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培优 02 勾股定理逆定理及应用（4 大题型）
题型1 勾股数
勾股数问题解题策略
策略：
验证等式 ，且 a,b,c为正整数；
利用公式 生成。
关键：检查是否互素或含公约数，排除非本原解（如6,8,10需约分）．
1．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）下列各组数中是勾股数的一组是（ ）
A．2，5，6 B．3，4，5 C．0.6，0.8，1 D． ， ，
【答案】B
【分析】本题考查勾股数，解题的关键是掌握勾股数的定义，即满足 的三个正整数a、b、c称
为勾股数．
根据勾股数的定义逐项判断即可．【详解】解： ，因此2，5，6不是一组勾股数，A选项不符合题意；
，因此3、4、5是一组勾股数，B选项符合题意；
0.6和0.8不都是正整数，因此0.6、0.8、1不是一组勾股数，C选项不符合题意；
，因此 、 、 不是一组勾股数，D选项不符合题意；
故选B．
2．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本题考查勾股数的定义，即三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方．需逐一验证
选项中的数是否与6、10构成勾股数．
【详解】勾股数要求三个正整数满足 （其中 为最大数）．
A：三个数为6、6、10，最大数为10． ，不符合条件．
B：三个数为6、8、10，最大数为10． ，符合条件．
C：三个数为6、10、10，最大数为10． ，不符合条件．
D：三个数为6、10、12，最大数为12． ，不符合条件．
综上，只有选项B满足勾股数的条件，
故选B．
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．3，4，6 C． D．9，12，15
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股数，解题关键是熟记勾股数的概念．
根据勾股数的定义（满足 的正整数组合），逐一验证选项即可．
【详解】解：选项A： 即9，16，25．验证： ，而 ，不满足勾股定理，排除．
选项B：3，4，6．
验证： ，而 ，不满足勾股定理，排除．
选项C： ．
勾股数需为正整数，此组含小数，直接排除．
选项D：9，12，15．
验证： ，而 ，满足勾股定理，且均为正整数．
故选：D．
4．（24-25七年级下·河北张家口·期末）下列各组数中，是一组勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B． C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的
定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、 ，则此项不是勾股数，不符合题意；
B、 都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意；
C、 都不是正整数，则此项不是勾股数，不符合题意；
D、 ，则此项是勾股数，符合题意；
故选：D．
5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并
将它们记录在如表格中．则当 时， 的值为（ ）
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．722 B．800 C．882 D．968
【答案】C【分析】此题考查了勾股数，通过观察表格中a、b、c的规律，发现c = b + 2，且满足勾股定理
．将 代入方程求解b和c，再求和即可．
【详解】根据表格规律得， ，且 ．
将 代入得，
解得
∴ ．
故选C．
6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经
隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为
“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与
股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若
此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），根据所给的二
组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则
另一条直角边 ，弦 ．
则弦为 ，
故选：B．
题型2 判断三边能否构成直角三角形勾股定理逆定理的解题策略
排序三边，仅需验证 最大边平方 是否等于两小边平方和。
特例：若含无理数，直接计算 与 是否严格相等。．
7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，7，9 C．4，6，8 D．3，5，7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
根据勾股定理逆定理，若三条线段满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则可组成直角三角形．
【详解】解：A. ， ，和为 ，等于 ，该三边能组成直角三角形，符合
题意；
B. ，不等于 ，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
C. ，不等于 ，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
D. ，不等于 ，该三边不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
8．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知 的三条边长分别为 ， ， ，且满足 ，
则 一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、乘法公式，首先根据乘法公式把 展开，可得：
，根据勾股定理的逆定理可以判断 为直角三角形．
【详解】解： ，
，
整理可得： ，是直角三角形．
故选：Ｃ．
9．（2025八年级上·全国·专题练习）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足
，则三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形
【答案】A
【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握非负性．
由非负数的和为0可得各边长，再验证是否满足勾股定理的逆定理即可判断形状．
【详解】解：由方程 可知，每个非负数项均为0，得：
， ， ，
解得： ， ， ，
三边分别为9、12、15，
验证勾股定理的逆定理：
满足 ，故该三角形为直角三角形，
故选：A．
10．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点D， ，
， ，则点D到 的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出 ，则 ，
因为 平分 ，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点 到 的距离 ，
【详解】解：∵ ，
，∴ 是直角三角形，且 ，
过点D作 ，垂足为E，
∵ 平分 ，
∴点 到 的距离 ，
故答案为：3．
11．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方
法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 ， ， 都是正整数，则 ， ， 为一组
“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
11，60， 15，112， 19，180，
3，4，5 7，24，25
61 113 181
12，35，
4，3，5 8，15，17 16，63，65 20，21，29
37
5，12， 13，84， 17，144，
9，12，15 21，28，35
13 85 145
10，___， 14，48， 22，120，
6，8，10 18，80，82
26 50 122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示 ， ， ，使该组代数式能表示上
表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花
要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 ．如
果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
【答案】(1)
(2) ， ， ，其中 、 、 都是正整数， ，证明见解析(3)280
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令 ， ， ，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出 ， ， ，再由整式混合运算求证即可得证明；
（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，
根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．
【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令 ， ， ，
则由勾股数定义可知 ，
即 ，
，
解得 或 （舍去）；
故答案为：24．
（2）解：由题意， ， ， ，其中 、 、 都是正整数， ，证明
过程如下：
， ， ，
，
，
，
，
；
（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况
即可，如图所示：
设 ，即直角三角形中最短边为 ，仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 ，三角形最短
边种 株花，
，
由题意可知， 最小为 ，
那么 ，
那么这块绿地最少需要种植 株花．
【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运
算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
12．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在等腰 中， ，点 是 上一点，
．
(1)试说明： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果
三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
（1）根据 得出 是直角三角形，且 ，即可得证；
（2）过点 作 于点 ，设 ，根据等腰三角形的性质可得 ，在 ，
中，得出 ，解方程，得出 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，∴ 是直角三角形，且
∴ ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴
在 中，
在 中，
∴
∴
解得：
∴
∴
∴
13．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图， 中， 是 上的一点， ， ，
， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；(2)求线段 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理的逆定理．
（1）根据 ， ， ，可得 ，根据勾股定理的逆定理可进行判定
是直角三角形，则 ；
（2）在 中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解： ．理由如下∶
因为 ，
所以 是直角三角形，且 ，
所以 ．
（2）在 中， ，
所以 ．
14．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在 中， ， ， 的垂直平分线
交 于点 ，交 于点E，交 的延长线于点F，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关
键．
（1）根据垂直平分线的性质可得 ，在 中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）根据垂直平分线的性质得出 ，进而可得 ，在 中，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明： 垂直平分 ， ，
．
在 中， ， ， ，
，
，即 ．
（2）解： 是线段 的垂直平分线，
，
．
，
，
，
．
即 的长为 ．
15．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，连接 ．
(1)求 的长；
(2)求证： °．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理和逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
（1）在 中，根据勾股定理直接计算即可；
（2）在 中，用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形即可．【详解】（1）∵在 中， ， ，
∴在 中，根据勾股定理得
（2）在 中， ， ，
∵ ， ，
∴
根据勾股定理的逆定理得 是直角三角形
即 °．
16．（24-25八年级下·浙江台州·期末）第十四届国际数学教育大会（ ）于 年在上海举办，
其大会标识（如图 ）的中心图案是赵爽弦图（如图 ），该图由四个全等的直角三角形（ ， ，
， ）和中间一个小正方形 组成．连接 ， ，若 ， ．
(1)求线段 的长度；
(2)判断 是否为直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．
由赵爽弦图中四个直角三角形全等，可知 ， ，从而可求 ，根据勾
股定理可求 ；
利用勾股定理可以求出 ， ，由 可知 ，因为， 不是直角三角形．
【详解】（1）解： 四个直角三角形全等，
， ，
，
在 中， ；
（2）解： 不是直角三角形，
理由如下：
如下图所示，连接 、 ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
由 可知 ，
，
，
不是直角三角形．
17．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在 中， 边的垂直平分线 分别交 、 边于
点 和点 ，且 ．(1)连接 ，求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据垂直平分线的性质得出 ，结合 得出 即可证明；
（2）设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明： 边的垂直平分线为 ，
∴ ，
，
在 中， ，
；
（2）解：设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
即 ．
题型3 利用勾股定理逆定理求解解题策略
构造以已知量为边的直角三角形模型，逆用 反推直角位置。
示例：求角度时，若三边满足勾股等式，则最大边对角为直角．
18．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形 中， ， ， ， ，
．则 （ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得 的长；再根据勾股定理逆定理判定 即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
19．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在 中， ， ， ，借助尺规在
上确定一点P，则 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出 是直
角三角形，再作 于H，由角平分线的性质可得出 ，设 ，再由
即可得出结论．
【详解】解： ， ， ， ，
是直角三角形，
作 于H，
由题意， 平分 ，
， ，
，设 ，
，
，
，
，
，
故选：C．20．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形 中，
为四边形 的对角广线，且 ，则四边形 的面积
为 ．
【答案】
【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在 中和
中，由勾股定理的逆定理证得 和 均为直角三角形，数形结合得到四边形 的面
积为 ，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定 和
均为直角三角形是解决问题的关键．
【详解】解：在 中， ，
，则 ，
由勾股定理的逆定理可知， 为直角三角形，且 ；
在 中， ，
，则 ，
由勾股定理的逆定理可知， 为直角三角形，且 ；
四边形 的面积为 ，
故答案为： ．
21．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在 中， ， ， 边上的中
线 ，延长 至点 ，使 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的应用，三角形中线的定义等知识，掌
握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义得 ，证明 ，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先推出 ，确定 是直角三角形，且 ，再根据勾股定理得
即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
22．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在 中， ，点D在边 上， ，．
(1)猜想 的度数，并说明理由；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；理由见解析
(2)68
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键．
（1）利用股定理逆定理得到 ，从而求出结果；
（2）利用勾股定理求出 的长，利用 求出 的长，最后求三角形面积即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ， ，
，
，
；
（2）在 中，
由勾股定理得 ，
，
．
23．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在 中， 是 的中点， ，交 于点 ，
且 ， ， ．求证： ．【答案】见详解
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行
推理论证是解决问题．
连接 ，由线段垂直平分线的性质得出 ，再由已知条件得出 ，由勾股定理的逆
定理即可得出 是直角三角形，故 ，即 ．
【详解】证明：连接 ，
是 的中点， ，
垂直平分 ，
，
∵ ， ， ．
，
，
是直角三角形，
∴ ．
即 ．
24．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)连接 ，求 的长；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明 是直角三角形是解题的关键．（1）利用勾股定理求解；
（2）利用勾股定理的逆定理得出 是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接 ．
， ， ，
．
（2）解：由（1）可知 ．
， ，
， ．
．
是直角三角形， ．
．
25．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，四边形 中， ，
，求四边形 的面积．
【答案】36
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出 的长，再利用勾股定理的逆定理
证明 ，最后根据 进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，∵ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
26．（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基
地种植蔬菜；如图，点 是自来水管的位置，点A和点 分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，
A、 两处相距6米， 两处相距8米， 两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班
和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段 铺设2段水管；
八（2）班方案：过点 作 于点 ，沿线段 铺设3段水管；
(1)求证： ；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，即可证明结论；
（2）利用等面积法求出 ，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论．
【详解】（1）证明：由题意得， ，∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ；
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，
理由如下：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
27．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在 中， 于点D．
(1)已知 ， ， ，求证： ；
(2)已知 ．
①若 ， ，求 的长；
②若设 ， ， ，则m，n，k的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解
题的关键．
（1）由勾股定理可得 、 ，再根据勾股定理逆定理即可证明结论；（2）设 ，则 ，由勾股定理可得 求解即可：②由勾股定理
可得 ，进而得到 求解即可．
【详解】（1）证明∶∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： （已舍弃负值），
∴ ．
②根据勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ．
故答案为： ．
28．（23-24八年级下·福建厦门·期中）将一些“勾股数”整理并填入下表，观察表格并回答问题：
2
3 8 15 35 48 …
4
1
4 6 8 12 14 …
0
2
5 10 17 37 50 …
6
(1)当 时，直接写出 的值；
(2)是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的
另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
【答案】(1)
(2)不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由见解析
(3)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两
条边的长都是正整数．理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股数问题，勾股定理的逆定理，正确理解题意是解题的关键。
（1）观察表格可知， （ ，且 为整数），据此根据b的值求出m的值，
进而求出a的值即可；
（2）分别令 的值等于71，看m是否有大于等于2的正整数解即可；
（3）根据 可知若一个三角形三边长分别为 ， ， （ ，且
为整数），则该三角形为直角三角形，据此可得结论．
【详解】（1）解：观察表格可知， （ ，且 为整数），
∴当 时，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71，理由如下：
当 时，此时 ，不符合题意；
当 时，此时 ，不符合题意；
当 时，此时 ，不符合题意；
综上所述，不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71；
（3）解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形
的另两条边的长都是正整数．理由如下：
对于一组数： ， ， （ ，且 为整数）．
∵
∴若一个三角形三边长分别为 ， ， （ ，且 为整数），则该三角形为直角三角形．∵当 ，且 为整数时， 表示任意一个大于2的偶数， ， 均为正整数，
∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两
条边的长都是正整数．
题型4 网格中构造直角三角形
网格图中构造直角三角形的解题策略
连格点求边长，验证 ；
或 作垂线，可利用面积法解题；
技巧：优先选水平/竖直边，斜边用勾股定理计算．
29．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在 网格中，点 ， ， 都是网格线的交点，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角
形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ， ， ，再证明 ， ，
从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 ，由勾股定理得： ， ， ，
， ，
， ，
故选B．
30．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则
（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到
是直角三角形成为解题的关键．
先应用勾股定理逆定理得到 是直角三角形，然后分别求得 、 ，最后比较即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
31．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格
点．(1)求 的面积；
(2)猜想 的形状，并说明理由．
【答案】(1)5
(2) 是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积，掌握勾股定理及勾股定理
的逆定理是解题的关键．
（1） 的面积由正方形面积减去三个直角三角形面积，求出即可；
（2）利用勾股定理求出 的三边长，再利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
【详解】（1） ，
，
．
（2） 是直角三角形，理由如下：
由图知， ， ， ，
， ，
，
是直角三角形．
32．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在边长均为1的 正方形网格中，A、B、C、
D均在格点上．(1)求 的度数；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理得逆定理，掌握勾股定理及逆定理是解题关键．
（1）由网格可知， ， ， ，再根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）根据 求解即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
；
（2）解： ．
33．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，这是 的正方形方格，请仅用无刻度的直尺按要求完
成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中找格点 ，使得 ．
(2)如图2，在线段 上找一点 ，使得 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题；
（1）根据勾股定理找到格点 ，可得 ；
（2）取格点 ，延长 交 于点 ，点 即为所求，勾股定理求得 的长，进而勾股定理的
逆定理可得 是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点 即为所求，
（2）解：如图所示，取格点 ，延长 交 于点 ，点 即为所求，
∵
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
34．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）已知在7×7的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方
形网格中用无刻度的直尺按要求作图：
(1)如图1， 与 交于点 M；
①找格点 E，使 ；
②直接写出 的度数 ．
(2)如图2，点A、B、C均在格点上，依照（1）中方法在 上作点 M，使 ．
【答案】(1)①见解析 ②
(2)见解析
【分析】（1）①根据格点特点把 向上平移1格即可；②先证明 为等腰直角三角形，再利用平行
线的性质可得答案；
（2）如图2中，取格点 ，连接 ， 把 向左边平移2格得到线段 ，再以 为底边构造等腰直角三角形 ，记 与 的交点为 ， 即为所求．
【详解】（1）解∶ ①如图1中， 直线 即为所求；
②∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图2中，取格点 ，连接 ， 把 向左边平移2格得到线段 ，再以 为底边构造等
腰直角三角形 ，记 与 的交点为 ， 即为所求．
理由：同理可得： ， ，
而 ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角
形的判定与性质，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键．
35．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）图①、图②均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．(1) 的长为________；
(2)在图①中，以 为腰作一个等腰直角三角形 ，使 ；
(3)在图②中，以 为边作一个正方形 ．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查网格与勾股定理、等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识是
解题的关键．
（1）根据勾股定理解题；
（2）根据等腰直角三角形的性质解题；
（3）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解题
【详解】（1）解：由网格可知： ，
故答案为： ；
（2）解：如图①， ，
则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 即为所求；
（3）解：如图②， ，则 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 是正方形，
∴正方形 即为所求．
培优综合练
36．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港
口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点
A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西 方向航行，那么慢船沿（ ）方向
航行．
A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏西
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、方位角等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题
的关键．
根据勾股定理逆定理求出 ，进而可得 ，进而完成解答．
【详解】解：如图:由题意得： （海里）， （海里）， ，
海里，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴乙船沿南偏西 方向航行．
故选A．
37．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，P为边
上一动点， 于E， 于F，求 的最小值为（ ）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．4
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
连接 ，利用勾股定理逆定理推出 ，证明四边形 为矩形，进而得到 ，结合垂
线段最短得到当 于点 时， 最小，即 最小，再结合等面积法求解，即可解题．
【详解】解：连接 ，
在 中， ， ， ，
又 ，即 ，
，
于E， 于F，
，
四边形 为矩形，
，
当 于点 时， 最小，即 最小，
有 ，
故选：B．
38．（24-25八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形
如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成
的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面
积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积
和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积 正方形C的面积 正方形A的面积 ，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026．
故选：A．
39．（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将
线段BO以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时针旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤
，其中正确的结论是（ ）
A．①④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．①③⑤
【答案】C
【分析】根据正三角形性质，得 ， ；根据旋转的性质，得 ，
，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明 ，即可判断①；根据勾股定理逆
定理，得 ，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性
质，可计算得 ，从而判断④； 绕点A逆时针旋转 得到 ，根据等腰三角形、勾股定理
及其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如下图：
∵正
∴ ，
∵线段 以点B为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形
∴ ，即②错误；
∵ ，
∴和 中
∴
∴ ， 可以由 绕点B逆时针旋转 得到，即①正确；
∵ ，
∴
∴
∵ 为等边三角形
∴
∴ ，即③正确；
∵
∴
过点B做 ，交 于点N
∵ 为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∴四边形 面积 ，即④正确；
∵正∴ 绕点A逆时针旋转 得到 ，如下图：
∵ ， ， ，
∴ 为等边三角形
∴
过点A做 ，交 于点G，如下图：
∵ 为等边三角形
∴
∴
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴∴ ，即⑤正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋
转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解．
40．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图， 中， ， ，点P在 内，且
， ， ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首
先作 ，使得： ， ，即可得 ，即可得 与 相
似比为2，继而可得 与 是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得
的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用．
【详解】如图，作 ，使得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 相似比为2，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
作 于M，
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
41．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在江老师的引导下，利用
正方形网格和勾股定理运用构图法进行了一系列探究活动：
(1) 三边的长分别 、 、 ，求 的面积．小明同学的做法是：由勾股定理得
， ， ，于是画出线段 、 、 ，从而画
出 ，如图1所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
则 的面积为 ；
(2)若 三边的长分别为 ， ， ，
① 直角三角形（填“是”或“不是”），理由是 ，
②请用构图法在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的 ，并求出它的面积；
(3)若 三边的长分别为 、 、 （ ， ．且 ），请在如
图3的长方形网格中（设每个小长方形的长为m，宽为n），运用构图法画出 ，它的面积为 （结果
用m，n表示）．
(4)在图4中运用构图法画出能说明 与 大小的图形，得出结论 （填“>”或
“<”），理由是 ．
【答案】(1)(2)①不是，不满足勾股定理的逆定理；②图见解析， ；
(3)
(4) ，三角形三边的关系
【分析】（1）利用构图法求出 的面积，即可求解；
（2）①利用勾股定理的逆定理求解即可；
② 是直角边长为 ， 的直角三角形的斜边； 是直角边长为 ， 的直角三角形的斜边；
是直角边长为 ， 的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）先画出三边长分别为 、 、 的 ，再利用构图法求解，即可求
解．
（4）构造出三边长分别为 ， ，1的三角形，利用三角形三边的关系即可求解．
【详解】（1）解： 的面积为 ；
故答案为： ；
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形，理由是不满足勾股定理的逆定理；
故答案为：不是，不满足勾股定理的逆定理；
画出图形，如图：
∴ ；
（3）解：如图，， ，
，
∴ ；
故答案为： ；
（4）解：如图，
根据题意得： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ；
故答案为： ，三角形三边的关系．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，勾股定理以及勾股定理的逆定理，二次根式的
混合运算等知识，解题的关键是学会利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考
常见题，
42．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，点D是 内一点，连接 ， ， ．(1)如图1，当 时，若 ， ， ，求 的度数；
(2)如图2，以 为斜边向上作等腰 ，连接 ，若 ， ，求证：
且 ；
(3)如图3，在第（2）问的结论下，点P为 垂直平分线上一点，连接 ， ，将 绕点C顺时针旋
转 至 ，连接 ， ， ，若射线 交直线 于点Q，当 取得最小值时，直接写出
的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）求出 ， ，进而得出结果；
（2）作 ，截取 ，连接 ，可证得 ，从而得出 ，
， ，从而 ，从而推出点E、D、F、C共圆，进而得出
，A、D、F共线，进而证得 ，从而得出 ， ，
进一步得出结论；
（3）设 交 于F，作 ，截取 ，延长 交 于 ，连接 ，可证得
，从而 ，进而得出点B和点 重合，从而得出点 在
与 成 的 的边 上运动，当点Q在E点处时， 最小，进一步计算得出结果．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；（2）证明：如图1，
作 ，截取 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴点E、D、F、C共圆，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴A、D、F共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图2，设 交 于F，作 ，截取 ，延长 交 于 ，连接 ，
∴ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ 绕点C顺时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 和点B重合，
∴点 在与 成 的 的边 上运动，
∴当点Q在E点处时， 最小，
如图3，
在 中， ， ， ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图4，
不妨设 ，则 ，作 于X，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，解直角三角形，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
43．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式：
第1个等式
第2个等式
第 3个等式
第 4个等式
…… ……
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ；
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角
边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律
的方法是解决问题的关键．
（1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案；
（2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案；
（3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边 ，从而结合规律得到直角三角
形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：（1）补充上述表格， ，
故答案为： ；
（2）用含 （ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律： ，
故答案为： ；
（3）由（2）中规律 ，则存在以 、 为直角边， 为斜边的直角三角形，
当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得 ，解得 ，
直角三角形的另一个直角边是 ，
则这个直角三角形的面积为 ．
44．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数 ，
称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，
这组数的整数倍，如 等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如
等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数 才能满足关系式 ．设
为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1 表2
a b c a b c
3 4 5 6 8 10
5 12 13 8 15 17
7 24 25 10 24 26
9 40 41 12 35 37
(1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）；
观察可得：表1中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）；
观察可得：表2中b、c与 之间的关系是________；（填勾股定理不得分）
(3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？
（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如 ）【答案】(1)60；61；
(2)63；65；
(3) 或
【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型．
（1）观察表1中的数据，可得 ， ，先将 代入 得 ，再根据
，可求得b、c的值；
（2）观察表1中的数据，可得 ， ，先将 代入 得 ，再根据
，可求得b、c的值；
（3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系 ，b、c与 之
间的关系是： ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为：60，61， ；
（2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 ， b、c与 之
间的关系是 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，故答案为：63，65， ；
（3）解：由题意得 ，
如果满足表1的规律，那么 ， ，
∴ ，
∴ ，符合题意；
如果满足表2的规律，那么 ， ，
∴ ，
∴ ，符合题意；
综上所述，这组勾股数可能为 或 ．
45．（2024八年级上·全国·专题练习）定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 、 ，若以
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的勾股分割点．
(1)已知 、 把线段 分割成 、 、 ，若 ， ， ，则点 、 是线
段 的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点 、 是线段 的勾股分割点，且 为直角边，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)是，见解析；
(2) 或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，不能漏解．
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点 、 是线段 的勾股分割点；
（2）设 ，则 ，分两种情形： 当 为最长线段时，
； 当 为最长线段时， ；分别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：是，理由：
， ，，
、 、 为边的三角形是一个直角三角形，
点 、 是线段 的勾股分割点；
（2）解：设 ，则 ，
当 为最长线段时，依题意 ，
即 ，
解得 ；
当 为最长线段时，依题意得 ，
即 ，
解得 ，
综上所述， 或 ．
46．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义： 为正整数，若 ，则称 为“完美勾股数”，
为 的“伴侣勾股数”．如 ，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)判断填空：数 __________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知 的三边 满足 ．求证： 是“完美勾股数”．
【答案】(1)是
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式．
（1）根据“完美勾股数”的定义判断即可；
（2）根据完全平方公式求出 的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴数 是“完美勾股数”
故答案为：是（2）证明：
是“完美勾股数”
47．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为
“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，
25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成．
(1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由；
(2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为 ， ，
（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)正确，见解析
【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键．
（1）根据勾股数定义进行解答即可；
（2）根据勾股数定义进行证明即可．
【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴9，40，41是一组勾股数；
（2）证明：∵ ，
又 ，∴ ，
∵ 是正整数，∴ 是奇数，且 ， ， 都是正整数，
∴ ， ， （ 为正整数）是勾股数，
∴小明的猜想正确．
