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7.1 空间几何中的平行与垂直（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 平行问题
【例1-1】（2022·广东珠海）如图，在三棱柱 中，点 是 的中点，求证： 平面【例1-2】（2022·河南·商丘市第一高级中学）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，
求证： 平面
【例1-3】（2022·云南·弥勒市一中）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中
， ， ，且 ．点 在棱 上，点 为 中点，证明：若 ，
则直线 平面
【例1-4】（2022·辽宁葫芦岛）如图，在四面体 中， ， ，点 是 的中点，，且直线 面 ，直线 直线
【例1-5】（2022·甘肃酒泉）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ，
， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面
【例1-6】（2022·山西临汾）如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足 ， ，现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， ，得
到如图（2）所示的几何体，求证：
【一隅三反】
1．（2022·山东滨州）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，点E是PB的中点，求证：
平面EAC
2．（2022·辽宁营口）如图，三棱柱 中，E为 中点，F为 中点，求证： 平面3（2022·江苏宿迁）如图，三棱柱 中， ， ，点
， 分别在 和 上，且满足 ， ，证明： 平面
4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，四棱锥 的底面 是直角梯形，， 底面 ，过 的平面交 于 ，交 于 （ 与
不重合）.求证： ；
5．（2022·江苏省镇江第一中学）如图，三棱柱 中M，N，P，D分别为 ，BC， ，
的中点，求证： 面6.（2022·新疆·三模（文））多面体ABDEC中，△BCD与△ABC均为边长为2的等边三角形，△CDE为腰
长为 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F为BC的中点，求证： 平面
ECD
考点二 空间几何中的垂直问题
【例2-1】（2022·云南师大附中高三阶段练习）如图， 是边长为 的等边三角形，E，F分别是
的中点，G是 的重心，将 沿 折起，使点A到达点P的位置，点P在平面 的
射影为点G．证明：【例2-2】（2022·湖北·鄂州市教学研究室）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面
ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点， .证明：
(1) 平面PDC；
(2)PB⊥平面DEF.
【例2-3】（2022·四川成都）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为O， ，
， ，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点.
(1)求证： 平面DEF；
(2)求证：平面 平面PBC.【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ，证明：
2．（2022·北京丰台）如图，在直角梯形 中， ， ， ，并将直角梯形
绕AB边旋转至ABEF．
(1)求证：直线 平面ADF；
(2)求证：直线 平面ADF；
(3)当平面 平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面
ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．3．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面
ABC所成角的正切值为 ．
(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面ABC；
(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．
考点三 空间几何中的定理辨析
【例3-1】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设 表示两条不同的直线， 表示平面，
且 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3-2】（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体 ， 分别是， 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A B C D
A． B． C． 平面 1 1 1 1 D． 平面
【一隅三反】
1．（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的
是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一
定成立的是（ ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥α B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中， ， ，
， ，M，N分别是棱 和 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）A． 四点共面 B． 与 共面
C． 平面 D． 平面
