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5.4 正余弦定理（精讲）
一．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
内容 ＝＝＝2R b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
边化角：a＝2Rsin A b＝2RsinB c＝2RsinC
cos A＝；
角化边：sin A＝ sin B＝， sin C＝；
变形 cos B＝；
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC
cos C＝
＝
二．三角形常用面积公式1.S＝a·h(h 表示边a上的高)．
a a
2.S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A．
3.S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
三．三角形解的判断
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b
解的个数 一解 两解 一解 一解
四．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
五．盘点易错易混
1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R
2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
一．正、余弦定理的选用
1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角
形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
二．求解三角形面积问题
1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，
代入公式求面积．
2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形
恰当选择面积公式是解题的关键．
三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
2.若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；
5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
考法一 常见的边角互换模型
【例1-1】（2023春·湖南）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 ，若
，则 外接圆的半径长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，再由余弦定理可得： ，
故 ，因为 ，所以 则 .故选：B.
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，据此可得 ，
则 .故选：C.
【例1-3】（2022·安徽马鞍山·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，设， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由 及正弦定理得： ，
即 ，由余弦定理得： ，而 ，解得 ，
由 得 ，显然 ，则 ， ，
所以 .故选：C
【例1-4】（2022·重庆）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，记 外接圆半径为 ，
且 ，则角 的大小为________．
【答案】
【解析】由正弦定理： 故
即
故 ，又 故 故答案为：
【一隅三反】
1．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
， ，则A＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，由正弦定理得 ，因为 ，所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 .故选：B
2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ， ，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，根据正弦定理得 ，
移项得 ，即 ，即 ，
则根据正弦定理有 ．故选：D.
3．（2023春·福建南平）（多选）在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，
，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】 ，由正弦定理可得 ，
整理可得 ，所以
，
为三角形内角， ，∴ ，∵ ， ，故A正确，B错误；∵ ， ， ，解得 ，
由余弦定理 ，得 ，
解得 或 （舍去），故D正确，C错误.故选：AD.
4．（2023·四川）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则A=
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知， ， ，
， ，
由正弦定理，得 ，又 ，所以 ，
即 ，由 ，得 .故选：D
考法二 三角形的周长与面积
【例2-1】（2023·广东）在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
， ，则 的面积为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以由正弦定理可得
所以 ，
因为 所以因为 ，则 ，则 ，所以 为等边三角形，故 的面积
故答案为：
【例 2-2】（2023·山东青岛·统考三模）记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
．
(1)求角B；
(2)若c＝3a，D为AC中点， ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】（1）∵ ，所以 ， ，
则 ，
整理得 ，又 ，∴ ，而 ，∴ ；
（2） ，由余弦定理得 ， ，
是 中点，则 ，在 中由余弦定理得， ，
在 中由余弦定理得， ， ， ，
∴ ，解得 ，所以 的周长为 ．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求
积”，设 的三个内角 所对的边分别为 ， ， ，面积为S，则“三斜求积”公式为，若 ， ，则用“三斜求积”公式求得
的面积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由 得 ，由 得 ，
故 ，A
2．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知在 中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，其中 ，C为钝角，且 .
(1)求角B的大小；
(2)若 的面积为6，求 的周长.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）依题意，有 ，
由正弦定理，得 ，则 .
， ，
C为钝角， （ 舍去），
，
即 ，
因为C为钝角，所以B为锐角，所以 （ 舍去），即 .
（2） ， ， ；， ，
.
由正弦定理，得 ， ，
的面积 ，解得 ， ，
由正弦定理，得 ， ，
的周长为 .
3．（2023·湖北武汉·统考三模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)2
【解析】（1）在 中有 .
即 .
因为 ，由正弦定理可得 ，即 .
同理 ，
由正弦定理可得 ，即 .
在 中有 .解得 ， ， .
由 ，得： .
（2） 面积 ，代入 ， ，整理得： .
由（1）知 ， ，即 ， .
中，由正弦定理可得 ，即 .所以 .
考法三 三角形的中线与角平分线
【例3-1】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求B.
(2)若 ， ，___________，求 .
在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】（1）由正弦定理得， .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
又 ，则 ，所以 .
（2）选择条件①：因为 ，所以 ，，
.
选择条件②：
因为BD为∠ABC的角平分线，所以 ，
则 ，
解得 .
【例3-2】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 为 的内角 所对的
边，向量 , ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，且 ，求线段 的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，所以 ．
由正弦定理，得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 .
（2） ，解得 ，
因为 ，则 ，所以 ， .
【一隅三反】
1．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， ，D为BC上一点，AD为
的平分线，则 _________．
【答案】
【解析】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由 可得， ，
解得： ．故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．故答案为： ．
2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
.
(1)求角C的大小；(2)若 的平分线交AB于点D，且 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由已知可得 ，
,整理得， ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）由题意得， ,即 ，所以 .
法一：在 中， ，
所以 .在 中， ，
所以 ，
即 ，
将 代入整理得 ，解得 或 .
若 ，则 ， ， , ，
所以在 中，得 ,
同理可得 ,即 和 都为钝角，不符合题意，排除.所以 ， ，
.
法二：因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .
3.（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设 的内角 所对的边分别为
，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ， 边上的中线 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)6
【解析】（1）由题意利用正弦定理可得 ．
．
，
，即 ．
（2） ．
由中线 ，
得 ，
．
考法四 三角形中的取值范围
【例4-1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，
， ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为 ， ，所以 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，即 ，
因为 ，即 ，解得 .故选：A.
【例4-2】（2023·江西上饶·统考二模）在 中， ，则 的最小值（ ）
A．-4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】在 中， ，所以 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
则 的最小值为 .故选：A
【例4-3】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在 中，若 ，则的最大值为______．
【答案】
【解析】首先证明：在△ABC中，有 ,
在△ABC中，由余弦定理得 ，
由正弦定理得 ，
令 ，
上述两式相加得
所以
= ,
当 即 时取等.
故答案为： .
【例4-4】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知在 中，角 ， ， 的对边分别是 ，
， ，面积为 ，且_____．
在① ，② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在
上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．
(1)求 ；
(2)若 ，点 是 边的中点，求线段 长的取值范围．【答案】(1) (2)
【解析】（1）若选 ，因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ．
若选 ，因为 ，所以 ，
整理可得 ，解得 或 ，
又因为 ，可得 ，所以 ,所以 ．
若选 ，因为 ，所以由正弦定理可得 ，
又因为 为三角形内角， ，所以 ，可得 ，
又因为 ， ，所以 ，可得 ．
（2）因为 ，所以 ，
因为 是 的中点，所以 ，平方得 ，
所以
因为 ，所以 时， ，可得 ，
所以 ，可得 ，故线段 长的取值范田为
【一隅三反】
1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）在锐角 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，
△则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是锐角三角形，所以 ， ，所以 ， ，
由正弦定理得 ，所以 ．故选：C．
2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
， 的平分线交 于 ，若 ，则 的最小值为____.
【答案】 /
【解析】因为 ， 的平分线交 于 ，且 ，
由 ，即 ，
整理可得 ，所以， ，
因此， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）在 中，由 及二倍角公式，得 ，
即 ，整理得 ，
因此 ，即 ，而 ，
所以 .
（2）由（1）及已知，得 ，即有 ，
由余弦定理得 ，即 ，
因此 ，即 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，而 ，
所以 面积的最小值为 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2ccosC=bcosA+acosB.
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由正弦定理得： ，代入 ，
∴ ，又 ，
∴ ，而0<C< ，则 ，∴ ，故 .
（2）由正弦定理得： ，
，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
由内角和为 ，则 ，
所以 ，则 ，
周长为 ，故 的取值范围为 .
5．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求 的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，由正弦边角关系得 ，即 ，
由余弦定理，得 ，又 ，所以 ，
由 ，则 .
（2）由正弦定理得 ，所以 ， ，由余弦定理，得 ，所以 ，
利用等面积法可得 ，
则
，
∵ ，∴ ，故 ，则 ，
所以 ，故 .
考法五 三角形解的个数
【例5】（2023春·江苏连云港）由下列条件解 ，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】对于A， ,由正弦定理可得 ,
由 和 可知 和 只有唯一解，所以 只有唯一解；
对于B，因为 ，由余弦定理 可知 只有唯一解，
所以三角形的三个边唯一确定，即 只有唯一解；
对于C，因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，所以 ，所以角 有两个解，即 有两个解；对于D，因为 ， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，又c>a，所以 ，所以角 只有一个解，即 只有唯一解.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023春·重庆） 中， 是角 的对边， ，则此三角形有（ ）
A．一个解 B．2个解 C．无解 D．解的个数不确定
【答案】B
【解析】】∵ 中， ，
∴根据正弦定理 ，得 ，
∵B为三角形的内角， ，则有 或 ，∴三角形的解有两个．故选：B．
2．（2023·贵州·统考模拟预测） 中，角 的对边分别是 ， ， .若这个三角形
有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理 可得， .
要使 有两解，即 有两解，则应有 ，且 ，所以 ，
所以 .故选：B．
3．（2023·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于 的四个条件中选择一个，能够使角 被唯一确定的
是：（ ）①
② ；
③ ；
④ .
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】对于① ，因为 ，所以 或 ，故①错误；
对于② ，因为 在 上单调，所以角 被唯一确定，
故②正确；
对于③ ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，由正弦定理有
，所以 ，所以角 被唯一确定，故③正确；
对于④ ，因为 ，
所以 ，所以如图， 不唯一，故④错误.故A，C，D错误.
故选：B.考法六 正余弦定理在几何中应用
【例6-1】（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，在 中， ，点 在边 上，
．
(1)求 的长；
(2)若 的面积为 ，求 的长．
【答案】(1)6(2)6
【解析】（1） ， ，且 ，
根据正弦定理 ，可得 ；
（2） ，
，
，得 ，
又 ，由余弦定理得 ， ．
【例6-2】（2023·北京大兴·校考三模）如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
， ， ， .(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
【答案】(1) (2) ，
【解析】（1）∵ ， ，
， ， ;
（2） ， ， ，则 .
， ，
， ，
又 ，在 中，
由正弦定理可知， .
【一隅三反】
1．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，过点 作
，交线段 于点 ，且 ， ， .(1)求 ；
(2)求 的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）∵ ，
∴由正弦定理得 ，即 ，
∴由余弦定理， ，
又∵ ，
∴ .
（2）∵ ，∴ ，
由第（1）问， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴在 中，由正弦定理， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 的面积 .
2．（2023·上海徐汇·统考三模）如图， 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 .(1)若 ，求角 的余弦值大小；
(2)已知 、 ，若 为 外接圆劣弧 上一点，求 周长的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
即 ，则 ，
整理得 ，而 ，即
（2）在 中， ，
由余弦定理得 ，
于是 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， 周长取得最大值 .
3．（2023·广东惠州·统考一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，
四边形 的顶点在同一平面上，已知 ．(1)当 长度变化时， 是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．
(2)记 与 的面积分别为 和 ，请求出 的最大值．
【答案】(1) 为定值，定值为1
(2)14
【解析】（1）法一：在 中，由余弦定理 ，
得 ，即 ①，
同理，在 中， ，
即 ②，
① ②得 ，
所以当 长度变化时， 为定值，定值为1；
法二：在 中，由余弦定理
得 ，即 ，
同理，在 中， ，
所以 ，
化简得 ，即 ，所以当 长度变化时， 为定值，定值为1；
（2）
，
令 ，
所以 ，
所以 ，即 时，
有最大值为14．
