文档文本内容
4.6 正、余弦定理及其应用举例
思维导图
知识点总结
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 b2＝ ； ＝ ＝ ＝2R
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ ，c＝
；
cos A＝ ；
(2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝；
常见
cos B＝
变形 (3)a∶b∶c＝ ；
cos C＝
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b
解的个数 一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示a边上的高).
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[常用结论]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；
(4)cos＝sin.
2.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B a>b sin A
>sin B cos A<cos B.
⇔ ⇔
⇔
典型例题分析
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等
于( )
A.30° B.45°
C.30°或150° D.45°或135°(2)(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A.1 B.
C. D.3
(3)(2023·广州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足2cos Bcos
C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，则cos A的最小值是________.
感悟提升 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其
他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角
函数值的有界性和大边对大角定理进行判断).
2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；
二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
考向二 判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形(2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为________.
感悟提升 判断三角形形状的两种思路
(1)化为边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)化为角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论.
考向三 与三角形面积(周长)有关的计算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为
边长的三个正三角形的面积依次为S ，S ，S .已知S －S ＋S ＝，sin B＝.
1 2 3 1 2 3
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin Asin C＝，求b.感悟提升 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
考向四 多边形中的解三角形问题
例4 (2023·烟台一模)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.
(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.
感悟提升 平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
考向五 三角形中的最值、范围问题
例5(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；
(2)求的最小值.
[思路分析] (1)化简条件式，利用C＝消去角A得到角B的三角方程，即可求解.
(2)利用条件式得到A，B的关系式，利用正弦定理把转化为B的三角函数式，利用基本不等
式求其最小值.
[规范解答] 解 (1)因为＝，
所以＝，
→
所以＝，(2分)
所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，
，(4分)
→由cos(A＋B)＝－cos C，角C＝，进而求B
所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.
因为B∈，所以B＝.(5分)
→
(2)
→
所以sin＝sin B，
且0<A＋B<，
所以0<B<，0<－(A＋B)<①，
→
所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，(8分)
由正弦定理得＝
→
＝＝②
→
＝＝＝＝4cos2B＋－5③(10分)
→
≥2－5＝4－5③，
当且仅当cos2B＝时取等号，
→
所以的最小值为4－5.(12分)
[满分规则]
❶得步骤分：
①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.
❷得关键分：
②处消去角A是本题得解的关键所在.
❸得计算分：
③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.
感悟提升 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差
异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
考向六 三角函数模型
例6 (多选)(2023·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已
知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点 P从水中浮现时(图中点P )开始计时，则(
0
)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2感悟提升 1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合
思想进行解题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽
象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
基础题型训练一、单选题
1．在 中，已知 ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
2．有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10m,高为 ,那么此拦水坝斜坡的坡度
和坡角分别为
A． B． C． D．
3． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ， ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角
是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（ ）
A． B．
C． D．
5．在 中， ， ， ，则满足条件的 有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
6．在锐角三角形 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，已知 ， 是方程 的两个根，且 ，则c＝（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
7．某人在 处向正东方向走 后到达 处，他沿南偏西 方向走 到达 处，这时他离出发点
，那么 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
8． 的内角 的对边分别为 ，下列结论一定成立的有（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等腰三角形
三、填空题
9．在 中， ， ， ，则 __________．
10． 的内角 、 、 所对边分别为 、 、 ，已知 ，则 的最大值
为__．
11．甲船在岛 的正南 处， ，甲船以每小时 的速度向正北方向航行，同时乙船自 出发
以每小时 的速度向北偏东 的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____ .
12．在 中，AB=1，BC=2，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD
的最大值为______．
四、解答题
13．在 中， ， ， 为 边上一点，且 ．（1）求 ；
（2）若 ，求 ．
14．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
(1)求角 的值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围．
15． 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ， ．
(1) ， 时，求CD的长度；
(2)若CD为角C的平分线，且 ，求 的面积．
16．已知 的角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 ．
提升题型训练
一、单选题
1．在△ABC中， ，则 的值是（ ）
A． B．
C． D．
2．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
3．已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角 的对边为 ，若 ，则当 取最大值时， 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形 中， ， ，且 、 的周长相等，则
（ ）
A． B． C． D．
6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 距地面的距离，小明同学在
场馆内的A点测得 的仰角为 ， ， ， （单位： ），（点 在
同一水平地面上），则大跳台最高高度 （ ）A． B．
C． D．
二、多选题
7． 的内角 ､ ､ 的对边分别为 ､ ､ ， ， ，则 可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若 ，且 的面积为 ，则 的最小边长为2
C．若 时， 是唯一的，则
D．若 时， 周长的范围为
三、填空题
9．在 中，已知 ， ， ，则 边上的中线长为________．
10．在铺砌领域，有一座数学家们在半个多世纪里一直追寻的“圣杯”，这座圣杯名为“爱因斯坦”，指
的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的“非周期性”铺砌块．2023年3月20日，一个由数学家
和计算机科学家组成的研究团队，在论文预印网站arXiv上提交了一篇论文，表示他们找到了这样一种由多
个相同的“风筝”粘在一起而形成的十三边形（如右图所示），只用此十三边形就能做到单铺砌块，也就
是数学家们寻找的“圣杯”．若已知此十三边形最短的边长为1，则此十三边形的面积为_____________．
11．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 若 ， 且 为 的外心， 为 的重心，则 的最小值为________．
12．在锐角三角形 中，内角 所对的边 满足 ，若 存在最大值，
则实数 的取值范围是__________．
四、解答题
13．在 中，已知哪些条件可以应用余弦定理解三角形？
14．在 中，内角 所对的边分别为 ， .
（1）求 ；
（2）求 .
15．在△ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， 是方程 的两个实
根.
(1)求 和 ；
(2)若 ，求 的值.
16．已知某渔船在渔港 的南偏东 方向，距离渔港约 海里的 处出现险情，此时在渔港的正上方恰
好有一架海事巡逻飞机 接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在 处的渔政船并要求其
迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船 的俯角为 ，测得渔政船 的俯角为 ，且
渔政船位于渔船的北偏东 方向上．
(1)计算渔政船 与渔港 的距离；
(2)若渔政船以每小时 海里的速度直线行驶，能否在 小时内赶到出事地点？
(参考数据： ， ， ， ， ，
）
