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7.3 空间角（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 线线角
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， 是边长为
的正三角形， ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2022·新疆·三模（理））在正方体 中，E为 的中点，平面 与平面 的
交线为l，则l与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·四川内江·模拟预测（理））如图，在直三棱柱 中， 面 ，
，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分
别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
考点二 线面角
【例2-1】（2022·黑龙江）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ，且 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
【例2-2】（2022·云南）已知正方体 的棱长为1，点P在线段 上，且 ，则
AP与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．1 B． C． D．
【例2-3】．（2022·河南安阳）如图，在圆锥 中， 为圆锥的底面直径， 为等腰直角三
角形，B为底面圆周上一点，且 ，M为 上一动点，设直线 与平面 所成的角为 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】1．（2022·河南安阳）如图，在四面体ABCD中， ， ，E为BD的中点，F为AC上一点.
(1)求证：平面 平面BDF；
(2)若 ， ， ，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
2．（2022·北京）如图，四棱锥 的底面是梯形， ，
，E为线段 中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
考点三 二面角【例3-1】（2022·云南师大附中）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是 的中点，
G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的射影为点G．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【例3-2】（2022·青海·海东市第一中学）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面 平面ABCD，
为等边三角形， ， ，M是棱上一点，且 .
(1)求证： 平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.
【一隅三反】
1．（2022·天津·高考真题）直三棱柱 中， ，D为的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
2．（2022·江西）如图，在三棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ， ，
D为 上靠近A的三等分点．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)当三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值．
3．（2022·广西玉林·模拟预测（理））如图，在直三棱柱 中，D，E别是棱 、 上的点，， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若直线 与平面ABC所成的角为 ，且 ，求二面角 的大小．
考点四 空间角的综合运用
【例4】（2022·重庆南开中学）（多选）已知正四棱锥 的侧面是边长为6的正三角形，点M在
棱PD上，且 ，点Q在底面 及其边界上运动，且 面 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B． 与CD所成角的范围为
C． 的最小值为
D．二面角 的正切值为
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体 的边长为2，M为 的中点，P为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 平面
C． 与 所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
2．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体 中， ，点E为平面 内的动
点，设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
