2+c2 a2+a2+4 a2+2 4 +c c 所以 2a2+2  =4a，解得a= 2， x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1 2 4 故选：D 4. D 【分析】由已知可得出c的值，求出点A的坐标，分析可得AF 1  =F 1 F 2  ，由此可得出关于a、b、c的方程 组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【解析】抛物线y2=4 5x的准线方程为x=- 5，则c= 5，则F 1- 5,0  、F 2 5,0  ， b x=-c y=- x  bc 不妨设点A为第二象限内的点，联立 a ，可得 bc ，即点A-c, y= a x=-c a  ， π 因为AF ⊥FF 且∠FFA= ，则△FFA为等腰直角三角形， 1 1 2 1 2 4 1 2 且AF 1  =F 1 F 2  bc b ，即 =2c，可得 =2， a a b  a =2  a=1 y2 所以， c= 5 ，解得b=2 ，因此，双曲线的标准方程为x2- 4 =1.  c= 5 c2=a2+b2 故选：D. 5. C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【解析】由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2，即a(s-t)2+b  a(s+t)2+b  =as2+b  2， 对其进行整理变形： as2+at2-2ast+b  as2+at2+2ast+b  =as2+b  2， as2+at2+b  2-(2ast)2-as2+b  2=0， 2as2+at2+2b  at2-4a2s2t2=0， -2a2s2t2+a2t4+2abt2=0， 所以-2as2+at2+2b=0或t=0， s2 t2 其中 - =1为双曲线，t=0为直线. b 2b a a 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心 素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. x2 y2 6. - =1 2 2 【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答. 【解析】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距 c=2， c 由双曲线C的离心率为 2，得 = 2，解得a= 2，则b= c2-a2= 2， a 数学试题 第 16 页 共 37 页x2 y2 所以双曲线C的方程为 - =1. 2 2 x2 y2 故答案为： - =1 2 2 1. 6 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案. x2 【解析】由 -y2=1知，a2=9，所以a=3， 9 所以实轴长2a=6. 故答案为：6 【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题. 2. 5 【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【解析】由已知，c= a2+b2= 5+4=3，所以双曲线的右焦点为(3,0)， |3+2×0-8| 5 所以右焦点(3,0)到直线x+2y-8=0的距离为 = = 5. 12+22 5 故答案为： 5 1. B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c，即可求出离心率． x2 【解析】由x2-4y2=4得， -y2=1，所以a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5， 4 c 5 即a=2,c= 5，所以e= = ， a 2 故选：B． 2. D 【分析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2+b2=c2和离心率公式求解 【解析】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c， 由题知，b= 7a， 于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2，则c=2 2a， c 即e= =2 2. a 故选：D 3. A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出PF 1  ,PF 2  ，结合余弦定理可得答案. 【解析】因为PF 1  =3PF 2  ，由双曲线的定义可得PF 1  -PF 2  =2PF 2  =2a， 所以PF 2  =a，PF 1  =3a； 因为∠FPF =60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2×3a⋅a⋅cos60°， 1 2 c2 7 7 整理可得4c2=7a2，所以e2= = ，即e= . a2 4 2 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键. 4. C 【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率. 【解析】由题意，设F 10,-4  、F 20,4  、P-6,4  ， 数学试题 第 17 页 共 37 页则F 1 F 2  =2c=8，PF 1  = 62+4+4  2=10，PF 2  = 62+4-4  2=6， 则2a=PF 1  -PF 2  2c 8 =10-6=4，则e= = =2. 2a 4 故选：C. 5. A 【分析】设公共焦点为c,0  ，进而可得准线为x=-c，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得 1 a2= c2，再由双曲线离心率公式即可得解. 2 x2 y2 【解析】设双曲线 - =1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)的公共焦点为c,0 a2 b2  ， 则抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-c， c2 y2 b2 令x=-c，则 - =1，解得y=± ，所以AB a2 b2 a  2b2 = , a b 又因为双曲线的渐近线方程为y=± x，所以CD a  2bc = ， a 2bc 2 2b2 1 所以 = ，即c= 2b，所以a2=c2-b2= c2， a a 2 c 所以双曲线的离心率e= = 2. a 故选：A. 3 6. 2 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF 2  ，结合双曲线第一定义求出AF 1  ，即可得到a,b,c的值， 从而求出离心率. x2 y2 【解析】由题可知A,B,F 三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入 - =1 2 a2 b2 b2 b2 得y=± ，即Ac, a a  b2 ,Bc,- a  ，故AB  2b2 = a =10，AF 2  b2 = =5， a 又AF 1  -AF 2  =2a，得AF 1  =AF 2  b2 +2a=2a+5=13，解得a=4，代入 =5得b2=20， a c 6 3 故c2=a2+b2=36,，即c=6，所以e= = = . a 4 2 3 故答案为： 2 3 5 3 7. / 5 5 5 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF 2  ,BF 2  ,BF 1  ,AF 1  关于a,m的表 达式，从而利用勾股定理求得a=m，进而利用余弦定理得到a,c的齐次方程，从而得解. 5 2 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x = c,y =- t，t2=4c2，将点A代入双曲 0 3 0 3 数学试题 第 18 页 共 37 页线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解； 【解析】方法一： 依题意，设AF 2  =2m，则BF 2  =3m=BF 1  ,AF 1  =2a+2m， 在Rt△ABF 中，9m2+(2a+2m)2=25m2，则9m2+(2a+2m)2=25m2⇒(a+3m)(a-m)=0⇒a= 1 m，故a=m或a=-3m(舍去)， 所以AF 1  =4a,AF 2  =2a，BF 2  =BF 1  =3a，则AB  =5a， 故cos∠FAF = AF 1 1 2  AB  4a 4 = = ， 5a 5 16a2+4a2-4c2 4 所以在△AFF 中，cos∠FAF = = ，整理得5c2=9a2， 1 2 1 2 2×4a×2a 5 c 3 5 故e= = . a 5 方法二: 依题意，得F 1 (-c,0),F 2 (c,0)，令Ax 0 ,y 0  ,B(0,t)，   2 因为F 2 A=- 3 F 2 B，所以x 0 -c,y 0  2 =- -c,t 3  5 2 ，则x = c,y =- t， 0 3 0 3     8 2 又FA⊥FB，所以FA⋅FB= c,- t 1 1 1 1 3 3  ⋅c,t  8 2 = c2- t2=0，则t2=4c2， 3 3 25 4 c2 t2 9 9 25c2 4t2 25c2 16c2 又点A在C上，则 - =1，整理得 - =1，则 - =1， a2 b2 9a2 9b2 9a2 9b2 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2c2-a2  -16a2c2=9a2c2-a2  ， 整理得25c4-50a2c2+9a4=0，则5c2-9a2  5c2-a2  =0，解得5c2=9a2或5c2=a2， 3 5 5 3 5 又e>1，所以e= 或e= (舍去)，故e= . 5 5 5 3 5 故答案为： . 5 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定 理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解. 8. A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 PF 1  =3c+a PF 2  =3c-a=PA    ，根据勾股定理从而确定P的坐标， 利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. p 【解析】根据题意可设F ,0 2 2  ，双曲线的半焦距为c，Px 0 ,y 0  ，则p=2c， 过F 作x轴的垂线l，过P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF 为抛物线的准线， 1 1 则PA  =PF 2  ， 数学试题 第 19 页 共 37 页由双曲线的定义及已知条件可知 PF 1  -PF 2  =2a PF 1  +PF 2   ，则 PF 1  =6c  =3c+a PF 2  =3c-a=PA   ，  由勾股定理可知AF 1  2=y2 0 =PF 1  2-PA  2=12ac， x2 y2 9a2 12ac 易知y2=4cx ,∴x =3a，即 0 - 0 = - =1， 0 0 0 a2 b2 a2 c2-a2 整理得2c2-3ac-2a2=0=2c+a  c-2a  ，∴c=2a，即离心率为2. 故选： 9. ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由F 1 M⊥F 2 M且MO  =c结合M在渐近线上可求M的坐标，从而 可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c2= 13a2，计算后可判断C的正误，或者利用 MA 2  A 1 A 2  b = = 3并结合离心率变形公式即可判断；结合BC 2a 的结果求出面积后可判断D的正误. b 【解析】不妨设渐近线为y= x，M在第一象限，N在第三象限， a 5π π 对于A，由双曲线的对称性可得AMA N为平行四边形，故∠AMA =π- = ， 1 2 1 2 6 6 故A正确； 对于B，方法一：因为M在以F 1 F 2 为直径的圆上，故F 1 M⊥F 2 M且MO  =c， 设Mx 0 ,y 0  x2+y2=c2  0 0 x =a ，则y 0 = b ，故  y 0 =b ，故MA 2 ⊥A 1 A 2 ， x a 0 0 π 由A得∠A 1 MA 2 = 6 ，故MA 2  =MA 1  3 × 2 即MA 1  2 3 = 3 MA 2  ，故B错误； b 方法二：因为tan∠MOA = ，因为双曲线中，c2=a2+b2， 2 a a 则cos∠MOA = ，又因为以FF 为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N，则OM=c， 2 c 1 2 数学试题 第 20 页 共 37 页则若过点M往x轴作垂线，垂足为H，则OH  a =c⋅ c =a=OA 2  ，则点H与A 2H  重合，则MA ⊥x 2 轴，则MA 2  = c2-a2=b， 方法三：在△OMA 2 利用余弦定理知，MA 2  2=OM  2+OA 2  2-2OM  OA 2  cos∠MOA ， 2 即MA 2  a 2=c2+a2-2ac⋅ c =b2，则MA 2  =b， π 则△A 1 A 2 M为直角三角形，且∠A 1 MA 2 = 6 ，则2MA 2  = 3MA 1  ，故B错误；    1 对于C，方法一：因为MO= MA +MA 2 1 2       ，故4MO 2 =MA 2 +2MA ⋅MA +MA 2， 1 1 2 2 由B可知MA 2  =b,MA 1  2 3 = b， 3 4 2 3 3 13 13 故4c2=b2+ b2+2×b× b× = b2= c2-a2 3 3 2 3 3  即c2=13a2， 故离心率e= 13，故C正确； 方法二：因为 MA 2  A 1 A 2  b b c b2 = = 3，则 =2 3，则e= = 1+ = 1+(2 3)2= 13，故C正确； 2a a a a2 对于D，当a= 2时，由C可知e= 13，故c= 26， 1 故b=2 6，故四边形NAMA 为2S =2× ×2 6×2 2=8 3， 1 2 △MA1A2 2 故D正确， 故选：ACD. 10.AC 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、 1 双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N在双支上还是在单支上分类讨论. 【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为B， 1 数学试题 第 21 页 共 37 页3 所以OB⊥FN，因为cos∠FNF = >0，所以N在双曲线的左支， 1 1 2 5 OB  =a，OF 1  =c，F 1 B  3 4 =b，设∠FNF =α，由即cosα= ，则sinα= ， 1 2 5 5 NA  3 = 2 a，NF 2  5 = a 2 NF 2  -NF 1  =2a 5 3 a- a-2b 2 2  =2a， 5 2b=a，∴e= 2 选A 情况二 3 若M、N在双曲线的两支，因为cos∠FNF = >0，所以N在双曲线的右支， 1 2 5 所以OB  =a，OF 1  =c，F 1 B  =b，设∠FNF =α， 1 2 3 3 4 由cos∠FNF = ，即cosα= ，则sinα= ， 1 2 5 5 5 NA  3 = 2 a，NF 2  5 = a 2 NF 1  -NF 2  =2a 3 5 a+2b- a=2a， 2 2 b 3 所以2b=3a，即 = ， a 2 c b2 13 所以双曲线的离心率e= = 1+ = a a2 2 选C [方法二]：答案回代法 5 A选项e= 2 特值双曲线 x2 4 -y2=1,∴F 1- 5,0  ,F 2 5,0  ， 过F 1 且与圆相切的一条直线为y=2x+ 5  ， 6 2 ∵两交点都在左支,∴N- 5,- 5 5 5  ， ∴NF 2  =5,NF 1  =1,F 1 F 2  =2 5， 3 则cos∠FNF = ， 1 2 5 数学试题 第 22 页 共 37 页13 C选项e= 2 x2 y2 特值双曲线 4 - 9 =1,∴F 1- 13,0  ,F 2 13,0  ， 2 过F 1 且与圆相切的一条直线为y= 3 x+ 13  ， 14 18 ∵两交点在左右两支，N在右支，∴N 13, 13 13 13  ， ∴NF 2  =5,NF 1  =9,F 1 F 2  =2 13， 3 则cos∠FNF = ， 1 2 5 [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F 作圆D的切线切点为G， 1 若M,N分别在左右支， 3 因为OG⊥NF，且cos∠FNF = >0，所以N在双曲线的右支， 1 1 2 5 又OG  =a，OF 1  =c，GF 1  =b， 设∠FNF =α，∠FFN=β， 1 2 2 1 在△FNF 中，有 NF 2 1 2  = NF 1 sinβ  sinα+β  2c = ， sinα 故 NF 1  -NF 2  sinα+β  2c a = 即 -sinβ sinα sinα+β  c = ， -sinβ sinα a c 所以 = ， sinαcosβ+cosαsinβ-sinβ sinα 3 a b 4 而cosα= ，sinβ= ，cosβ= ，故sinα= ， 5 c c 5 b 3 代入整理得到2b=3a，即 = ， a 2 c b2 13 所以双曲线的离心率e= = 1+ = a a2 2 若M,N均在左支上， 数学试题 第 23 页 共 37 页同理有 NF 2  = NF 1 sinβ  sinα+β  2c b = ，其中β为钝角，故cosβ=- ， sinα c 故 NF 2  -NF 1  sinβ-sinα+β  2c a c = 即 = ， sinα sinβ-sinαcosβ-cosαsinβ sinα 3 a 4 a 1 代入cosα= ，sinβ= ，sinα= ，整理得到： = ， 5 c 5 4b+2a 4 b 故a=2b，故e= 1+ a  2 5 = ， 2 故选：AC. 3 6 11. 4 b 【分析】联立直线AB和渐近线l :y= x方程，可求出点B，再根据|FB|=3|FA|可求得点A，最后根据 2 a 点A在双曲线上，即可解出离心率． b b b 【解析】过F且斜率为 的直线AB:y= (x+c)，渐近线l :y= x， 4a 4a 2 a b y= (x+c)  4a c bc 联立 ，得B , b 3 3a y= x a  5c bc ，由|FB|=3|FA|，得A- , 9 9a  , 25c2 b2c2 c2 81 3 6 而点A在双曲线上，于是 - =1，解得： = ，所以离心率e= . 81a2 81a2b2 a2 24 4 3 6 故答案为： ． 4 1. -3 【分析】首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即 可； x2 x2 【解析】解：对于双曲线y2+ =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2- =1， m -m x2 3 则a=1，b= -m，又双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x， m 3 数学试题 第 24 页 共 37 页a 3 1 3 所以 = ，即 = ，解得m=-3； b 3 -m 3 故答案为：-3 2. 4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出a,b的关系，再结合双曲线中a2,b2对应关系，联立求解m，再由 关系式求得c，即可求解. 3 b 3 b2 3 【解析】由渐近线方程 3x+my=0化简得y=- x，即 = ，同时平方得 = ，又双曲线中a2 m a m a2 m2 3 1 =m,b2=1，故 = ，解得m=3,m=0(舍去)，c2=a2+b2=3+1=4⇒c=2，故焦距2c=4. m2 m 故答案为：4. 【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 3. D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. c2 a2+b2 b2 【解析】由e= 5，则 = =1+ =5， a2 a2 a2 b 解得 =2， a 所以双曲线的渐近线为y=±2x， |2×2+3| 7 5 当渐近线为y=-2x时，圆心(2,3)到该渐近线的距离d= = >1，不合题意； 22+1 5 |2×2-3| 5 当渐近线为y=2x时，则圆心(2,3)到渐近线的距离d= = ， 22+1 5 1 4 5 所以弦长|AB|=2 r2-d2=2 1- = . 5 5 故选：D 4. A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. x2 y2 【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： - =0，即3x±4y=0， 16 9 结合对称性，不妨考虑点3,0  9+0 9 到直线3x+4y=0的距离：d= = . 9+16 5 故选：A. 3 5. 3 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆 心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． x2 【解析】解：双曲线y2- =1m>0 m2  x 的渐近线为y=± ，即x±my=0， m 不妨取x+my=0，圆x2+y2-4y+3=0，即x2+y-2  2=1，所以圆心为0,2  ，半径r=1， 依题意圆心0,2  2m 到渐近线x+my=0的距离d=  =1， 1+m2 3 3 解得m= 或m=- (舍去)． 3 3 3 故答案为： ． 3 6. - 3,-1  ∪1, 3  数学试题 第 25 页 共 37 页【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数gx  =2 x2-ax与hx  2 ax-3,x≥  a = ，则 2 1-ax,x< a 两函数图象有唯一交点，分a=0、a>0与a<0进行讨论，当a>0时，计算函数定义域可得x≥a或x ≤0，计算可得a∈0,2  时，两函数在y轴左侧有一交点，则只需找到当a∈0,2  时，在y轴右侧无交点 的情况即可得；当a<0时，按同一方式讨论即可得. 【解析】令fx  =0，即2 x2-ax=ax-2  -1， 由题可得x2-ax≥0， 当a=0时，x∈R，有2 x2=-2  1 -1=1，则x=± ，不符合要求，舍去； 2 当a>0时，则2 x2-ax=ax-2  2 ax-3,x≥  a -1= ， 2 1-ax,x< a 即函数gx  =2 x2-ax与函数hx  2 ax-3,x≥  a = 有唯一交点， 2 1-ax,x< a 由x2-ax≥0，可得x≥a或x≤0， 当x≤0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax， 即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0， 1 当a=2时，即4x+1=0，即x=- ， 4 当a∈0,2  1 1 ，x=- 或x= >0(正值舍去)， 2+a 2-a 当a∈2,+∞  1 1 时，x=- <0或x= <0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤0时有唯一解， 则当a∈0,2  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥a时需无解， 当a∈0,2  ，且x≥a时， 由函数hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 关于x= 对称，令hx 2 a 1-ax,x< a  1 3 =0，可得x= 或x= ， a a 且函数hx  1 2 在 , a a  2 3 上单调递减，在 , a a  上单调递增， 令gx  a x- 2 =y=2 x2-ax，即  2 y2 - =1， a2 a2 4 故x≥a时，gx  x 图象为双曲线  2 y2 a - =1右支的x轴上方部分向右平移 所得， a2 a2 2 4 x 由  2 y2 a - =1的渐近线方程为y=± x=±2x， a2 a2 a 4 2 即gx  a 部分的渐近线方程为y=2x- 2  ，其斜率为2， 数学试题 第 26 页 共 37 页又a∈0,2  ，即hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 在x≥ 时的斜率a∈0,2 2 a 1-ax,x< a  ， 令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)， 且函数gx  在a,+∞  上单调递增， 1  a a 当a<0时，则2 x2-ax=ax-2  2 ax-3,x≤  a -1= ， 2 1-ax,x> a 即函数gx  =2 x2-ax与函数hx  2 ax-3,x≤  a = 有唯一交点， 2 1-ax,x> a 由x2-ax≥0，可得x≥0或x≤a， 当x≥0时，则ax-2<0，则2 x2-ax=ax-2  -1=1-ax， 即4x2-4ax=1-ax  2，整理得4-a2  x2-2ax-1= 2+a   x+1  2-a   x-1  =0， 1 当a=-2时，即4x-1=0，即x= ， 4 当a∈-2,0  1 1 ，x=- <0(负值舍去)或x= 0， 2+a 2-a 当a∈-∞,2  1 1 时，x=- >0或x= >0，有两解，舍去， 2+a 2-a 即当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≥0时有唯一解， 则当a∈-2,0  时，2 x2-ax-ax-2  +1=0在x≤a时需无解， 当a∈-2,0  ，且x≤a时， 由函数hx  2 ax-3,x≤  a 2 = 关于x= 对称，令hx 2 a 1-ax,x> a  1 3 =0，可得x= 或x= ， a a 且函数hx  2 1 在 , a a  3 2 上单调递减，在 , a a  上单调递增， 同理可得：x≤a时，gx  x 图象为双曲线  2 y2 a - =1左支的x轴上方部分向左平移 所得， a2 a2 2 4 gx  a 部分的渐近线方程为y=-2x+ 2  ，其斜率为-2， 又a∈-2,0  ，即hx  2 ax-3,x≥  a 2 = 在x< 时的斜率a∈-2,0 2 a 1-ax,x< a  ， 令gx  =2 x2-ax=0，可得x=a或x=0(舍去)， 且函数gx  在-∞,a  上单调递减， 1  >a a 故有 ，解得- 30,b>0)，所以C的渐近线方程为y=± x, a2 b2 a b b2 结合渐近线的特点，只需0< ≤2，即 ≤4， a a2 可满足条件“直线y=2x与C无公共点” c b2 所以e= = 1+ ≤ 1+4= 5， a a2 又因为e>1，所以10，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 1. D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】因为抛物线C:y2=8x的焦点F2,0  ，准线方程为x=-2，点M在C上， 所以M到准线x=-2的距离为MF  ， 又M到直线x=-3的距离为5， 所以MF  +1=5，故MF  =4. 故选：D. 2. C 【分析】先由直线l 求出焦点F和p即抛物线C的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可 BF 依次求出y 和x ，再由焦半径公式即可得解. A A 【解析】对l :y=-2x+2，令y=0，则x=1， BF 所以F1,0  ，p=2即抛物线C:y2=4x，故抛物线的准线方程为x=-1， 故B-1,4  ，则y =4，代入抛物线C:y2=4x得x =4. A A 所以AF  =AB  p =x + =4+1=5. A 2 故选：C 数学试题 第 29 页 共 37 页3. B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可 得到答案. 【解析】由题意得，F1,0  ，则AF  =BF  =2， 即点A到准线x=-1的距离为2，所以点A的横坐标为-1+2=1， 不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2  ， 所以AB  = 3-1  2+0-2  2=2 2. 故选：B 4. 5 4 5 【分析】根据焦半径公式可求M的横坐标，求出纵坐标后可求S . △FMN 【解析】因为抛物线的方程为y2=4x，故p=2且F1,0  . 因为MF  p =6，x + =6，解得x =5，故y =±2 5， M 2 M M 1 所以S = ×5-1 △FMN 2  ×2 5=4 5， 故答案为：5；4 5. 5. 4 2 【分析】根据抛物线的定义知x =8，将其再代入抛物线方程即可. P 【解析】由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1，设点Px 0 ,y 0  ，由题意得x +1=9，解得x =8， 0 0 代入抛物线方程y2=4x，得y2=32，解得y =±4 2， 0 0 则点P到x轴的距离为4 2． 故答案为：4 2． 1. 4,0  【分析】形如y2=2px,p≠0  p 的抛物线的焦点坐标为 ,0 2  ，由此即可得解. 【解析】由题意抛物线的标准方程为y2=16x，所以其焦点坐标为4,0  . 故答案为：4,0  . 2. B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p的值. p 【解析】抛物线的焦点坐标为 ,0 2  ， p  -0+1 2 其到直线x-y+1=0的距离：d=  = 2， 1+1 解得：p=2(p=-6舍去). 故选：B. 3. 6 【分析】根据抛物线的几何性质可求p的值. p p 【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为 ，故 =3，故p=6， 2 2 故答案为：6. 9 4. 4 数学试题 第 30 页 共 37 页5 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=- ，最后 4 利用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可. 【解析】由题意可得： 5  2=2p×1，则2p=5，抛物线的方程为y2=5x， 5 5 准线方程为x=- ，点A到C的准线的距离为1-- 4 4  9 = . 4 9 故答案为： . 4 4 5. /0.8 5 【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点到 直线AF的距离. 【解析】圆(x-1)2+y2=25的圆心为F1,0  p ，故 =1即p=2， 2 x-1 由   2+y2=25  可得x2+2x-24=0，故x=4或x=-6(舍)， y2=4x 故A4,4  4 ，故直线AF:y= x-1 3  即4x-3y-4=0， 4 故原点到直线AF的距离为d=  4 = ， 5 5 4 故答案为： 5 3 6. x=- 2 【分析】先用坐标表示P，Q，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p，即得结果. p 【解析】抛物线C：y2=2px (p>0)的焦点F ,0 2  , ∵P为C上一点，PF与x轴垂直， p 所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p, 2 p 不妨设P ,p 2  , 因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，所以Q在F的右侧， 又|FQ|=6， p ∴Q6+ ,0 2   ,∴PQ=(6,-p)   p 因为PQ⊥OP，所以PQ⋅OP= ×6-p2=0, 2 ∵p>0,∴p=3， 3 所以C的准线方程为x=- 2 3 故答案为：x=- . 2 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 1. ACD 3 【分析】对于A，先判断得直线l:x=- 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用 2 三角形相似证得∠AEB=90°，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法(法一)与正设法(法二)，联立 直线AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得AE  2=AF  ⋅ 数学试题 第 31 页 共 37 页AB  ，BE  2=BF  ⋅AB  ，结合焦半径公式可判断D. 【解析】法一：对于A，对于抛物线C:y2=6x， 3 3 则p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ,0 2 2  ， 则AD  为抛物线上点到准线的距离，AF  为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确； 对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P， 由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°， 又|AD|=|AF|，|AE|=|AB|，所以△ADE≅△AFE， 所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF， 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°， 所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误； 对于C，易知直线AB的斜率不为0， 3 设直线AB的方程为x=my+ 2 ，Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， 3 x=my+ 联立 2 ，得y2-6my-9=0， y2=6x 易知Δ>0，则y +y =6m,yy =-9， 1 2 1 2 3 3 又x =my + ，x =my + ， 1 1 2 2 2 2 所以|AB|=x 1 +x 2 +p=my 1 +y 2  +3+3=6m2+6≥6， 当且仅当m=0时取等号，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF， AE 所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则  AB  AF =  AE  ，即AE  2=AF  ⋅AB  ， 同理BE  2=BF  ⋅AB  ， 又AF  ⋅BF  3 =x + 1 2  3 x + 2 2  =my 1 +3  my 2 +3  =m2y 1 y 2 +3my 1 +y 2  +9=-9m2+18m2+9=9m2+1  ， AB  =6m2+6=6m2+1  ， 所以AE  2⋅BE  2=BF  ⋅AF  ⋅AB  2=9m2+1  ×36m2+1  2， 则AE  ⋅BE  =3m2+1  1 2 ×6m2+1  =18m2+1  3 2 ≥18，故D正确. 故选：ACD. 数学试题 第 32 页 共 37 页法二：对于A，对于抛物线C:y2=6x， 3 3 则p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ,0 2 2  ， 则AD  为抛物线上点到准线的距离，AF  为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确； 对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P， 由题意可知AD⊥l,EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°， 又|AD|=|AF|，|AE|=|AB|，所以△ADE≅△AFE， 所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF， 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°， 所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE|<|AB|，故B错误； 对于C，当直线AB的斜率不存在时，AB  =2p=6； 3 当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=kx- 2  ， 3 y=kx- 联立 2    ，消去y，得k2x2-3k2+6 y2=6x  9 x+ k2=0， 4 6 9 易知Δ>0，则x +x =3+ ,xx = ， 1 2 k2 1 2 4 所以AB  = 1+k2x 1 -x 2  = 1+k2× x 1 +x 2  2-4xx 1 2 6 = 1+k2× 3+ k2  2 1 -9=61+ k2  >6， 综上，|AB|≥6，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF， AE 所以Rt△ABE∼Rt△AEF，则  AB  AF =  AE  ，即AE  2=AF  ⋅AB  ， 同理BE  2=BF  ⋅AB  ， 当直线AB的斜率不存在时，AB  =6，AF  =BF  1 = AB 2  =3； 所以AE  2⋅BE  2=BF  ⋅AF  ⋅AB  2=3×3×62，即AE  ⋅BE  =18； 当直线AB的斜率存在时，AB  1 =61+ k2  ， AF  ⋅BF  3 =x + 1 2  3 x + 2 2  3 =x 1 x 2 + 2 x 1 +x 2  9 + 4 9 3 6 = + 3+ 4 2 k2  9 1 + =91+ 4 k2  ， 数学试题 第 33 页 共 37 页所以AE  2⋅BE  2=BF  ⋅AF  ⋅AB  1 2=91+ k2  1 ×361+ k2  2 ， 则AE  ⋅BE  1 =31+ k2  1 1 2 ×61+ k2  1 =181+ k2  3 2 >18； 综上，AE  ⋅BE  ≥18，故D正确. 故选：ACD. 2. ACD 【分析】由AF  =AM  3p 6p 及抛物线方程求得A , 4 2  ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 p 6p AB的方程，联立抛物线求得B ,- 3 3  ，即可求出OB  判断B选项；由抛物线的定义求出AB  = 25p     即可判断C选项；由OA⋅OB<0，MA⋅MB<0求得∠AOB，∠AMB为钝角即可判断D选项. 12 p 【解析】对于A，易得F ,0 2  ，由AF  =AM  p +p 2 可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为 2 3p = ， 4 3p 3 3p 6p 代入抛物线可得y2=2p⋅ = p2，则A , 4 2 4 2  6p 2 ，则直线AB的斜率为 =2 6，A正确； 3p p - 4 2 1 p 1 对于B，由斜率为2 6可得直线AB的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得y2- py-p2= 2 6 2 6 0， 6 6 6p 6p 设B(x ,y)，则 p+y = p，则y =- ，代入抛物线得- 1 1 2 1 6 1 3 3  2 p =2p⋅x ，解得x = ，则 1 1 3 p 6p B ,- 3 3  ， 则OB  p =  3  2 6p +- 3  2 7p = ≠OF 3  p = ，B错误； 2 对于C，由抛物线定义知：AB  3p p 25p = + +p= >2p=4OF 4 3 12  ，C正确；   3p 6p 对于D，OA⋅OB= , 4 2  p 6p ⋅ ,- 3 3  3p p = ⋅ + 4 3 6p 6p ⋅- 2 3  3p2 =- <0，则∠AOB为钝角， 4   p 6p 又MA⋅MB=- , 4 2  2p 6p ⋅- ,- 3 3  p 2p =- ⋅- 4 3  + 6p 6p ⋅- 2 3  5p2 =- <0，则∠AMB为钝角， 6 又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，则∠OAM+ ∠OBM<180°，D正确. 故选：ACD. 3. AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得p，根据弦长公式求得MN  ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答 案. 数学试题 第 34 页 共 37 页【解析】A选项：直线y=- 3x-1  过点1,0  ，所以抛物线C:y2=2pxp>0  的焦点F1,0  ， p 所以 =1,p=2,2p=4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2=4x. 2 B选项：设Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  ， y=- 3x-1 由    消去y并化简得3x2-10x+3=x-3 y2=4x  3x-1  =0， 1 解得x 1 =3,x 2 = 3 ，所以MN  1 16 =x +x +p=3+ +2= ，B选项错误. 1 2 3 3 C选项：设MN的中点为A，M,N,A到直线l的距离分别为d ,d ,d， 1 2 1 因为d= 2 d 1 +d 2  1 = MF 2  +NF    1 = MN 2  ， 即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确. D选项：直线y=- 3x-1  ，即 3x+y- 3=0， 3 O到直线 3x+y- 3=0的距离为d= ， 2 1 16 3 4 3 所以三角形OMN的面积为 × × = ， 2 3 2 3 由上述分析可知y 1 =- 33-1  1 =-2 3,y =- 3 -1 2 3  2 3 = ， 3 所以OM  = 32+-2 3  2= 21,ON  1 =  3  2 2 3 + 3  2 13 = ， 3 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 1. BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式 可判断C、D. 1 【解析】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=- ，A错误； 4 1-(-1) k = =2，所以直线AB的方程为y=2x-1， AB 1-0 y=2x-1 联立  ，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正确； x2=y 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点， 所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-1，P(x ,y),Q(x ,y )， 1 1 2 2 y=kx-1 联立  ，得x2-kx+1=0， x2=y Δ=k2-4>0  所以x +x =k ，所以k>2或k<-2，yy =(xx )2=1， 1 2 1 2 1 2 xx =1 1 2 又|OP|= x2+y2= y +y2，|OQ|= x2+y2= y +y2， 1 1 1 1 2 2 2 2 所以|OP|⋅|OQ|= yy (1+y)(1+y )= kx ×kx =|k|>2=|OA|2，故C正确； 1 2 1 2 1 2 因为|BP|= 1+k2|x|，|BQ|= 1+k2|x |， 1 2 所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|xx |=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确. 1 2 故选：BCD 2. 6 【分析】根据圆x+2  2+y2=3和曲线y2=2px均关于x轴对称，不妨设切线方程为y=kx，k>0，即可 数学试题 第 35 页 共 37 页根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【解析】易知圆x+2  2+y2=3和曲线y2=2px均关于x轴对称，不妨设切线方程为y=kx，k>0， 2k 所以  2p = 3，解得：k= 3，由  y= 3x 解得：  x=0 或   x= 3 ， 1+k2 y2=2px y=0 2 3p y= 3 所以OP  2p =  3  2 2 3p + 3  2 4p = =8，解得：p=6． 3 当k=- 3时，同理可得． 故答案为：6． 1. ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利 用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【解析】对于A：设曲线上的动点Px,y  ，则x>-2且 x-2  2+y2×x-a  =4， 因为曲线过坐标原点，故 0-2  2+02×0-a  =4，解得a=-2，故A正确. 对于B：又曲线方程为 x-2  2+y2×x+2  =4，而x>-2， 故 x-2  2+y2×x+2  =4. 当x=2 2,y=0时， 2 2-2  2×2 2+2  =8-4=4， 故2 2,0  在曲线上，故B正确. 16 对于C：由曲线的方程可得y2= x+2  -x-2 2  3 2，取x= ， 2 64 1 64 1 64 5 256-245 则y2= - ，而 - -1= - = >0，故此时y2>1， 49 4 49 4 49 4 49×4 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点x 0 ,y 0  16 在曲线上时，由C的分析可得y2= 0 x 0 +2  2 -x 0 -2  16 2≤ x 0 +2  ， 2 4 4 故- ≤y ≤ ，故D正确. x +2 0 x +2 0 0 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等 来处理. 1. B 1 【分析】由新定义求解曲线上任一点P到定点M距离的取值范围A，当任意x∈A，都有 ∈A时，曲线 x 满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断， x2 y2 【解析】对于①，不妨设椭圆方程为 + =1(a>b>0)，M(m,0)， a2 b2 b2 则椭圆上一点P到M距离为|PM|= (x-m)2+y2= (x-m)2+b2- x2= a2 b2 1- a2  x2-2mx+m2+b2,-a≤x≤a， m 当m>a时，对称轴x= >a，可得|PM|∈[m-a,m+a]， b2 1- a2 总存在m使得(m-a)(m+a)=1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 数学试题 第 36 页 共 37 页对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无 穷大，|PM|∈[m,+∞)，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点M距离的取值范围，再结合椭圆与双 曲线的性质判断即可． 数学试题 第 37 页 共 37 页