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5.4 正、余弦定理（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 判断三角形的形状
【例1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边，
下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 是锐角三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，
，
因为 ， ， 为 的内角，所以 ， ， 都是锐角，所以 是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由 及正弦定理，可得 ，
即 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由 及正弦定理化边为角，
可知 ，即 ，
因为 ， 为 的内角，所以 ，所以 是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由 和正弦定理化边为角，易知 ，所以
，因为 ， ， 为 的内角，所以 ，所以 是等边三角形，故选项
D正确；故选：ACD.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 ，
则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】∵ ，可得 ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 为直角三角形，且 ，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）设△ 的三边长为 ， ， ，若 ，
，则△ 是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设 ，△ 的内切圆半径为r，如图所示，
法一：∴ ①； ②.
①÷②，得： ，即 ．
于是 ，
， ，
从而得 或 ，
∴ 或 ．故△ 为等腰三角形或直角三角形，
（1）当 时，内心I在等腰三角形 的底边上的高 上，
，从而得 ．
又 ，代入①式，得 ，即 ，
上式两边同时平方，得： ，化简 ，即 ．即△ 直角三角形，
∴△ 为等腰直角三角形．
（2）当 时，易得 ．
代入②式，得 ，此式恒成立，
综上，△ 为直角三角形．法二：
利用 ， 及正弦定理和题设条件，得 ①，
②.
∴ ③； ④.
由③和④得： ，即 ， ，
因为 为三角形内角，
∴ 或 ，即 或 ．
（1）若 ，代入③得： ⑤
又 ，将其代入⑤，得： ．
变形得 ，
即 ⑥，
由 知A为锐角，从而知 ．
∴由⑥，得： ，即 ，从而 ， ．
因此，△ 为等腰直角三角形．
（2）若 ，即 ，此时③④恒成立，
综上，△ 为直角三角形．
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 的三条边 和与之对应的三个角 满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】，可得 ，整理，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 或 或 ，故三角形为等腰三角形.故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．下
列有关等边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若 ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是等边三角形
C．若 ，则 是等边三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【答案】BCD
【解析】A，若 ，
由正弦定理可知：任意 都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；
B，若 ，由正弦定理可得： ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，正确．
C，若 ，由正弦定理可得： ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形，正确．
D，若 ，∴ ， 时， 是等边三角形；
时，研究函数 的单调性，， 时， ，
∴函数 在 上单调递减，因此 不成立．
综上可得： 是等边三角形，正确．故选：BCD．
考点二 最值问题
【例2-1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在 中，角 所对的边分别为
， ， ，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，
即 ，由正弦定理得： ；
由余弦定理得： ， ，
即 ， ， ，
，
， ，
，
则当 时， ， .故选：A.
【例2-2】（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，若点D在边 上，且 ，则 的最大值是___________.【答案】
【解析】由 ，得 ，因为 ，
，所以 ，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，
则由正弦定理得 ，
如图所示，取 的中点 ，
在 中， ；
在 中，
，当且仅当圆心 在 上时取等号，所以 的最大值是 ，
故答案为： ．
【例2-3】（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】在 中， ，
故题干条件可化为 ，由余弦定理得 ，
故 ，又由正弦定理化简得：
，
整理得 ，故 或 （舍去），得
为锐角三角形，故 ，解得 ，故
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·二模（理））设 的内角 的对边分别为 ，且满足
，其中 ，若 ，则 面积的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
，
化简得： ，
由正弦定理可得： ,
， ，
即 ， , 或 ，即 或 ，又 ， ，即 ,
，又 ， ，当仅当
时等号成立，
，即 ， .
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则
tan B的最大值是________.
【答案】
【解析】在 ABC中，因为3acos C＋b＝0，所以C为钝角，
由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0，3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以4sin Acos C＝－cos A·sin C，即tan C＝－4tan A.
因为tan A>0，所以tan B＝－tan(A＋C)＝－ ＝ ＝ ＝
≤ ＝ ，当且仅当tan A＝ 时取等号，故tan B的最大值是 .故答案为：
3．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角 外接圆的半径为 ，内角 ， ， 所对边分别为 ， ，
， ，则 的取值范围是____.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ， ，所以，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
故 ，即 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2022·甘肃·二模（理））如图，在圆内接四边形ABCD中， ，且
依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
【答案】(1) (2)10
【解析】(1)因为 依次成等差数列，
所以 ，又 ，所以 ,
又 ，则由余弦定理得: ，
所以 .
(2由圆内接四边形性质及 ，知 ，在 中，由余弦定理得 ，
又因为 （当且仅当 时“=”成立），
所以 ，即 ，则四边形ABCD周长最大值 .
5．（2022·广东江门·模拟预测）在锐角 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足
.
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)因为 ，
所以由正弦定理可得 ，化简得 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以
(2)因为 ，所以 ,由正弦定理得， ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，，所以 ，即 的取值范围为
考点三 三角形解的个数【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解
C．两解 D．解的个数不确定
【答案】C
【解析】在 中， ， ， ，
由正弦定理得 ，而 为锐角，且 ，则 或 ，
所以 有两解．故选：C
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
，当 有两解时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即 , 则
由 ，解得 ,则
当 有两解时， ，则 ，所以 ，故选： .
【例3-3】（2022·浙江·高三专题练习） 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，
若这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为这个三角形有两解，故满足 ，即 ，解得 .故选：B【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ，使
得三角形有两解的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， 到 的距离 ， 当 时，三角形无解，
当 时，三角形有一解，当 时，三角形有两解，当 时，三角形有一解．故选： ．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件 ，
的三角形有两个，则 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，由正弦定理可得 ，所以 ，
又满足题意的三角形有两个，所以只需 ，即 ，
解得 .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，则“ ”是“ 有两个解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ，若 有两个解，则 ，即 ，即 ，“ ”是“ 有两个解”的必要不充分条件.故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 所对的边分别为 ，下列条件使 有两解
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】选项A. 由余弦定理可得
的三边分别为 ，所以满足条件的三角形只有一个.
选项B. ，则 , 由正弦定理可得
所以 ， 的三边为定值，三个角为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项C. 由 ，则由正弦定理可得
所以 , 由 则 ，所以角 为一确定的角，且 ，
则角角 为一确定的角，从而边 也为定值，所以满足条件的三角形只有一个.
选项D. 作 ,在 的一条边上取 ，过点 作 垂直于 的另一边，垂足为 .
则 ,以点 为圆心，4为半径画圆弧，
因为 ，所以圆弧与 的另一边有两个交点
所以 均满足条件，所以所以满足条件的三角形有两个.
故选：D考点四 几何中的正余弦定理
【例4】（2022·浙江宁波·二模）如图，在 中， ， ，点 是线段 的三等分点
（靠近点 ），若 ，则 ___________， 的面积是___________.
【答案】
【解析】在 中，因为 ，可得 ，由 ，且 ，
在 中，由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，所以 为锐角，所以 ，
又由
，
所以 ，所以 ，
设 ，
因为 且点 是线段 的三等分点，可得 ，在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
所以 的面积为 .故答案为： ； .
【一隅三反】
1．（2022·山东烟台·一模）如图，四边形ABCD中， ．
(1)若 ，求 ABC的面积；
△
(2)若 ， ， ，求∠ACB的值．
【答案】(1) (2)∠ACB=
【解析】(1)在 ABC中， ，
△
因为 ，所以 ． ．
(2)设 ，则 ， ， ．
在 ACD中，由 ，得 ．
△
在 ABC中，由 ，得 ．
△联立上式，并由 得 ，
整理得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即∠ACB的值为 ．
2．（2022·陕西渭南·二模）如图，在 中，角 ，D为边AC上一点，且 ， ，
求：
(1) 的值；
(2)边 的长.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)在 中, 由余弦定理的推论得 ,
, ,
,
(2) , ,
,,
在 中, 由正弦定理得 ,
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在 ABC中，已知 ， ， ，BC，AC边上的
△
两条中线AM，BN相交于点P．
(1)求 的正弦值；
(2)求 的余弦值．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：解法1、由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
与 互补，则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
因为 ，所以 ．解法2、由题意可得， ，
由AM为边BC上的中线，则 ，
两边同时平方得， ，故 ，
因为M为BC边中点，则 的面积为 面积的 ，
所以 ，
即 ，
化简得， ．
(2)解：方法1、在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，
由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P为 重心，
可得 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
又由 ，所以 ．
解法2：
因为BN为边AC上的中线，所以 ，
，
，即 ．所以 ．
考点五 正余弦定理与平面向量的综合运用
【例5】（2022·江西上饶·二模（理））已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且
，则 的面积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以
所以 ，当且仅当 时，取等号；
所以 ，当且仅当 时，取等号；故选：C
【一隅三反】
1．（2021·全国·高三专题练习）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，
以下结论:① ；② 为锐角三角形；③ ；
④ 其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由AH为BC边上的高，
∴ ，而 ，故 ，①正确；知：向量 的夹角为钝角，即 为锐角，而无法判断 是否为锐角三角形，②错误；
，③正确；
，④正确.故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 是的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
又由余弦定理，可得 ，
整理得 ，所以 是直角三角形.故选：C.
3．（2022·广东佛山·二模） 中， ，O是 外接圆圆心，是
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】过点O作 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 外接圆圆心，则D，E分
别为AC， 的中点，
在 中， ，则 ，即 ，，同理 ，
因此，
，
由正弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为3.故选：C
4．（2022·江西上饶·二模（理））已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且
，则 的面积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以
所以 ，当且仅当 时，取等号；
所以 ，当且仅当 时，取等号；故选：C
考点六 正余弦定理与其他知识的综合运用
【例6-1】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于A，B两点． ， ，则双曲线C的
离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设 ， ，由双曲线的定义得 ， ，
在 中， ，由余弦定理 ，
得 ，解得 ，即 ，
设双曲线的焦距为2c，在 中利用余弦定理有 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 ．故选：C
【例6-2】（2022·辽宁·育明高中高三阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
且 的面积为 ，且 恒成立，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】由 得 ， 所以 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
化简得 ，显然关于 的方程有解，
所以 ，化简得 ，即 ．
因为 恒成立，所以 恒成立，令 ，则 ，而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，且 所以 ．故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）已知 ， 是双曲线 （ ， ）的左､右焦点，点M为双曲
线的左支上一点，满足 ，且 ，则该双曲线的离心率 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】∵ ，由双曲线的定义得 ，
所以采用余弦定理： ，
即 ，即 ，解得 （负值舍去），则该双曲线的离心率 .
故选：D.
2．（2022·江西·模拟预测（理））在 中，角 所对的边分別为 ，满足
，若函数 的图象向左平移 个单位长度后的图象于 轴对
称，则 在 的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，故可得 ，
即 ，
又 ，故 ，联立 ，
可得 ，解得 （舍去）或 ，
又 ，则 ，
将 向左平移 个单位长度后得到 ，
又因为其为偶函数，故 ，故 ，又 ，
故当 时， 满足题意，则 ， ，
当 时， ，故 .
故选：B.
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））椭圆C： （ ）的左焦点为点F，过原点O
的直线与椭圆交于P，Q两点，若∠PFQ=120°， ， ，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】根据题意，取椭圆的右焦点为 ，连接 ，作图如下：由椭圆的对称性可知，四边形 的对角线互相平分，
故四边形 为平行四边形，则 ；
设 ，由椭圆定义可知 ，
在△ 和△ 中由余弦定理可得：
，
，
又 ，上述两式相加可得：
，即 ；
在△ 中，由余弦定理可得： ，
即 ，则 ， ；
故可得 ，则 ，又 ，故椭圆离心率为 .
故答案为： .
