文档内容
5.5 解三角形与其他知识的综合运用（精练）
1．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）2010年9月16日，曲靖市麒麟区寥廓山顶的靖宁宝塔竣工开放，成
为曲靖当地的又一标志性建筑.某中学数学兴趣小组为了测量宝塔高度，在如图所示的点A处测得塔底位于
其北偏东60°方向上的D点处，塔顶C的仰角为60°.在A的正东方向且距A点64 的点B处测得塔底在其
北偏西45°方向上（A､B､D在同一水平面内），则靖宁宝塔的高度 约为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为
人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量
方案：在烈士纪念塔底座平面的 点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为 ，然后直线走了20 ，抵达纪
念塔底座平面 点位置测得纪念塔顶端的仰角为 .已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念
塔底端的方向所成角为 ，则该烈士纪念塔的高度约为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
3．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著
作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建
筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在
B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10° ≈ 0.985）
A．49.25 m B．50.76 m
C．56.74 m D．58.60 m
4．（2023·四川·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量 ，
共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 内角A､B､C所对的边分别为a､b､c面积为S，若
， ，则 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
6．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 是的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
7．（2023·全国·高三专题练习）保定市主城区开展提升城市“新颜值”行动以来，有一街边旧房拆除后，
打算改建成矩形花圃 ，中间划分出直角三角形 区域种玫瑰，直角顶点 在边 上，且距离
点 ，距离 点 ，且 、 两点分别在边 和 上，已知 ，则玫瑰园的最小面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）（多选）在学习了解三角形的知
识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动 他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他
于点 处测得河对岸点 位于点 的南偏西 的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点 ， ， ，
使点 ， ， 共线，点 位于点 的正西方向上，点 位于点 的正东方向上，测得 ，
， ， ，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ）
A． B． 的面积为
C． D．点 在点 的北偏西 方向上
9．（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用
与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科
技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和
点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别
为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
10．（2023·广东广州·统考模拟预测）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留
宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 ， ， ，
，则A、B两点的距离为___________m．
11．（2023·湖南）在锐角 中，内角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
12．（2023·河北）设函数 ，其中向量 ， .
(1)求 的最小值；
(2)在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ，△ 的面积为 ，
求 的值.13．（2023·北京）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的对边，设 ，
，若 ．
（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，求 的取值范围．
14．（2023·西藏）已知 ， ， ，其中 ，若
的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调递减区间；（2）锐角 中， ，求 的取值范围.
15．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，已知 为 的直径，点 、 在 上， ，垂足
为 ， 交 于 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长．16．（2023·江苏·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， 成
等比数列，且 .
(1)求 ；
(2)若 ，延长 至 ，使 的面积为 ，求 .
17．（2023·全国·高三专题练习）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点 处正上空
的点 处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点 西南方向的草从
处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点 处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯
角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离 的长度；
(2)若此时猎豹到点 处比到点 处的距离更近，且开始以 的速度出击，与此同时机警的羚羊以
的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 ，试问猎豹这次捕猎是
否有成功的可能?请说明原因．18．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中， 为 的角平分线上
一点，且与 分别位于边 的两侧，若
(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.
19（2023·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， ．
(1)若 ，求 ；
(2)记 与 的面积分别记为 和 ，求 的最大值．20.（2023·上海徐汇·统考一模）近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多
城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公
园”、如图所示,以 中点A为圆心, 为半径的扇形草坪区 ,点 在弧BC上（不与端点重合）,AB、
弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设 .
(1)如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
(2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步
行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万
元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）21．（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距 海里的B处有一
艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 海里 小时的速
度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立
即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 海里 小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船22．（2023·上海·高三专题练习）某公园要建造如图所示的绿地 ， 、 为互相垂直的墙体，已
有材料可建成的围栏 与 的总长度为 米，且 ．设 （ ）．
(1)当 ， 时，求 的长；（结果精确到 米）
(2)当 时，求 面积 的最大值及此时 的值．23．（2023·全国·高三专题练习）如图，某公园拟划出形如平行四边形 的区域进行绿化，在此绿化
区域中，分别以 和 为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与 相切.
(1)若 ， ， （长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为 ，则 多大时，平行四边形绿地 占地面积最小？24．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中， 为等边三角形，设
.
(1)求四边形 面积的最大值，以及相应 的值；
(2)求四边形 对角线 长度的最大值，以及相应 的值.
25．（2023·上海）如图，在 中， 分别是 的中点．从条件① ；
② 中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
(1)求 的余弦值；
(2)若 相交于点 ，求 的余弦值．
（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）
