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专题 1.1 集合-重难点题型精讲
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
⫋
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
属于A且属于B的所有元素组
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
成的集合
属于A或属于B的元素组成的
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
集合
全集U中不属于A的元素组成
补集 的集合称为集合A相对于集合 {x|x∈U，x∉A} ∁ A
U
U的补集【注意】
1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
【题型1 求集合中元素的个数】
【方法点拨】
①确定集合中的元素是什么，是数、点还是其他；
②看这些元素满足什么限制条件；
③根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解，但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【例 1】（2020 秋•顺德区期中）已知集合 M 的非空子集的个数是 7，则集合 M 中的元素的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．2 D．5
【变式1-1】（2021•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x N}，B＝{C|C A}，则集合B中元素的个数
为（ ） ∈ ⊆
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1-2】（2021春•保定期末）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中
元素的个数为（ ） ∈
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式1-3】（2021秋•荆州校级月考）已知集合 A＝{0，1，2，3}，集合B＝{（x，y）|x A，y A，
x≠y，x+y A}，则B中所含元素的个数为（ ） ∈ ∈
A．3 ∈ B．6 C．8 D．10
【题型2 子集个数的求解】
【方法点拨】
①穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；
②公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.
【例2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子
集个数为（ ）
A． B． C．62 D．26
A2 C2
6 6
【变式2-1】（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（ ）
∈A．16 B．15 C．8 D．7
【变式2-2】（2022春•河南月考）设集合 A＝{x Z|（x﹣1）（x﹣5）≤0}，则集合A的子集个数为
（ ） ∈
A．16 B．32 C．15 D．31
x+1 1
【变式2-3】（2021春•定兴县校级月考）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x N| ＜ }，则A∩B的
x−2 2
∈
真子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【题型3 判断集合之间的关系】
【方法点拨】
①列举法：根据题中限定条件，把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而找出集合之间
的关系；
②结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断；
③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合之间的关系.
x−2
【例3】（2022•全国四模）已知M＝{x|x2﹣2x≤0}，N={x| ≤0}，则集合M、N之间的关系为（
x
）
A．M∩N＝ B．M＝N C．N M D．M N
∅ ⫋ ⫋ 2x+1
【 变 式 3-1 】 （ 2022 春 • 麒 麟 区 校 级 期 中 ） 已 知 集 合 M={y|y= ，x∈Z}，
3
2
N={y|y= x−1，x∈Z}，则集合M，N的关系是（ ）
3
A．M＝N B．M N C．M N D．M∩N＝ϕ
【变式3-2】（2021秋•扬州期⊂末）已知集合A＝{x|x2﹣⊃3x﹣4＜0，x N}，B＝{0，1，2，3，4}，则A，B
间的关系是（ ） ∈
A．A＝B B．B A C．A B D．A B
【变式3-3】（2021秋•南阳月⊆考）若集合 A＝{x|x＝∈2k﹣1，k Z}，B＝{⊆x|x＝2k+1，k Z}，C＝{x|x＝
4k+1，k Z}则A，B，C的关系是（ ） ∈ ∈
A．C A∈＝B B．A C B C．A＝B C D．B A C
【题型4⊆ 根据两集合间的关系⊆求⊆参数】 ⊆ ⊆ ⊆
【方法点拨】
①若集合元素是一一列举的，则依据集合间的关系转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性;②若集合表示的是不等式的解集，则常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
【例4】（2022•南平模拟）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A B，则a的取值范围为（
） ⊆
A．a≥3 B．﹣1≤a≤3 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1
【变式4-1】（2022•攀枝花模拟）设集合A＝{x|x＞a}，B＝{x|x2﹣3x+2＞0}，若A B，则实数a的取值范
围是（ ） ⊆
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
1 1 1
【变式4-2】（2022•西安模拟）已知集合A={x||x− |＜ }，B={x|a＜x＜ }，若B A，则实
4 4 2
⊆
数a的取值范围是（ ）
1 1
A．(0， ) B．(0， ] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
2 2
【变式4-3】（2022春•吉安期中）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，则
使A B成立的实数m的取值范围是（ ）
U
⊆∁ 1
A． B．{m|m＜− 或m＞6}
2
∅
1
C．{m|m≤− 或m≥6} D．{m|m＜2或m＞6}
2
【题型5 求解集合的基本运算】
【方法点拨】
①确定集合中的元素及其满足的条件；
②根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清晰表示出来；
③利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图直观求解.
【例5】（2022•南京模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
【变式 5-1】（2022春•安康期末）设集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|x2＜1}，则 A∩（ B）＝
R
（ ） ∁
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，1} C．{﹣2，﹣1，1} D．{﹣2，0，1}
【变式5-2】（2022春•长寿区期末）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4}，N＝{4，5}，则
U
（M∪N）等于（ ） ∁
A．{1，2} B．{3，4} C．{4，5} D．{1，2，3，5}
【变式5-3】（2022春•成都期末）设集合A＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，B＝{x|x＞0}，则（ ）A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∪B＝{x|x＞1}
∅
【题型6 根据集合的基本运算求参数】
【方法点拨】
①将集合的运算结果转化为参数所满足的方程（组）或不等式（组）问题求解；
②根据求解结果来确定参数的值或取值范围.
【例6】（2022春•河南月考）已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|x+m＞0}，且A∪B＝（﹣2，+∞），
则m的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．（﹣1，2] D．[﹣2，1）
【变式6-1】（2022春•河南月考）设集合A＝{x|y＝ln（4x﹣x2﹣3）}，B＝{x|x+2≥a}，若A∪B＝B，则实
数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，1]
【变式6-2】（2022春•河南月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＞0}，B＝{1，m}，若A∩B≠ ，则实数m的
取值范围是（ ） ∅
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．[1，2] D．（2，+∞）
【变式6-3】（2022•西安模拟）已集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{x|x≥a}，A∩B＝{1，2，3}，则
实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1] B．（0，1] C．（0，1） D．[0，1]
