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专题 1.1 集合-重难点题型精讲
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
⫋
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
属于A且属于B的所有元素组
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
成的集合
属于A或属于B的元素组成的
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
集合
全集U中不属于A的元素组成
补集 的集合称为集合A相对于集合 {x|x∈U，x∉A} ∁ A
U
U的补集【注意】
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【题型1 求集合中元素的个数】
【方法点拨】
①确定集合中的元素是什么，是数、点还是其他；
②看这些元素满足什么限制条件；
③根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解，但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【例 1】（2020 秋•顺德区期中）已知集合 M 的非空子集的个数是 7，则集合 M 中的元素的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．2 D．5
【解题思路】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1．
【解答过程】解：设集合M中有n个元素，
∵集合M的非空子集的个数是7，
∴2n﹣1＝7，解得n＝3，
∴集合M中元素的个数是3．
故选：A．
【变式1-1】（2021•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x N}，B＝{C|C A}，则集合B中元素的个数
为（ ） ∈ ⊆
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出．
【解答过程】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x N}，
所以A＝{0，1，2}， ∈
因为B＝{C|C A}，
所以B中的元⊆素为A的子集个数，即B有23＝8个，
故选：C．
【变式1-2】（2021春•保定期末）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中
元素的个数为（ ） ∈A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据集合的基本运算进行求解．
【解答过程】解：A＝{x|x＝3n+2，n N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B＝{8，14}， ∈
故集合A∩B中元素的个数为2个．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•荆州校级月考）已知集合 A＝{0，1，2，3}，集合B＝{（x，y）|x A，y A，
x≠y，x+y A}，则B中所含元素的个数为（ ） ∈ ∈
A．3 ∈ B．6 C．8 D．10
【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．
【解答过程】解：当x＝0时，y＝1，2，3；满足集合B．
当x＝1时，y＝0，2；满足集合B．
当x＝2时，y＝0，1；满足集合B．
当x＝3时，y＝0．满足集合B．
共有8个元素．
故选：C．
【题型2 子集个数的求解】
【方法点拨】
①穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；
②公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.
【例2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子
集个数为（ ）
A． B． C．62 D．26
A2 C2
6 6
【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个．
【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为 ，
C2
6
故选：B．
【变式2-1】（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16 B．15 C．∈8 D．7
【解题思路】化简集合M，利用公式求真子集个数即可．
【解答过程】解：M＝{x Z||2﹣x|＜2}＝{1，2，3}，
∈故集合M的真子集个数为23﹣1＝7，
故选：D．
【变式2-2】（2022春•河南月考）设集合 A＝{x Z|（x﹣1）（x﹣5）≤0}，则集合A的子集个数为
（ ） ∈
A．16 B．32 C．15 D．31
【解题思路】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数．
【解答过程】解：集合A＝{x Z|（x﹣1）（x﹣5）≤0}＝{x|1≤x≤5，x Z}＝{1，2，3，4，5}，
∴集合A的子集的个数为25＝∈32． ∈
故选：B．
x+1 1
【变式2-3】（2021春•定兴县校级月考）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x N| ＜ }，则A∩B的
x−2 2
∈
真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【解题思路】先解出A∩B，再利用真子集的计算公式，即可解出．
x+1 1
【解答过程】解：因为A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x N| ＜ }＝{x N|﹣4＜x＜2}＝{0，1}，
x−2 2
∈ ∈
∴A∩B＝{0，1}，
则A∩B的真子集个数22﹣1＝3．
故选：A．
【题型3 判断集合之间的关系】
【方法点拨】
①列举法：根据题中限定条件，把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间
的关系；
②结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断；
③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系.
x−2
【例3】（2022•全国四模）已知M＝{x|x2﹣2x≤0}，N={x| ≤0}，则集合M、N之间的关系为（
x
）
A．M∩N＝ B．M＝N C．N M D．M N
【解题思路】∅可以求出集合M，N，然后即可判断集⫋合M，N的关系． ⫋
【解答过程】解：M＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，
N＝{x|（x﹣2）x≤0且x≠0}＝{x|0＜x≤2}，则N M，
故选⫋：C．
2x+1
【 变 式 3-1 】 （ 2022 春 • 麒 麟 区 校 级 期 中 ） 已 知 集 合 M={y|y= ，x∈Z}，
3
2
N={y|y= x−1，x∈Z}，则集合M，N的关系是（ ）
3
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝ϕ
【解题思路】通过分析两个集⊂合中元素的关系，结合⊃集合子集的定义分析求解即可．
2x+1
【解答过程】解：因为集合M＝{y|y= ，x Z}，
3
∈
2 2x−3 2(x−2)+1
集合N＝{y|y= x﹣1，x Z}＝{y|y= = ，x Z}，
3 3 3
∈ ∈
即M＝N．
故选：A．
【变式3-2】（2021秋•扬州期末）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x N}，B＝{0，1，2，3，4}，则A，B
间的关系是（ ） ∈
A．A＝B B．B A C．A B D．A B
【解题思路】先利用一元二⊆次不等式的解法求出集∈合A，再由集合间的关⊆系判断即可．
【解答过程】解：因为集合 A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x N}＝{x|﹣1＜x＜4，x N}＝{0，1，2，3}，B＝
{0，1，2，3，4}， ∈ ∈
则A B．
故选⊆：D．
【变式3-3】（2021秋•南阳月考）若集合 A＝{x|x＝2k﹣1，k Z}，B＝{x|x＝2k+1，k Z}，C＝{x|x＝
4k+1，k Z}则A，B，C的关系是（ ） ∈ ∈
A．C A∈＝B B．A C B C．A＝B C D．B A C
【解题⊆思路】集合A、B是所⊆有⊆奇数构成的集合，C是所⊆有4的倍数加1构⊆成⊆的集合，从而判断．
【解答过程】解：集合A＝{x|x＝2k﹣1，k Z}是所有奇数构成的集合，
B＝{x|x＝2k+1，k Z}是所有奇数构成的集∈合，
C＝{x|x＝4k+1，k∈Z}是所有4的倍数加1构成的集合，
故C A＝B， ∈
故选⊆：A．
【题型4 根据两集合间的关系求参数】【方法点拨】
①若集合元素是一一列举的，则依据集合间的关系转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性;
②若集合表示的是不等式的解集，则常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
【例4】（2022•南平模拟）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A B，则a的取值范围为（
） ⊆
A．a≥3 B．﹣1≤a≤3 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
【解题思路】由包含关系建立不等式得解．
【解答过程】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，且A B，
∴a≤﹣1， ⊆
故选：D．
【变式4-1】（2022•攀枝花模拟）设集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|x2﹣3x+2＞0}，若A B，则实数a的取值范
围是（ ） ⊆
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【解题思路】求解二次不等式化简集合B，由A B，然后结合两集合端点值间的关系求得a的范围．
【解答过程】解：B＝{x|x2﹣3x+2＞0}＝{x|x＜1⊆或x＞2}，
A＝{x|x＞a}，若A B，
∴a≥2，则实数a的⊆取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
1 1 1
【变式4-2】（2022•西安模拟）已知集合A={x||x− |＜ }，B={x|a＜x＜ }，若B A，则实
4 4 2
⊆
数a的取值范围是（ ）
1 1
A．(0， ) B．(0， ] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
2 2
【解题思路】化简集合A，再分类讨论确定实数a的取值范围．
1 1 1
【解答过程】解：A={x||x− |＜ }={x|0＜x＜ }，
4 4 2
1
B={x|a＜x＜ }，
2
1
①当B＝ ，即a≥ 时，B A成立；
2
∅ ⊆
1 1
②当B≠ ，即a＜ 时，0≤a＜ ，
2 2
∅
综上所述，实数a的取值范围是[0，+∞），
故选：C．
【变式4-3】（2022春•吉安期中）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，则
使A B成立的实数m的取值范围是（ ）
U
⊆∁ 1
A． B．{m|m＜− 或m＞6}
2
∅
1
C．{m|m≤− 或m≥6} D．{m|m＜2或m＞6}
2
【解题思路】分B≠ 和B＝ 两种情况，求出 B，然后由子集的定义分析求解即可．
U
【解答过程】解：①∅当B≠ ∅时，则m+1≤2m﹣∁1，即m≥2，
因为集合A＝{x|﹣2≤x≤7}∅，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，
则 B＝{x|x＜m+1或x＞2m﹣1}，
U
又∁A B，
U
则m⊆+1∁＞7或2m﹣1＜﹣2，
1
解得m＞6或m＜− ，
2
又m≥2，
所以m＞6；
②当B＝ 时，则m+1＞2m﹣1，即m＜2，
此时
U
B＝∅R，符合题意．
综上∁所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2．
故选：D．
【题型5 求解集合的基本运算】
【方法点拨】
①确定集合中的元素及其满足的条件；
②根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来；
③利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图直观求解.
【例5】（2022•南京模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【解题思路】化简集合A，利用交集运算即可求得答案．
【解答过程】解：由A＝{x|x2﹣2x≥0}＝（﹣∞，0]∪[2，+∞），
B＝{0，1，2}，则A∩B＝{0，2}，
故选：C．
【变式 5-1】（2022春•安康期末）设集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2＜1}，则 A∩（ B）＝
R
（ ） ∁
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，0，1}
【解题思路】先求出集合B，再求集合B关于全集R的补集，再跟集合A取交集即可．
【解答过程】解：∵x2＜1，∴﹣1＜x＜1．
∴B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴ B＝{x|x≤﹣1或x≥1}．
R
则A∩ B＝{﹣2，﹣1，∁1}．
R
故选：∁C．
【变式5-2】（2022春•长寿区期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4}，N＝{4，5}，则
U
（M∪N）等于（ ） ∁
A．{1，2} B．{3，4} C．{4，5} D．{1，2，3，5}
【解题思路】利用并集、补集定义直接求解．
【解答过程】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4}，N＝{4，5}，
∴M∪N＝{3，4，5}，
则 （M∪N）＝{1，2}．
U
故∁选：A．
【变式5-3】（2022春•成都期末）设集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，B＝{x|x＞0}，则（ ）
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∪B＝{x|x＞1}
【解题思路∅】求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答过程】解：∵集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，B＝{x|x＞0}，
A＝（﹣3，1），B＝（0，+∞），
∴A∩B＝（0，1）．
故选：C．
【题型6 根据集合的基本运算求参数】
【方法点拨】
①将集合的运算结果转化为参数所满足的方程（组）或不等式（组）问题求解；
②根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
【例6】（2022春•河南月考）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|x+m＞0}，且A∪B＝（﹣2，+∞），
则m的取值范围为（ ）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．（﹣1，2] D．[﹣2，1）
【解题思路】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，根据A与B的并集，确定出m的范围即可．
【解答过程】解：A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∵B＝{x|x+m＞0}＝{x|x＞﹣m}，A∪B＝（﹣2，+∞），
∴﹣2≤﹣m＜1，∴﹣1＜m≤2，
∴m的取值范围为（﹣1，2]．
故选：C．
【变式6-1】（2022春•河南月考）设集合A＝{x|y＝ln（4x﹣x2﹣3）}，B＝{x|x+2≥a}，若A∪B＝B，则实
数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，1]
【解题思路】求出集合A，B，由A∪B＝B，得A B，由此能求出实数a的取值范围．
【解答过程】解：集合A＝{x|y＝ln（4x﹣x2﹣3）⊆}＝{x|1＜x＜3}，
B＝{x|x+2≥a}＝{x|x≥a﹣2}，A∪B＝B，
∴A B，
∴a﹣⊆2≤1，∴a≤3，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，3]．
故选：C．
【变式6-2】（2022春•河南月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{1，m}，若A∩B≠ ，则实数m的
取值范围是（ ） ∅
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．[1，2] D．（2，+∞）
【解题思路】先化简A集合，再根据A∩B≠ ，即可得m的取值范围．
【解答过程】解：∵A＝（﹣∞，1）∪（2，∅+∞），B＝{1，m}，又A∩B≠ ，
∴m＜1或m＞2， ∅
故选：B．
【变式6-3】（2022•西安模拟）已集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|x≥a}，A∩B＝{1，2，3}，则
实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（0，1] C．（0，1） D．[0，1]
【解题思路】利用交集定义和不等式性质直接求解．
【解答过程】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|x≥a}，
A∩B＝{1，2，3}，∴0＜a≤1，
∴实数a的取值范围是（0，1]．
故选：B．
