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数学参考答案· 第1⻚（共8⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司
昭通市2026 届⾼中毕业⽣模拟考试
⾼三数学参考答案
⼀、单项选择题（本⼤题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只
有⼀项符合题⽬要求）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
B
A
D
C
B
【解析】
1．
，故选C．
2．由
≥0，可得x≤0 或
≥3，⼜
<
≤1，所以
，故选D．
3．根据正弦定理可得：
，
，解得
. 因为
，所以
，所以
，故选B．
4．
，故选B．
5．因为
，所以
，所以
，有
所以
，故选A．
6．由题意，总体的均值为
，根据分层
抽样的性质，可得总体的⽅差为：
，故选D．
7．因为
满⾜
，所以
．因为
，所以
．
因为
，所以
是以3 为⾸项，以3 为公⽐的等⽐数列，所以
，故选C．
数学参考答案· 第2⻚（共8⻚）
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8．
，⼜
，则
．设
，显然
为增函数，
因为
，所以
⼜
，则
令
，
设
，则
，当
时，
单调递增，则
在
上单调递增，故
，解得
，故选B．
⼆、多项选择题（本⼤题共3 ⼩题，每⼩题6 分，共18 分．在每⼩题给出的四个选项中，有
多项符合题⽬要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD
【解析】
9．设等差数列
的公差为d，则
，故A 错误；因为
，
，所以
，解得
，故B 正确；对于选项C、D，因为
，所以
，⽽
；由于⼆
次函数
的图象开⼝向上，且对称轴为直线
．⼜因为
，所以当
时，
最⼩，故C、D 正确，故选BCD．
10．因为
，令
，所以
，
的对称轴为
，则
，∴
，A 正确；因为
，故
，
，⼜
关于
时称，故
，B 错误；
因为
，且
的周期为2，所以
所
以
是
的对称轴，所以
是函数的极值，其值不⼀定为0，故C 错误；因
为
，所以
为偶函数，D 正
确，故选AD．
数学参考答案· 第3⻚（共8⻚）
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11．A．
，则双曲线的标准⽅程为
，A 正确；B．由题意，令
，有
的⾯积
，B 错误；C．设
则
，⼜
，可解得
⼜
≥
，∴
≥
，∴
≤3，
故双曲线的离⼼率的取值范围为
，C 正确；D．由题意可知
，设A 点在B 点
上⽅，代⼊
解得
，在
中，
有
，解得
，双曲线的渐近线⽅程：
，D 正确，故选ACD．
三、填空题（本⼤题共3 ⼩题，每⼩题5 分，共15 分）
题号
12
13
14
答案
5，
（第⼀空2 分，第⼆空3 分）
【解析】
12．
的展开式中，
当
时，
，即第
3 项为
，所以含
的项的系数为
．
13．因为
，所以
，则
，解
得：
，所以曲线
在
处的切线⽅程的斜率为
，所以
．
则曲线
在
处的切线⽅程为：
．
14．分别连虚线
，得到折痕，所以折痕虚线段共5 条（如图1）．因为
是折出的正四⾯体的⼀条棱，在
中，
，即该正四⾯体的
棱⻓为2，所以
数学参考答案· 第4⻚（共8⻚）
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四、解答题（本⼤题共5 ⼩题，共77 分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本⼩题满分13 分）
解：（1）由题意得
……………………………………………………（2 分）
所以
．
令
，得
，
……………………………………………………………………………………（5 分）
所以
的单调递减区间为
………………………………（6 分）
（2）依题意由
，得
，故
，……………………（7 分）
所以
当
，即
时，
取最⼤值，
……………………………………………………………………………………（8 分）
故
取最⼤值1 时
的集合是
；……………………………（10 分）
当
，即
时，
取最⼩值
，
…………………………………………………………………………………（11 分）
故
取最⼩值
时
的集合是
…………………………（13 分）
16．（本⼩题满分15 分）
解：（1）因为
，
所以M 的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，且
……………………………………………………………………………………（4 分）
图1
数学参考答案· 第5⻚（共8⻚）
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即
…………………………………………………………………………（5 分）
曲线C 的标准⽅程为：
．……………………………………………………（6 分）
（2）由题意：设
，直线⽅程为：
，
联⽴
得
，由
得
，
，
．……………………………………………………（8 分）
⼜
．
………………………………………………………………………………（10 分）
设点O 到AB 的距离为
，
所以
，
………………………………………………………………………………（12 分）
，解得
或
（舍去），
………………………………………………………………………………（14 分）
所以，
．……………………………………………………………………（15 分）
17．（本⼩题满分15 分）
（1）证明：如图2，因为
为CD 的中点，
所以
．
⼜因为
且
，
所以四边形ABED 为菱形，
，
…………………………………………（2 分）
所以
，
⼜
，
平⾯
，
图2
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所以
平⾯POB．……………………………………………………………………（5 分）
同理可得：四边形ABCE 为菱形，
所以
，即
．……………………………………………………（6 分）
⼜
平⾯
，
所以平⾯
平⾯POB．……………………………………………………………（7 分）
（2）解：由（1）知
即
是边⻓为2 的等边三⻆形，
因为
所以
平⾯ABCE，
所以
两两互相垂直．
以O 为坐标原点，以
所在直线分别为x，y，z 轴，建⽴空间直⻆坐标系，
……………………………………………………………………………………（8 分）
已知
，
则
，
所以
．…………………（10 分）
设平⾯PBC 的法向量为
则
取
，得
，
，
故平⾯PBC 的⼀个法向量为
……………………………………………（12 分）
设直线
与平⾯
所成⻆为
，
，…………………………………………………（14 分）
所以
直线
与平⾯
所成⻆的余弦值为
．………………………………………（15 分）
18．（本⼩题满分17 分）
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解：（1）因为曲线
过点
，
所以
，即
．…………………………（2 分）
⼜因为
，所以
．……………………………………………………（4 分）
（2）当
时，
所以
………………………………………………………………（5 分）
令
则
，则
在
上单调递减，在
上单调递增．
………………………………………………………………………………………（7 分）
⼜因为
，
，
所以
，
，
单调递减，
，
，
单调递增，
………………………………………………………………………………………（9 分）
所以
…………………………………………………………………（10 分）
（3）
……………………………………………………………（11 分）
由（2）解答可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
……………………………………………………………………………………（12 分）
且
，
……………………………………………………（14 分）
若
恰有两个极值点，则
即
……………………………………………………………………………………（16 分）
所以a 的取值范围为
……………………………………………………（17 分）
19．（本⼩题满分17 分）
解：（1）当
时，泊松分布
近似于正态分布
，
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即
，要计算
，………………………………（2 分）
根据正态分布的性质，因
，
故
．…………………………………………………………（4 分）
（2）设
为配送延迟包裹数，则
，
因为
，
所以
…………………………………………………（7分）
那么，某天⾄少3起配送延迟的概率约为
…………………………………………………………………………………（10分）
（3）由
可得
……………………………（11分）
根据泊松分布的概率公式：
，可得
．
设
，
由
可知
在
上为减函数．……………………………（13 分）
因为
，所以
………………………（16 分）
所以
，即
，故
的取值范围为
………………………（17 分）
