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培优 02 坐标平面内的图形变换、与动点问题（6 大题型）
题型1 坐标平面内点坐标的平移
平移规律：左减右加（x坐标），上加下减（y坐标）。例如，点 (a,b)向右平移m个单位、向上平移
n个单位后坐标为 (a+m,b+n)。注意反向平移时符号取反。
关键：明确平移方向与距离，直接应用坐标加减法则。
1．（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系 中，将点 先向左平移2个单位长度，
再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点 向左平移 个单位长度，向上平移
个单位长度后对应点 ，则点 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25七年级下·广东潮州·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点 ，则
将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ．4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创
新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”
字样的艺术字，若定位点A的坐标为 ，定位点B的坐标为 ，则打印喷头从点A先向右再向下
移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ．
5．（24-25八年级下·河北保定·期末）线段 两端点的坐标分别为 ， ，若将线段 平移，
使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为 ，则点C的坐标为 ．
6．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图： ，若将线段 平移至 ，则
的值为 ．
7．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点P的坐标为 ．
(1)若点P在过点 且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距
离为7，求m的值．
8．（24-25七年级下·河南安阳·期末）平面直角坐标系中， 为原点，点 ．(1)如图①，三角形 的面积为_____．
(2)如图②，将点B向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到对应点D．
①点D的坐标_____；按照这样的平移方式，直接写出A、C平移后对应点E、F的坐标分别为_____、
_____；
②点 是一动点，若三角形 的面积等于三角形 的面积，直接写出点 坐标．
题型2 坐标平面内的线段的平移问题
平移线段即平移端点：将线段两个端点按相同方向和距离平移，再连接新端点。若求平移后长度，因平
移不改变长度，可直接用原长或距离公式验证。以线段平移为平台，可以涉及图形面积、角度之间关系
的等问题，需要结合相关知识解答。
9．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点
，且 ， ．
(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；
(2)将线段 平移得到线段 ，点A的对应点是点C，求三角形 的面积；
(3)在（2）的条件下，过点D作 轴于点E，请问在射线 上，是否存在点P，使得三角形 的
面积等于三角形 面积的一半？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点 ， ，且实数 、 满足 ．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)如图1， 为线段 上一点，且 ，求点 的坐标；
(3)如图2，将线段 平移至 ，使点 的对应点 落在x轴上，点 的对应点 落在 轴上，连接 、
， 为线段 上一点， 为 轴上一动点，若 ，求 的值．
11．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴，到 轴的距离
为 ，点 的坐标为 ，点 在 轴上点 的右侧，且 ，过点 作平行于 轴的直线 ，点
是直线 上的一个动点．
(1)若点 在第一象限，且到 轴的距离为 ．
①则点 的坐标为______；
②如图2，连接 、 、 ，平移线段 ，使点 到点 的位置、点 到点 的位置，则点 的坐标
为______．
(2)平移图2中的线段 ，点 始终在直线 上，设点 的纵坐标为 ．
①在点 运动的过程中，若线段 与 轴有一个交点，求点 的纵坐标 的取值范围；
②当三角形 的面积等于 时，求点 的坐标．
12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 ，点B坐标为，且 ．
(1) ， ，点B的坐标为 ．
(2)点C在第一象限内， 轴，将线段 进行适当的平移得到线段 ，点A的对应点为点D，点B
的对应点为点C，连接 ．若 的面积为16，求线段 的长．
13．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究：
如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个
单位后得到线段 ，并连接
(1)点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；
(2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ，
使得四边形 的面积等于9？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，
设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，直接写出 的值．
题型3 坐标平面内的三角形的平移问题
整体平移三个顶点：按平移向量移动每个顶点，保持相对位置不变。若求面积，因平移不改变形状，面积与原三角形相同，可用鞋带公式验证。
技巧：先标出平移后顶点，再连线成三角形，避免遗漏点。
14．（24-25七年级下·天津滨海新·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去 ，横坐标
保持不变，所得图形与原图形相比（ ）
A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位
C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位
15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，透明胶片上有一平行四边形，该平行四边形的一顶点 的
坐标为 ，另一顶点 的坐标为 ，移动胶片，使顶点 移动至点 处，原来顶点 移动至点 处，
则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，学校位
置坐标为 ，图书馆位置坐标为 ，解答下列问题：
(1)在图中建立平面直角坐标系；
(2)若体育馆位置坐标为 ，请在坐标系中标出体育馆的位置 ；
(3)顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到三角形 ，求三角形 的面积．
(4)若三角形 内部有一点 ，经过平移后的对应点 的坐标为 ，且 的对应点分别为 ，请说明三角形 是如何由三角形 平移得到（沿网格线平移）．
17．（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系 中，三角形 三个顶点的坐标分
别是 ， ， ，三角形 中任意一点 ，经平移后对应点为 ，
将三角形 作同样的平移得到三角形 ，点 ， ， 的对应点分别为 ， ， ．
(1)点 的坐标为______；
(2) 画出三角形 ；
写出三角形 的面积______．
(3)若点 在 轴上且 的面积为 ，则点 的坐标为______．
18．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 经过平移得到 ．(1)分别写出点 的坐标： ， ．并说明 是由 经过怎样的平移得到的．
(2)若点 是 内部一点，经过相同的平移后对应点 的坐标为 ，求 和 的值．
题型4 坐标平面中的轴对称变化
对称轴决定坐标变换：
关于 x 轴对称： (a,b)→(a,−b)；关于 y 轴对称： (a,b)→(−a,b)；关于直线 y=x 对称：交换坐标
(a,b)→(b,a)。
关键：先确定对称轴，再按规则改变坐标符号或位置。
19．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点是
（ ）
A． B． C． D．
20．（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知 与点 关于x轴对称，则
．
21．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若平面直角坐标系中的两点 关于y轴对称，则
的值是 ．
22．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
点C的坐标未知，图中已经画出y轴．(1)在正方形网格中画出x轴，标出原点O，并直接写出点C的坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出 关于x轴对称的 ．并直接写出 的坐标．
23．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 ，格点三角
形（顶点是网格线的交点的三角形） 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出 关于 轴对称的 ；
(3)把 先向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到 ，写出点 的坐标．
24．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 ， ，
．(1)在平面直角坐标系中画出 ．
(2)点 关于 轴的对称点 的坐标为__________，点 关于 轴的对称点 的坐标为__________；
(3)在 轴上找一点 ，使 最大；
(4)在 轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出周长；
(5)已知 为 轴上一点，若 的面积为4，求点 的坐标．
题型5 点坐标的规律探究
观察序号与坐标关系；若坐标呈周期性变化，可归纳通项公式或分组求解。
25．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，
， ．现把一条长为 个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定
在点 处，并按 的规律紧绕在四边形 的边上，则细线另一端所在位置
的点的坐标是（ ）A． B． C． D．
26．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一组正整数1，2，3，4，5…按下面的方法进行排列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列
1 2 3 4 5 6 第1行
12 11 10 9 8 7 第2行
…
我们规定，正整数2的位置记为 ，正整数8的位置记为 ，问题：则正整数2024的位置可记为
（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，平面直角坐标系 内，动点 按图中箭头所示方向依次运
动，第 次从点 运动到点 ，第二次运动到点 ，第 次运动到点 ， 按这样的运动规律，
动点 第 次运动到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．28．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换
成 ， ， ；第二次将 变换成 ， ， ，第三次将
变换成 ，…，则 的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺
序按图中“ ”方向排列，即 ．根据这个规律，第2025
个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
30．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，小球起始时位于 处，沿所示的方向击球，小球运动
的轨迹如图所示．如果小球起始时位于 处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位
置是 ，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）A． B． C． D．
31．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿 轴正半轴滚
动变换，①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点 对应点 ，得到等腰直角三角形
②，称① ②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点 对应点 ，得到等腰直角三角形③；第三
次滚动变换后点 对应点 ，得到等腰直角三角形④；第四次滚动变换后点 对应点
，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2025个等腰直角三角形的面积是（
）
A． B． C． D．
32．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点 从 出发，向上运动1个单
位长度到达点 ，分裂为两个点，分别沿 ， 向左、右分别运动到点 点 ，此时称动
点 完成第一次跳跃，再分别从C、D点出发，每个点重复上边的运动，到达点 ，此时称动点 完成第二次跳跃，依此规律跳跃下去，动点 完成第2025次跳跃时最左边点的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点 第1次向右跳动1个单
位至点 ，紧接着第2次向上跳动1个单位至点 ，第3次向左跳动2个单位至点 ，第4
次向上跳动1个单位至点 ，第5次又向右跳动3个单位至点 ，第6次向上跳动1个单位至点 ，…照
此规律， 的坐标是 ．
34．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的直角
边 在 轴上，点 在第一象限，且 ，以点 为直角顶点， 为一直角边作等腰直角三角形
，再以点 为直角顶点， 为直角边作等腰直角三角形 依此规律，则点 的坐标是。
35．（24-25八年级上·广东清远·期末）如图，已知正方形 ，顶点 、 、 ，规定
“把正方形 先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，
正方形 的对角线交点M的坐标变为 ．
36．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，平面直角坐标系中， 轴负半轴有一点 ，
点 先向上平移1个单位至 ，接着又向右平移1个单位至点 ，然后再向上平移1个单位至
点 ，向右平移1个单位至点 ，照此规律平移下去，点 平移至点 时，点 的坐标为
．37．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，爱好编程的小明编了一个“步步高升”程序，已知点
A在平面直角坐标系中按 规律跳到．已知 ， ， ， ，
， ，…以此类推，则 的坐标为 ．
38．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）探索规律：点 ， ， ， ，…，按此
规律，求：
(1)点 的坐标；
(2)点 的坐标( 为正整数)；
(3)若点 到 轴的距离为 ，求 的值．
39．（24-25七年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下定义：
点 的“第I类变换”：将点 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度；
点 的“第II类变换”：将点 向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
(1)①已知点 ，对点 进行1次“第 类变换”后得到的点的坐标是_____；
②点 为平面内一点，若对点 进行1次“第II类变换”后得到点 ，则点 的坐标是_____．(2)已知点 ，若对点 连续进行5次“第I类变换”，再连续进行4次“第II类变换”后得到点 ，
求点 的坐标（用含 ， 的式子表示）．
(3)已知点 的坐标 ，对点 进行“第 类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点 ，请问是
否存在一种上述两类变换的组合，使得点 恰好在 轴上？如果存在，请求出此时点 的坐标；如果不存
在，请说明理由．
题型6 平面直角坐标系中的动点问题
分段分析动点轨迹：根据速度或时间t表示坐标（如 (2t,t+1)），结合几何条件（如到某点距离为定
值）列方程求解。注意边界情况。
40．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足
，将线段 平移得线段 ，点 对应点 ，点 对应点 ，点 的对应点 在 轴上，
点 的对应点 在 轴上．
(1)直接写出 、 、 三点的坐标；
(2)如图 ，点 是 轴上的一个动点，当三角形 面积是三角形 的面积的一半时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若动点 从点 出发向左运动，同时动点 从点 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 ：
，运动过程中直线 和 交于点 ，若三角形 的面积等于 ，求出点 的坐标．
41．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，将线段 沿x轴向右平移12个单位长度得到线段 ，点P 为射线 上一动点．
(1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________；
(2)如图①，点M是线段 上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段 上运动时（点P不与点D重
合），连接 之间有怎样的数量关系？ 请说明理由；
(3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接 ，若 ，三角形 的面积等于三角
形 的面积，求点 P 的坐标．
42．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ．且
满足 ，
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1）， 是线段 上一点，
①求x，y之间的关系；
②若点 的坐标是 ，连接 ，且 ，求点 的坐标；
(3)如图（2），过点 作直线 ，已知 是 上的一点，且 ，直接写出 的取值范
围．
43．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴交于 ，点 是直线 上且不与A、B两点重合的动点．
(1)求三角形 的面积；
(2)如图1，点D、点E分别是线段 、x轴负半轴上的动点，过E作 ，连接 ．若 ，
请探究 与 之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由）
(3)若三角形 的面积不小于三角形 的面积的2倍，求m的取值范围．
44．（24-25七年级下·广东云浮·期中）在平面直角坐标系中（单位长度为 ），已知点
，，且 ．
(1) ______， ________；
(2)如图，若点E是第一象限内一点，且 轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点
E处出发，以每秒 的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒 的速度沿x轴向右
移动．
①经过几秒 ？
②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是 ，求此时点P的坐标？
45．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长
度：在平面直角坐标系中有不重合的两点 和点 ，当 时， 轴，且线段 的长为 ；当 时，则 轴，且线段 的长为 ．
【实践操作】
（1）若点 ，且 轴，则 的长为______；若点 ， 轴，当 时，则
点Q的坐标为______；
【初步运用】
（2）点A的坐标为 ，将线段 向上平移6个单位长度，得到线段 ，连接 ．
①如图，点M，N分别是线段 上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度
的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的
时间为t秒，当 轴时，求t的值；
【问题解决】
②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在 的左侧，连接 交 于点D，当
时，求 的值．（说明：三角形 记作 的面积记作
）
46．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点 ．将点O先向上
平移4个单位长度，得到对应点B，再将点B向右平移4个单位长度，得到对应点C，连接 、 ．(1)直接写出点B、C的坐标；
(2)连接 ，如图①，求三角形 的面积；
(3)连接 ，如图②，点 在y轴上，若三角形 与三角形 的面积相等，求m的值；
(4)如图③，过点C作 轴于点E，P是射线 上的一个动点（点P不与点C、E重合），连接 、
，直接写出 、 、 之间的数量关系．
47．（24-25七年级下·天津河东·期末）在平面直角坐标系中，已知 ，点 ，且 满
足 ；
(1)求 的值；
(2)如图1求三角形 的面积；
(3)若点P从点A出发在射线 上运动（点P不与点A点B重合），设运动时间为t秒
①如图2连接 ，当动点P的速度为每秒3个单位时，请用含t的式子表示三角形 的面积；
②如图3设 与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下
运动，连接 ，问：是否存在某一时刻t，使三角形 的面积是三角形 的面积的2倍，若存
在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．48．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点 ，且满足 ．将线段
先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段 ，连接 ．
(1)求 、 的值；
(2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度沿 向上运动．设运动时间为 秒，当 为多少时，四边形
的面积等于 ？
(3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从 点出发，以每秒 个单位的速度沿 轴向右运动，
直线 交 轴于点 ．在运动过程中，三角形 与三角形 的面积之差是否会发生变化？请说明
理由．
培优综合练
49．（24-25七年级下·山东临沂·期末）七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用 表示
第 行第 列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为 ，若调整后的座位为 ，
则称该生作了平移 ，并称 为该生的位置数．若某生的位置数为8，则 的最小
值为（ ）
A．10 B．14 C．15 D．25
50．（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中， ，直线 轴且过
点E，长为5的线段 在直线l上移动（点D在点C左侧），则 的最小值为 ．51．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之
和大于0的点称为“和点”，将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3 所得
的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单
位长度．
例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点 ．其平移过程如下：点 横、纵坐标
之和除以3所得的余数为0，向右平移1个单位长度得到点 ，点 横、纵坐标之和除以3所得
的余数为1，向上平移1个单位长度得到点 ，点 横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，向
左平移1个单位长度得到点 ．若“和点”Q按上述规则连续平移2026次后， 到达点
，则Q的坐标为 ．
52．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形 在平面直角坐标系中，连接线段 ， ，且
交 于点 ．
(1)如图1， 边与 轴平行， 是 轴的正半轴上一点， 是 轴的正半轴上一点， 的平分线和
的平分线交于点 ，若 ，求 的度数；(2)如图2，若长方形的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．
①请直接写出点 的坐标；
②若长方形 以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为 秒．是否存在某一时刻 ，
使得三角形 的面积等于长方形 的面积的一半？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
53．（24-25七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，给定 （n为正整数）个不同的点
给出如下定义：记
点 称为这 个点的n阶中点．例如，当 时，点 为 的1阶中点， 已
知点 ， ， ， ．
(1)点A，B，C，D的2阶中点P的坐标是 ；
(2)点A，B，C，D中任意两点的1阶中点坐标共有 种可能的情况；
(3)在四边形 的四条边上分别取点E， ， ， ， 点Q为E，F，G，H的2阶
中点， 点R为A，B，C，D，E，F，G，H的3阶中点，
① 若点Q与点 R重合时，则点E的坐标为 ；b，d满足的关系式为 ；② 若点E，F，H分别在线段 ， ， 上运动，请直接写出所有点 R组成的图形面积．
54．（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系 中，对于点 和长度为 的线段 给出如
下定义：若线段 平行于 轴（或与 轴重合），则将线段 向下平移 个单位长度，得到线段 ；
若线段 平行于 轴（或与 轴重合），则将线段 向右平移 个单位长度，得到线段 ．若点
在以 为顶点的正方形的边上，则称点 是线段 的“方田点”．
已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)在 这四个点中，___________是线段 的“方田点”；
(2)点 ，若线段 上存在线段 的“方田点”，则 的取值范围是___________；
(3)点 ，点 是线段 的“方田点”，将点 向下平移 个单位长度，得到点 ．若线
段 的“方田点”都是线段 的“方田点”，直接写出 的取值范围．
55．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，连接 ．动点 在以每秒1个单位长度的速度从点 出发，沿折线
运动到点 停止，连接 ．设点 运动时间为 秒．(1) ， ．
(2)①当点 在线段 上时， ．（用含 的式子表示）
②当点 在线段 上时， ．（用含 的式子表示）
③当点 在线段 上时， ．（用含 的式子表示）
(3)当 的面积等于3时，求 的值．
(4)设点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ．
①当 时， ．（填“ ”，“ ”或“ ”）
②当 时，直接写出 的取值范围．
56．（24-25七年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系 中，对于点 ， ，令
， ，将 称为点 与点 的特征值．对于图形 和图形 ，若点 为图形 上
的任意一点，点 为图形 上的任意一点，且点 与点 的特征值存在最大值，则将该最大值称为图形
与图形 的特征值．
(1)已知点 ．①点 与点 的特征值为_______；
②已知点 在 轴上，若点 与点 的特征值为 ，则点 的坐标为_______；
(2)已知点 ，将线段 以每秒 个单位的速度向左平移，经过 秒后得到线段 ．
①已知点 ， ，求点 与线段 的特征值 的取值范围；
②已知面积为 的正方形的对角线交点为 ，且该正方形至少有一条边与坐标轴平行，记该正方形
与线段 的特征值为 ，则 的最小值为_________；
57．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，点B的坐标为 ，点A在y轴上，将三角形 沿
x轴正方向平移，平移后的图形为三角形 ，且点C的坐标是 ，且m，n满足 ．
点P从点A出发，速度为每秒2个单位，运动时间为t秒 ．
(1)如图1，点C的坐标为 ，点E的坐标为 ．
(2)如图2，在四边形 中，点P沿 移动，连接 ，当三角形 的面积等于四边形
面积的 时，求点P的坐标；
(3)若点P沿射线 方向运动，点F从点O出发沿y轴正方向运动，点F不与点A重合，速度为每秒 个
单位．当 时，点F立即以原速返回至点O，此时点P、点F均停止运动．连接 ，分别在
和 内部作射线 ，使得 ， 平分 ，直线 交于点 ．直接写出 、 、 的关系，并标注时间 的范围．
