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4.6 正、余弦定理及其应用举例
思维导图
知识点总结
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B； ＝＝＝2R
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a ＝ 2Rsin A ， b ＝ 2 R sin __B ， c ＝
2 R sin __C；
cos A＝；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
常见
cos B＝
变形 (3)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C；
cos C＝
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A
>sin B cos A<cos B.
⇔ ⇔
⇔
典型例题分析
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等
于( )
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°
答案 D
解析 根据正弦定理＝，得sin B＝＝＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B.
C. D.3
答案 D
解析 法一 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得BC2＋2BC－15＝0，
解得BC＝3或BC＝－5(舍去).
法二 由正弦定理＝，
得sin C＝＝，
从而cos C＝(C是锐角)，
所以sin A ＝sin [π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×－×＝.
又＝，所以BC＝＝3.
(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足2cos Bcos
C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则cos A的最小值是________.
答案
解析 2cos Bcos C(tan B＋tan C)＝2cos Bcos C
＝2sin Bcos C＋2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＝2sin A，
又cos Btan B＋cos Ctan C＝sin B＋sin C，
所以sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝2a，
由余弦定理，得
cos A＝＝＝－≥－＝，
当且仅当b＝c＝a时取等号，
故cos A的最小值为.
感悟提升 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其
他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角
函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；
二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
考向二 判断三角形的形状
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 因为sin2 ＝，
所以＝，即cos B＝.
法一 由余弦定理得＝，
即a2＋c2－b2＝2a2，
所以a2＋b2＝c2.
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
法二 由正弦定理得cos B＝，
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，
又sin B≠0，所以cos C＝0，
又角C为三角形的内角，所以C＝，
所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.
(2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.
答案 等边三角形
解析 因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形.
感悟提升 判断三角形形状的两种思路
(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考向三 与三角形面积(周长)有关的计算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为
边长的三个正三角形的面积依次为S ，S ，S .已知S －S ＋S ＝，sin B＝.
1 2 3 1 2 3
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝，求b.
解 (1)由S －S ＋S ＝，
1 2 3
得(a2－b2＋c2)＝，
即a2－b2＋c2＝2，
又a2－b2＋c2＝2accos B，
所以accos B＝1.由sin B＝，
得cos B＝或cos B＝－(舍去)，
所以ac＝＝，
则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝.
(2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知
＝＝＝，
即b2＝×＝，得b＝.
感悟提升 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
考向四 多边形中的解三角形问题
例4 (2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
解 (1)在△ABC中，cos B＝＝＝－，
因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.
S ＝AB·BCsin 120°＝×3×1×＝.
△ABC
(2)由(1)知B＝120°，设∠ACB＝θ，
则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.
在△ACD中，由＝，
得AC＝CD.
在△ABC中，由＝，
得AC＝BC.
联立上式，并由CD＝BC得sin(30°＋θ)sin(60°－θ)＝，
所以sin(60°＋2θ)＝，
由题可知0°＜θ＜60°，
所以60°＜60°＋2θ＜180°，
所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，
即∠ACB的值为45°.
感悟提升 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
考向五 三角形中的最值、范围问题
例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[思路分析] (1)化简条件式，利用C＝消去角A得到角B的三角方程，即可求解.
(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把转化为B的三角函数式，利用基本不等
式求其最小值.
[规范解答] 解 (1)因为＝，
所以＝，
→
所以＝，(2分)
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
，(4分)
→由cos(A＋B)＝－cos C，角C＝，进而求B
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.(5分)
→
(2)
→
所以sin＝sin B，
且0<A＋B<，
所以0<B<，0<－(A＋B)<①，
→
所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，(8分)
由正弦定理得＝
→
＝＝②
→
＝＝
＝＝4cos2B＋－5③(10分)
→
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】≥2－5＝4－5③，
当且仅当cos2B＝时取等号，
→
所以的最小值为4－5.(12分)
[满分规则]
❶得步骤分：
①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.
❷得关键分：
②处消去角A是本题得解的关键所在.
❸得计算分：
③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.
感悟提升 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差
异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
考向六 三角函数模型
例6 (多选)(2023·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已
知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点 P从水中浮现时(图中点P )开始计时，则(
0
)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
答案 ABC
解析 设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意得
解得
故h＝4sin＋2，故D错误；
对于A, 令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正确；
对于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正确；
对于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正确.
感悟提升 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合
思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽
象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
基础题型训练
一、单选题
1．在 中，已知 ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接由正弦定理即可得到答案
【详解】由正弦定理 ，得 ．
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为 ,那么此拦水坝斜坡的坡度
和坡角分别为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出 ，则 ，再解直角三角形得解.
【详解】如图所示,横断面是等腰梯形 , , ,高 ，
则 ,∴ ,∴ .
故选：B
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理得出 ，再求 的面积.
【详解】由 ，得 ．因为 ， ， ，所以
，故 的面积 ．
故选：D
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角
是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用 表达 ，在△ 中用余弦定理即可求得结果.
【详解】设 ，在△ 中，因为 ，故可得 ；
在△ 中，因为 ，故可得 ；
在△ 中，由余弦定理 ，
即 ，整理得： ，解得 .
即电视塔的高度为 .
故选： .
5．在 中， ， ， ，则满足条件的 有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【答案】C
【分析】根据题意判断 的大小关系，即可得出答案.
【详解】解：因为 ， ， ，，
所以 ，
所以三角形有两个解，即满足条件的 有2个.
故选：C.
6．在锐角三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 ， 是方程 的两
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】个根，且 ，则c＝（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据韦达定理求出 ， ，再根据余弦定理求 .
【详解】 ， 是方程 的两个根，
， ，
因为 ，
, 是锐角三角形，
根据余弦定理可知
即 ，
故选：B
【点睛】本题考查解三角形和二次方程韦达定理的综合应用，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础
题型.
二、多选题
7．某人在 处向正东方向走 后到达 处，他沿南偏西 方向走 到达 处，这时他离出发点
，那么 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据余弦定理，即可求解.
【详解】如图，由条件可知， ， ， ， ，根据余弦定理可知
，即 ，
解得： 或
故选：AB
8． 的内角 的对边分别为 ，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等腰三角形
【答案】BC
【分析】根据正弦定理，两角和的正弦公式，诱导公式等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：因为 中 ，
所以 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，故B正确；
对于C：因为 ，由正弦定理边化角得 ，
所以 ，
因为 ，所以 或 （舍），所以 是等腰三角形，故C正确；
对于D：因为 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 或 ，即 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故D错误.
故选：BC
三、填空题
9．在 中， ， ， ，则 __________．
【答案】 /
【分析】利用正弦定理解三角形即可.
【详解】由正弦定理 得 ，所以 ，又 ，所以 .
故答案为： .
10． 的内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知 ，则 的最大值
为__．
【答案】
【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式，结合
，可得 ，则由正弦定理可求 ，利用正弦函数的性质即可求其最大值．
【详解】 ，
由正弦定理可得： ，
， ，即 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
当 为直角时， 的最大值为1．
故答案为：1．
11．甲船在岛 的正南 处， ，甲船以每小时 的速度向正北方向航行，同时乙船自 出发
以每小时 的速度向北偏东 的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____ .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解
出最值.
【详解】假设经过 小时两船相距最近，甲、乙分别行至 ， ，
如图所示，可知 ， ， ，
．
当 小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为 ．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知
数表示，最后利用函数思想求最值.
12．在 中，AB=1，BC=2，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD
的最大值为______．
【答案】 /
【分析】设角 ， ，在三角形 中由正弦定理，余弦定理分别表示出 的长，角
， 之间的关系，在 中由余弦定理表示出 的长，即可求得答案．
【详解】设角 ， ，
在三角形 中， ，
，
由正弦定理得， ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在三角形 中， ， ， ，
由余弦定理得，
，
当 即 时， 取到最大值 ，
的最大值为： ，
故答案为： ．
四、解答题
13．在 中， ， ， 为 边上一点，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）在△ 中，由余弦定理 ，即可求 .
（2）在 中，由正弦定理 ，即可求 .
【详解】（1）在△ 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，
∴ ．
（2）在 中， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正弦定理得： ，即 ，
∴ ．
14．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) ．
【分析】（1）利用诱导公式，正弦的二倍角公式化简得到 ，从而求出 ；
（2）借助正弦定理化边为角的正弦，得到 ，结合 ，求出答案.
（1）
由诱导公式可知
所以 ，
故
化简得： ，
因为 ，所以
故 ， ．
（2）
由正弦定理 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
故 ．
因为 ，所以 ，
∴ ， ，
∴ ．
15． 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ．
(1) ， 时，求CD的长度；
(2)若CD为角C的平分线，且 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，可得 ，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；
（2）根据题意，可得 ，然后结合三角形的面积公式即可得到 ，从而得到
的面积.
【详解】（1）当 时，
则
所以 ，
∴ ．
（2）因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，∴ ，又 ，
∴ ，则 ，
∴ ．
16．已知 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式得到 ，再由正弦定理将边化角，最后结合诱导公式
及两角和的正弦公式计算可得；
（2）由（1）求出 ，再由余弦定理计算可得.
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
∵ ，则 ，所以 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解：由（1）可知 ，
而 ，∴ ．
∵ ， ，
∴由余弦定理可得 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
∴ ．
提升题型训练
一、单选题
1．在△ABC中， ，则 的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理直接求解出结果.
【详解】由正弦定理得 ,
故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量数量积运算法则及正弦定理得 ，求出 ， ，再利用余弦定理求出
.
【详解】由题意得： ，
因为 ，所以 ，
由正弦定理得： ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，即 ，
则 ，
由余弦定理及 得： ，
即 ，解得： .
故选：B
3．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接利用余弦定理计算得到答案.
【详解】 ， ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C.
【点睛】本题考查了余弦定理，属于简单题.
4．在 中，角 的对边为 ，若 ，则当 取最大值时， 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由余弦定理可得： ，再利用基本不等式的性质可得 的最大值，再利用三角形面
积计算公式即可得出．
【详解】解：在 中，由余弦定理可得： ，当且
仅当 时取等号．
，
当 取最大值 时， 的面积 ．
故选：B．
5．如图，四边形 中， ， ，且 、 的周长相等，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求出 ，设 ，可得出 ，根据已知条件求出 的值，可求出 的正
弦值和余弦值，进一步可求得 的正弦值和余弦值，然后利用二倍角的正弦公式可求得结果.
【详解】 ， ，所以， 为等腰直角三角形，
所以， ， ，
设 ，则 ，
因为 、 的周长相等，则 ，解得 ，则 ，
于是 ， ，
故 ，
.
因此， ．
故选：C.
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 距地面的距离，小明同学在
场馆内的A点测得 的仰角为 ， ， ， （单位： ），（点 在
同一水平地面上），则大跳台最高高度 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】在 中由正弦定理算出 ，在 中，得到 .
【详解】在 中, ， ，所以 ，又 ，由正弦定理可得,
,
,
在 中， ,
所以， （m）
故选：C.
二、多选题
7． 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ， ， ，则 可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】AB
【分析】根据正弦定理可得 ，再根据正弦的范围选择即可
【详解】在 中， ， ，由正弦定理可得 ，即 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，所以 可以为7，8
故选：AB
8．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若 ，且 的面积为 ，则 的最小边长为2
C．若 时， 是唯一的，则
D．若 时， 周长的范围为
【答案】ABD
【分析】根据题干已知等式，利用正弦定理、三角和差公式可解得 ，再根据各个选项的条件逐一求
解即可.
【详解】对于选项A：已知等式利用正弦定理化简得：
，整理得： ，即
。
，则 ，故A选项正确；
对于选项B：因为 ，且 的面积为 ，则由正弦定理得 ，而又
，解得 ，所以 ，而 ，由余弦定理得：
,则 ，所以三角形 中边长 为最小边， ，故
B选项正确；
对于选项C： 当 时，而又 ， 由正弦定理 ，即
， 唯一，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，故C选项错误;
对于选项D：
，
，
则有 即 ，而 ，
所以 周长 的范围为 ，故D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题
9．在 中，已知 ， ， ，则 边上的中线长为________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理求得 的值,再设中线,利用余弦定理求出中线的值.
【详解】由条件知： ,
设中线长为 ,由余弦定理知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .所以 边上的中线长为 .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题.
10．在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指
的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块．2023年3月20日，一个由数学家
和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多
个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形（如右图所示），只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就
是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为_____________．
【答案】
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后由十三边形的面积为 即可得到结果．
【详解】
由图可知： ，
，∴ ，∴ ， ，
∴十三边形的面积为 ．
故答案为:
11．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 ， 且 为 的外
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】心， 为 的重心，则 的最小值为________．
【答案】
【分析】根据 ， ，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到
，进而求得 和外接圆半径，然后建立坐标系，写出外接圆方程，分别表示A，
B，C的坐标，进而得到O，G的坐标求解.
【详解】因为 ， ，
由正弦定理得：
，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以
所以 外接圆的半径为：
建立如图所示直角坐标系：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，设 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 外接圆的方程为 ，
所以点C的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
设 ，
因为G为重心，则 ，
，
所以 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是将 中的5换为边c，利用正弦定理求得角C，进而求
得外接圆方程，再利用坐标法而得解.
12．在锐角三角形 中，内角 所对的边 满足 ，若 存在最大值，
则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先利用余弦定理结合 可得 ，再利用正弦定理化边为角，再结合三角形内
角和定理，求出 的关系，从而可将 都用 表示，再根据三角形为锐角三角形求出 的范围，再根
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】据二倍角的余弦公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由余弦定理可得 ，则 ，
由正弦定理可得
，
因为 为锐角三角形，则 ，所以 ，
又因为函数 在 内单调递增，所以 ，可得 ，
由于 为锐角三角形，则 ，即 ，解得 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 存在最大值，则 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用余弦定理和正弦定理结合已知条件求得 .
四、解答题
13．在 中，已知哪些条件可以应用余弦定理解三角形？
【答案】两边及一角、三边
【分析】根据余弦定理的结构特点，即可作出判断.
【详解】当已知两边及一角或已知三边时，可利用余弦定理解三角形.
14．在 中，内角 所对的边分别为 ， .
（1）求 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由正弦定理即可得到答案；
（2）由三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）由正弦定理， .
（2）由题意，
.
15．在△ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， 是方程 的两个实
根.
(1)求 和 ；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）利用韦达定理及其同角三角函数平方关系即可求解；
（2）先利用余弦的二倍角公式恒等变形，再利用正弦定理角化边，最后结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由题意可知， ，即 ，
由韦达定理得 ， ，
将 代入 解得 ，
又∵ 是△ 的内角，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴ ，解得 ，
（2）由 得 ，
根据正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，∴ ，
又∵ ，∴△ 是等边三角形，
因此 .
16．已知某渔船在渔港 的南偏东 方向，距离渔港约 海里的 处出现险情，此时在渔港的正上方恰
好有一架海事巡逻飞机 接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在 处的渔政船并要求其
迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船 的俯角为 ，测得渔政船 的俯角为 ，且
渔政船位于渔船的北偏东 方向上．
(1)计算渔政船 与渔港 的距离；
(2)若渔政船以每小时 海里的速度直线行驶，能否在 小时内赶到出事地点？
(参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】(1) 海里
(2)能在 小时内赶到出事地点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）在 中，利用正切值可求得 ；再在 中，利用正切值可求得 ；
（2）在 中，利用余弦定理可构造方程求得 ，由 可得结论.
（1）
， ， ，
；
， ， ，
即渔政船 与渔港 的距离为 海里.
（2）
由题意知： ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 ，解得： （舍）或 ；
即 ，
， 能在 小时内赶到出事地点.
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