文档内容
专题 1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................3
【题型2 子集的个数问题】......................................................................................................................................5
【题型3 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................6
【题型4 集合中的含参问题】..................................................................................................................................7
【题型5 集合的新定义问题】..................................................................................................................................8
【题型6 充分条件与必要条件】..............................................................................................................................9
【题型7 全称量词与存在量词命题】....................................................................................................................11
1、集合
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查
集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以
及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少
单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习
时需多注意加强这方面练习。
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
属于A且属于B的所有元素组
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
成的集合
属于A或属于B的元素组成的
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
集合
全集U中不属于A的元素组成
补集 的集合称为集合A相对于集合 {x|x∈U，x∉A} ∁ A
U
U的补集
【知识点2 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题
推出关系及 由p通过推理可得出 由条件p不能推出结论
符号表示 q，记作：p⇒q q，记作：
p是q的充分条件 p不是 q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是 p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号 ∀
全称量词
含有全称量词的命题
命题
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
形式
“ x∈M，p(x)”
4.存在量词与存 ∀在 量 词 命 题存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示 ∃
存在量词
含有 存在 量词 的命题
命题
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
形式
“ ∃ x ∈ M ， p ( x )”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合 ， ，则
P={n|n=2k−1,k∈N∗,k≤10} Q={2,3,5}
集合 中元素的个数为（ ）
T={xy|x∈P,y∈Q}
A．30 B．28 C．26 D．24
【解题思路】根据题意得到 ，再结合 求解即可.
P={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} T={xy|x∈P,y∈Q}
【解答过程】 ， ，
P={n|n=2k−1,k∈N∗,k≤10}={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} Q={2,3,5}
因为 ，
T={xy|x∈P,y∈Q}
当x∈P,y=2时，xy为偶数，共有10个元素.
当x∈P,y=3时，xy为奇数，
此时xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.
当x∈P,y=5时，xy为奇数，
此时xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.
综上 中元素的个数为 个.
T={xy|x∈P,y∈Q} 10+10+8=28
故选：B.
【变式1-1】（2023上·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知A是由0，m，m2−3m+2三个元素组成的集合，
且2∈A，则实数m为（ ）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【解题思路】由2∈A，可得m=2或m2−3m+2=2，解方程求m，再去验证是否符合集合中元素性质即
可．
【解答过程】因为集合A是由0，m，m2−3m+2三个元素组成的集合，
所以 ，又 ，
A={0,m,m2−3m+2} 2∈A
所以m=2或m2−3m+2=2，解方程可得m=2或m=0或m=3，
当m=2时，A={0,2}，与已知矛盾，舍去；
当m=0时，A={0,2}，与已知矛盾，舍去；
当m=3时，A={0,3,2}，满足题意，∴m=3，B正确，
故选：B.
【变式1-2】（2022上·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合 的元素只有一个，则
A={x|ax2-3x+2=0}
实数a的值为（ ）
9 9
A． B．0 C． 或0 D．无解
8 8
【解题思路】集合A有一个元素，即方程ax2 −3x+2=0有一解，分a=0，a≠0 两种情况讨论，即可得解.
【解答过程】集合A有一个元素，即方程ax2 −3x+2=0有一解，
当a=0时，A=¿，符合题意，
当a≠0时，ax2 −3x+2=0有一解，
9
则Δ=9−8 a=0，解得：a= ，
8
9
综上可得：a=0或a= ，
8
故选：C.
【变式1-3】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，S,T⊆U且各有14，28
个元素，则∁ (S∩T)的元素个数最少是（ ）
S∪T
A．14 B．30 C．32 D．42
【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【解答过程】设S∩T=M,M中有x个元素，则0≤x≤14,x∈N,
所以S∪T中的元素个数为14+28−x=42−x，因此∁ (S∩T)中的元素个数为S∪T中的元素减去
S∪T
S∩T中的元素个数，即为42−x−x=42−2x，
由于0≤x≤14,x∈N，所以42−2x∈[14,42]，故当x=14时，有最小值14故选：A.
【题型2 子集的个数问题】
{ x }
【例2】（2023·河南·校联考二模）集合A= x|1< −1<3,x∈N 的子集的个数为（ ）
2
A．3 B．4 C．7 D．8
【解题思路】解不等式可求得集合A，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可.
{ x }
【解答过程】∵A= x|1< −1<3,x∈N ={x|4 B． a|a<− C． a|a≤− D．{a|a<0}
2 2 2
【解题思路】先求出集合B，再利用A∩B=∅可得实数a的取值范围.
【解答过程】由 ，得 ，所以 ，
x−2a<0 x<2a B={x|x<2a}
1
因为A∩B=∅，所以2a≤−1，故a≤− ．
2
故选：C．
【变式4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合 ，若 ，则
A={x∈N||x|<2},B={x∣ax−1=0} B A
实数a=（ ）
1 1
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
2 2
【解题思路】先求得合A={0,1}，再分a=0和a≠0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【解答过程】解：由集合 ，
A={x∈N∗||x|<2}={0,1}
对于方程ax−1=0，
当a=0时，此时方程无解，可得集合B=∅，满足BA；
1 1
当a≠0时，解得x= ，要使得BA，则满足 =1，可得a=1，
a a
所以实数a的值为0或1.
故选：B.
【变式4-2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若集合A=¿,则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ）
A．¿ B．¿ C．¿ D．¿
【解题思路】考虑A=∅和A≠∅两种情况,得到不等式组,解得答案.
【解答过程】当A=∅时,即2a+1>3a−5,a<6时成立;
当A≠∅时,满足¿,解得6≤a≤7;
综上所述:a≤7.
故选:C.
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合A={x∈Z|−10，则“a20，若01
C．∃x∈R,sinx+√3cosx≥1 D．∀x∈R,sinx+√3cosx>1
【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【解答过程】解：因为命题p:∀x∈R,sinx+√3cosx≤1是全称命题，
所以¬p为∃x∈R,sinx+√3cosx>1．
故选：B．
【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，√x+2x−3>0，命题q：∃x∈R，
2x2−4x+3=0，则（ ）
A．p真q真 B．p假q假 C．p假q真 D．p真q假
【解题思路】对于命题p：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数
的Δ判别式分析判断.
1
【解答过程】对于命题p：令t=√x>1，则y=t+2t2−3=2t2+t−3开口向上，对称轴为t=− ，
4
且y| =0，则y=2t2+t−3>0，
x=1
所以∀x>1，√x+2x−3>0，即命题p为真命题；
对于命题 ：因为 ，
q Δ=(−4) 2−4×2×3=−8<0
所以方程2x2−4x+3=0无解，即命题q为假命题；
故选：D.【变式7-2】（2022上·广西柳州·高二校考学业考试）已知命题P的否定为“∃x∈R,x2+1≤1”,则下列
说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.
【解答过程】∵命题P的否定为特称命题,
∴P:∀x∈R,x2+1>1,排除AD;
因为当x=0时,x2+1=1,
∴P为假命题,排除B.
故选:C.
【变式7-3】（2022上·河南·高三校联考阶段练习）已知命题p:∀x∈R，x2+1≥a，若¬p为真命题，
则a的取值范围是（ ）．
A．(−∞,1) B．(−∞,1] C．(1,+∞) D．[1,+∞)
【解题思路】根据全称命题的否定得到 ，然后将存在问题转化为最值问题，求出 即可.
¬p (x2+1)
min
【解答过程】¬p：∃x∈R，x2+11
min
故选：C.
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x−1<0}，则M∩N=（ ）
A．{x∣−2≤x<1} B．{x∣−2−1}，选项B错误；
U U
M∩N={x|−1
