文档内容
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第 4 章 一次函数
4．1 函数和它的表示法
4．1.1 变量与函数
解析：在一个变化的过程中，数值发生
变化的量称为变量，数值始终不变的量称为
1．了解常量、变量的概念；(重点) 常量．
2．了解函数的概念；(重点) 解：(1)球的表面积 Scm2与球的半径
3．确定简单问题的函数关系．(难点) Rcm的关系式是S＝4πR2，其中，常量是4π，
变量是S，R；
(2)以固定的速度v 米/秒向上抛一个小
0
一、情境导入 球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒
之间的关系式是h＝vt－4.9t2，常量是v ，
0 0
4.9，变量是h，t；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运
动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个 h＝gt2(其中g取9.8m/s2)，其中常量是g，变
不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变 量是h，t；
化而变化，随着半径的确定而确定． (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则
在上述例子中，每个变化过程中的两个 购买数量w千克与所付款x元之间的关系
变量：当其中一个变量变化时，另一个变量 式是x＝1.8w，常量是1.8，变量是x，w.
也随着发生变化；当一个变量确定时，另一 方法总结：常量与变量必须存在于同一
个变量也随着确定． 个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，
你能举出一些类似的实例吗？ 需要看两个方面：一是它是否在一个变化过
二、合作探究 程中；二是看它在这个变化过程中的取值情
探究点一：常量与变量 况是否发生变化．
分析并指出下列关系中的变量与 探究点二：函数的定义
常量： 下列说法中正确的是( )
(1)球的表面积Scm2与球的半径Rcm的 A．变量x，y满足x＋3y＝1，则y是x的
关系式是S＝4πR2； 函数
(2)以固定的速度v 米/秒向上抛一个小 B．变量x，y满足y＝，则y可以是x的
0
球，小球的高度h米与小球运动的时间t秒 函数
之间的关系式是h＝vt－4.9t2； C．变量x，y满足|y|＝x，则y可以是x的
0
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运 函数
动的距离hm与它下落的时间ts的关系式是 D．变量x，y满足y2＝x，则y可以是x
h＝gt2(其中g取9.8m/s2)； 的函数
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则 解析：A中x＋3y＝1，y可以看作x的函
购买数量w千克与所付款x元之间的关系 数，因为y＝；B中y＝，因为－x2－1<0，等式
式是x＝1.8w. 无意义，即对于变量x的任何一个取值，变
www.youyi100.com
第 1 页 共 3 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
量y都没有唯一确定的值，故y不是x的函 解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放
数；C、D中的|y|＝x和y2＝x，对于变量x的 掉的水，∴y＝200－2t.∵y≥0，∴200－
任意一个正数值，变量y都有两个(不唯一) 2t≥0，解得t≤100，∴0≤t≤100，∴y关于t
值与其对应，故y不是x的函数．故选A. 的函数关系式为y＝200－2t(0≤t≤100)；
方法总结：判断两个变量是否是函数关 (2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝
系，就看是否存在两个变量，并且在这两个 25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，
变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数， ∴7：55时，水箱内还有水150升；
然后再看看这两个变量是否是一一对应的 (3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝
关系． 100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分
探究点三：确定自变量的取值范围 ＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分
【类型一】 确定函数解析式中自变量的 水箱内的水恰好放完．
取值范围 探究点四：简单问题的函数关系
写出下列函数中自变量x的取值 一个弹簧秤最大能称不超过10kg
范围． 的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹簧
(1)y＝2x－3； (2)y＝； 的长度y(cm)随所挂重物的质量 x(kg)的变
(3)y＝； (4)y＝. 化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
解析：当表达式的分母不含有自变量时， (1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量
自变量取全体实数；当表达式的分母中含有 x(kg)之间的函数表达式；
自变量时，自变量取值要使分母不为零；当 (2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．
函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值 解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸
范围必须使被开方数不小于零． 长的长度，列式即可；
解：(1)全体实数； 解：(1)y＝10＋x，其中x是自变量，y是
(2)分母1－x≠0，即x≠1； 自变量的函数；
(3)被开方数4－x≥0，即x≤4； (2)将x＝5代入y＝10＋x，得y＝10＋
(4)由题意得解得x≥1且x≠2. ×5＝12.5(cm)．
方法总结：本题考查了函数自变量的取 答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为
值范围：有分母的要满足分母不能为0，有 12.5厘米．
根号的要满足被开方数为非负数． 方法总结：根据题意，找出等量关系，列
【类型二】 实际问题中自变量的取值范 出相应的函数表达式．求函数值时，将自变
围 量代入函数表达式中，求出即可．
水箱内原有水200升，7：30打开 探究点五：函数值
水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t分 根据如图所示程序计算函数值，
钟后，水箱内存水y升． 若输入x的值为，则输出的函数值为( )
(1)求y关于t的函数关系式和自变量的
取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有
水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余
水量不小于0列不等式求出t的取值范围； A. B. C. D.
(2)7：55时，t＝55－30＝25，将t＝25代入(1) 解析：∵x＝时，在2≤x≤4之间，∴将x
中的关系式即可；(3)令y＝0，求出t的值即 ＝代入函数y＝，得y＝.故选B.
可． 方法总结：根据所给的自变量的值，结
www.youyi100.com
第 2 页 共 3 页优秀领先 飞翔梦想 成人成才
合各个函数关系式所对应的自变量的取值
范围，确定其对应的函数关系式，再代入计
算．
三、板书设计
1．常量和变量的概念
2．函数的概念
3．函数关系式
4．自变量的取值范围
5．函数值
通过本课时的教学，学生对于常量、变量以
及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际
问题中自变量的取值范围还存在一些困难．
在以后的教学中要通过实例让学生不断加
以强化，达到整体进步.
www.youyi100.com
第 3 页 共 3 页
