文档内容
5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边，
下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 是锐角三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 ，
则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）设△ 的三边长为 ， ， ，若 ，
，则△ 是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的三条边 和与之对应的三个角 满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．下
列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若 ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是等边三角形
C．若 ，则 是等边三角形
D．若 ，则 是等边三角形
考点二 最值问题
【例2-1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在 中，角 所对的边分别为
， ， ，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，若点D在边 上，且 ，则 的最大值是___________.
【例2-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·二模（理））设 的内角 的对边分别为 ，且满足
，其中 ，若 ，则 面积的取值范围为______________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角 外接圆的半径为 ，内角 ， ， 所对边分别为 ， ，
， ，则 的取值范围是____.
4．（2022·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中， ，且
依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.5．（2022·广东江门·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
考点三 三角形解的个数
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
，当 有两解时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【例3-3】（2022·浙江·高三专题练习） 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，
若这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ，使
得三角形有两解的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件 ，
的三角形有两个，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，则“ ”是“ 有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使 有两解
的是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 几何中的正余弦定理
【例4】（2022·浙江宁波·二模）如图，在 中， ， ，点 是线段 的三等分点（靠近点 ），若 ，则 ___________， 的面积是___________.
【一隅三反】
1．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中， ．
(1)若 ，求 ABC的面积；
△
(2)若 ， ， ，求∠ACB的值．
2．（2022·陕西渭南·二模）如图，在 中，角 ，D为边AC上一点，且 ， ，求：
(1) 的值；
(2)边 的长.
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在 ABC中，已知 ， ， ，BC，AC边上的
△
两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求 的正弦值；
(2)求 的余弦值．考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】（2022·江西上饶·二模（理））已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且
，则 的面积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，
以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 是的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．（2022·广东佛山·二模） 中， ，O是 外接圆圆心，是
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
4．（2022·江西上饶·二模（理））已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且
，则 的面积的最大值等于（ ）A． B． C． D．
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于A，B两点． ， ，则双曲线C的
离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【例6-2】（2022·辽宁·育明高中高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 的面积为 ，且 恒成立，则 的最小值为________．
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）已知 ， 是双曲线 （ ， ）的左､右焦点，点M为双曲
线的左支上一点，满足 ，且 ，则该双曲线的离心率 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2022·江西·模拟预测（理））在 中，角 所对的边分別为 ，满足，若函数 的图象向左平移 个单位长度后的图象于 轴对
称，则 在 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C： （ ）的左焦点为点F，过原点O
的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°， ， ，则椭圆C的离心率为________．
