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核心素养专题：古代问题中的勾股定理
类型一 勾股定理应用中的实际问题
1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1
尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是(
)
A．10尺 B．11尺
C．12尺 D．13尺
第1题图 第2题图
2．(2017·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，
横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．
注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．
解决下列问题：
(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；
(2)设户斜长x，则可列方程为________________．
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中
有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋
千的踏板就和人一样高，这个人的身高为 5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多
长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．
4．(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三
尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一
个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而
上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．
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类型二 勾股定理的证明问题
5．(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，
后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL
的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．
6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直
角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的
面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描
述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法：
第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边长．当面积S＝150时，请用
“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．
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参考答案与解析
1．D 2.(1)4 2 (2)(x－4)2＋(x－2)2＝x2 3.14.5
4．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3尺，CD＝＝4(尺)，∴AD＝＝5(尺)，∴葛藤的
最短长度为5×5＝25(尺)．
5．10
6．解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13，四个直角三角形的面积是ab×4＝13－1＝12，
即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.
(2)当S＝150时，k＝＝＝＝＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所
以这个直角三角形的三边长为15，20，25.
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