文档内容
5.1 三角函数的定义（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的
美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，
便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为 ，则其面积是______．
【答案】
【解析】由条件可知，弧长 ，等边三角形的边长 ，则以点A、
B、C为圆心，圆弧 所对的扇形面积为 ，中间等边 的面积
所以莱洛三角形的面积是 .故答案为：【例1-2】（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）已知点 ， 是圆 ：
上两点，动点 从 出发，沿着圆周按逆时针方向走到 ，其路径长度的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点 在 的终边， 在 的终边上，设 ,
， 优弧的圆心角为
弧长= ，故选:C
【例1-3】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在长方体 中， ， ，
，点P在长方体的面上运动，且满足 ，则P的轨迹长度为（ ）
A．12π B．8π C．6π D．4π【答案】C
【解析】如图， 在左侧面的轨迹为弧 ，在后侧面的轨迹为弧 ，在右侧面的轨迹为弧 ，在前
侧面内的轨迹为弧 .
易知 ， ，又 ，
，∴ ，则 ，
∴P的轨迹长度为6π，故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他
也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧
分别是 的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若 ， ，则该月牙形的面积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以
，所以 ，
设 的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得 ，所以 ，
内侧圆弧为 的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为 ，
则弓形 的面积为 ，
外侧的圆弧以 为直径，所以半圆 的面积为 ，
则月牙形的面积为 .故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为6的正方体 中，点 是线段 的中点， 是正
方形 （包括边界）上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为________.
【答案】
【解析】如图，在棱长为6的正方体 中，则 平面 ， 平面 ，
又 ， 在平面 上， ， ，
又 ， ，
，即 ，
如图，在平面 中，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
由 ，知 ，
化简整理得 ， ，圆心 ，半径 的圆，
所以 点的轨迹为圆 与四边形 的交点，即为图中的
其中， ， ，则
由弧长公式知
故答案为： .3．（2022·上海·高三专题练习）若球 的半径为 （ 为常量），且球面上两点 ， 的最短距离为 ，
经过 ， 两点的平面 截球所得的圆面与球心的距离为 ，则在此圆面上劣弧 所在的弓形面积为
___________.
【答案】
【解析】因为球 的半径为 ，球面上两点 ， 的最短距离为 ，所以 ，
设经过 ， 两点的平面 截球所得的圆面为圆 ，则 平面 ，且 ，
所以截面圆圆 的半径 ，
连接 ，因为 ， ，所以线段 ，
在 中， ， ，
由余弦定理可得： ，所以 ，
所以在此圆面上劣弧 所在的弓形面积为扇形 的面积减去 的面积，
即为： ，故答案为： .考点二 三角函数的定义
【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐标系中 ，角 的终边经过点
，则 的值是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】D
【解析】 ．
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，故选：D．
【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知角 ， 的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，角 的终边
过点 ，将角 的终边顺时针旋转 得到角 的终边，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，点 到原点的距离为 ， ， ，.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐标系 中，角 和角 的顶点均与原点O重合，
始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于直线 对称，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】角 和角 的终边关于直线 对称，则 ， ．
．故选：C．
2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐标系 中，已知角 的终边与圆 相交于点
，角 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三角函数定义可知， ，
， ， ，故选： ．
3．（2022·重庆八中高三阶段练习）在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单
位圆 的交点 在第一象限内.若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角 的终边与单位圆 的交点 在第一象限内，所以 ， .
因为 ，所以 ，即 ，
将 代入 ，得 ，即 ，
解得 ，
当 时， （舍）；
当 时， ；
所以 .故选：C.
考点三 判断三角函数值的正负
【例3-1】．（2022·全国·高三专题练习）已知角 第二象限角，且 ，则角 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】因为角 第二象限角,所以 ，
所以 ，
当 是偶数时，设 ，则 ，此时 为第一象限角；
当 是奇数时，设 ，则 ，此时 为第三象限角.；
综上所述： 为第一象限角或第三象限角，因为 ，所以 ，所以 为第三象限角．故选：C．
【例3-2】（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以
另解：因为 ，所以 ， ，所以
．故选：C
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习（理））若 ， 的化简结果是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ， 得，
故选：C．【一隅三反】
1．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边经过点 ，若 ，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由三角函数定义， ，
所以，对于A选项，当 时， ， 时， ， 时， ，所以选项
A符号无法确定；
对于B选项， ，所以选项B符号确定；
对于C选项， ，故当 时， ， 时，
， 时， ，所以选项C的符号无法确定；
对于D选项， ，所以选项D符号确定.
所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.
故选：AC.
2（2022·全国·高三专题练习）已知 是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 是第二象限角，所以 ， ，则 ， ，
所以 为第三或第四象限角或终边在 轴负半轴上，所以选项A不一定正确；
可能不存在 ，选项B也不一定正确；又 ， ， 是第一象限或第三象限角，
则选项C正确，选项D不一定正确.故选:C．3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在平面直角坐标系 中，点 为阴影区域内的动点
（不包括边界），这里 ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 ，则 ．设与 相平行的直线的方程为 ，
当直线 过点 时， ；
当直线 过点 和 时， ；
直线 过点 和 时， ．
则由图中阴影部分可得 或 ，
这里 ．则一定有 ．
考点四 三角函数线
【例4-1】（2021·河南·高三阶段练习（文））已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 时， ， ，所以 ，又 ，所以 故选：D
【例4-2】（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】先证明：当0＜x＜ 时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以 ＜ ＜ ，即
所以
又由函数 在 上单调递增，所以
又由函数 在 上单调递减，则
所以
所以 ，即故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知点 在第一象限，则在 内的 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知点 在第一象限得：
， ，即 ， ，
当 ，可得 ， ．
当 ，可得 或 ， ．
或 ， ．
当 时， 或 ．
，
或 ．
故选：B．
2．（2022·全国·高三专题练习）设 ,则下列命题:① ;② ;③ 是单调减函数.其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】对于①，在如图所示的单位圆中，
设 ，则 ,因为 ，
所以由 可得 ，即 ，所以①正确；
对于②，令 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上递增，所以 ，即 ，即 ，
所以②正确；
对于③，因为 ，所以 ，由②知 ，
所以 ，所以 为 上的递减函数，故③正确.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 以O 为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是
𝑥
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由下图可得：有向线段 为余弦线，有向线段 为正弦线，有向线段 为正切线.
A选项：当点 在 上时， ，
，故A选项错误；
B选项：当点 在 上时， ， ，
，故B选项错误；
C选项：当点 在 上时， ， ，
，故C选项正确；
D选项：点 在 上且 在第三象限， ，故D选项错误.
综上，故选C.
