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专题 4.7 平面向量的应用【七大题型】
【新高考专用】
1、平面向量的应用
平面向量及其应用是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，试题主要以选择题、填空题的形式
呈现，其中平面向量的数量积、夹角、线段长度、向量与几何最值等问题是高考的重点、热点内容，难度
中等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题.学生在高考复习中应注意加强对这些内容的掌握，学
会灵活求解.
【知识点1 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ∥ = -
=0 ( ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂
直的条件： =0 + =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： = = .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| |= 或|AB|=| |=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转
化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【知识点2 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有
大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=| || | .功是一个实数，它可正，可负，
也可为零.
(2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型1 用向量研究平面几何中的平行问题】
【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知M,N是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且
AM=CN，求证：四边形BMDN是平行四边形．【变式1-1】（2024高一·全国·专题练习）如图，设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC,BD的中点.试用
向量的方法证明：PQ//AB
【变式1-2】（23-24高一·上海·课堂例题）在四边形ABCD中，向量⃗AB=i⃗+2⃗j，⃗BC=−4i⃗−⃗j，
⃗CD=−5i⃗−3⃗j．求证：四边形ABCD为梯形．
【变式1-3】（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E、F依次是对角线AC
上的两个三等分点，设 ⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b.
(1)请用 ⃗a与 ⃗b表示 ⃗DF;
(2)用向量方法证明：四边形DFBE是平行四边形.【题型2 用向量研究平面几何中的垂直问题】
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知 的三个顶点分别是 ， ， (1 √3)，则
△ABC A(−1,0) B(1,0) C ,
2 2
△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝
3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则 AMN的形状是( )
△
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【变式2-2】（23-24高一下·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，已知
1 1
AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分别为AC,BC上的点，且⃗AE= ⃗AC,⃗BF= ⃗BC.
2 3
(1)求 ；
|⃗AF|
(2)求证：AF⊥BE；
(3)若线段BE上一动点P满足2⃗PB+⃗PA+⃗PC=0⃗，试确定点P的位置.
【变式2-3】（22-23高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
(1)求∠EMF的余弦值．
(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？
若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．
【题型3 用向量解决夹角问题】
π
【例3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB= ,BD是圆的直径，
4
⃗AC⋅⃗BD=2，则∠ADC=（ ）
5π π 7π 2π
A． B． C． D．
12 2 12 3
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC中，⃗AO=λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，且O为△ABC的外心．若
[1 2]
⃗BA在⃗BC上的投影向量为μ⃗BC，且cos∠AOC∈ , ，则μ的取值范围为（ ）
3 3
[2 5] [1 3 ] [4 5] [1 3]
A． , B． , C． , D． ,
3 6 5 10 3 3 5 5
【变式3-2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，E为BC的中
点，F为BD与AE的交点，⃑AD=λ⃑AB+μ⃑AE．
(1)求λ和μ的值；
(2)若AB=2√2，BC=6，∠ABC=45°，求⃑EA与⃑BD所成角的余弦值．【变式3-3】（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，
∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
(1)求|PN|；
(2)求∠MPN的正弦值.
【题型4 用向量解决线段的长度问题】
【例4】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CB边的中
点，过点C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，则BF=（ ）
3 √3 √2 √5
A． B． C． D．
4 2 3 3
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知向量 ，线段 的中点为 ，且 ，则
⃗AB⋅⃗AC=6 BC M |⃗AM|=6 |⃗BC|=
（ ）
A．2√30 B．3√30 C．2√26 D．3√26
【变式4-2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，
cosA(tanA+tanB)=2sinC.
(1)求角B的值；
(2)若a=2,c=5，边AC上的中点为D，求BD的长度.【变式4-3】（2024·贵州·模拟预测）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
B
sinB−cosB=1+cos .
2
(1)求sinB；
1
(2)若a=√7，c=3，D在AC上，且⃗CD= ⃗CA，求BD的长.
3
【题型5 向量与几何最值（范围）问题】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是正方形内的一点，且满足
，则 的最大值是（ ）
|⃗AP+⃗BP+⃗CP+⃗DP|=4 |⃗AP|
A．1+√2 B．√2−1 C．2√2−1 D．2√2+1
【变式5-1】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A ,A ,⋯,A 的边上，点M在边A A 上，
1 2 8 1 2
则 ⃗ ⃗的取值范围是（ ）
A M⋅A N
1 1
A．[−4−2√2,2√2] B．[−4,4+2√2]
C．[−2√2,4+2√2] D．[−2√2,4]
【变式5-2】（2024·四川成都·三模）在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E满足2⃗AE=3⃗EB，在平面
ABCD中，动点P满足⃗PE⋅⃗PB=0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）A．√41+4 B．√41−6 C．2√13+4 D．2√13−6
【变式5-3】（2024·河北保定·二模）如图，圆O 和圆O 外切于点P，A，B分别为圆O 和圆O 上的动点，
1 2 1 2
已知圆
O
和圆
O
的半径都为1，且
⃗PA⋅⃗PB=−1
，则
|⃗PA+⃗PB| 2
的最大值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2√2 D．2√3
【题型6 向量在几何中的其他应用】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且
，则 是（ ）
(⃗AB−⃗AC)·(⃗AB+⃗AC)=0 △ABC
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式6-1】（2024·广西南宁·模拟预测） 的外心 满足 ， ，则
△ABC O ⃗OA+⃗OB+√2⃗OC=0⃗ |⃗AB|=√2
△ABC的面积为（ ）
2+√2 1+√2
A． B． C．√2 D．2
2 2
2
【变式6-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在△ABC中，P 是边AB上一定点，满足⃗P B= ⃗AB，
0 0 3
且对于边 上任意一点 ，都有 ，则 是（ ）
AB P ⃗PB⋅⃗PC≥⃗P B⋅⃗P C △ABC
0 0
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定【变式6-3】（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知O是△ABC的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0⃗，则
tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB等于（ ）
A．1:2:3 B．1:2:4
C．2:3:4 D．2:3:6
【题型7 用向量解决物理中的相关问题】
【例7】（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F ,F ,F 作用于一点，且处于平衡状态.若
1 2 3
√6−√2
|F |=1N,|F |= N,F 与F 的夹角为45°，则F 与F 夹角的余弦值为（ ）
1 2 2 1 2 3 1
√6+√2 √6+√2 √6−√2 √6−√2
A．− B． C．− D．
4 4 4 4
【变式7-1】（2024·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段
位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W =⃗F⋅⃗S（其中W是功，⃗F是力，⃗S是位移）一物
体在力 和 的作用下，由点 移动到点 ，在这个过程中这两个力的合力对
⃗F =(2,4) ⃗F =(−5,3) A(1,0) B(2,4)
1 2
物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C．−5 D．−25
【变式7-2】（23-24高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250√3m，河水的速度
为向正东3km/h．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正
西方向并且与Q相距250m的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h，
则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．3√3km/h B．6km/h C．7km/h D．3√6km/h
【变式7-3】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重
力为 ，两人手臂上的拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，下列结论中正确的是
⃗G ⃗F ⃗F |⃗F |=|⃗F | ⃗F ⃗F θ
1 2 1 2 1 2
（ ）|⃗G|
A．θ越小越费力，θ越大越省力 B．始终有|⃗F |=|⃗F |=
1 2 2
2π π
C．当θ= 时，|⃗F |=|⃗G| D．当θ= 时，|⃗F |=|⃗G|
3 1 2 1
1．（2022·全国·高考真题）在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记⃑CA=⃗m，⃑CD=⃗n，则⃑CB=
（ ）
A．3⃗m−2⃗n B．−2⃗m+3⃗n C．3⃗m+2⃗n D．2⃗m+3⃗n
2．（2023·全国·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C
两点，D为BC的中点，若|PO|=√2，则⃗PA⋅⃗PD的最大值为（ ）
1+√2 1+2√2
A． B．
2 2
C．1+√2 D．2+√2
3．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
⃗a，⃗b ⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1) |⃗a|2−|⃗b|2=
A．−2 B．−1 C．0 D．1
4．（2024·全国·高考真题）设向量 ，则（ ）
⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)
A．“x=−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=1+√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=−1+√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
5．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A A ⋯A 的边A A 上，则
1 2 8 1 2
的取值范围是 ．
⃑PA2+⃑PA 2+⋯+⃑PA2
1 2 8
6．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， → → ，若 ⃗ ⃗ ⃗ ，其中 为
ABCD λ,μ
DE=2EC BE=λBA+μBC
实数，则λ+μ= ；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF⋅⃗DG的最小值为 ．
