文档内容
7.5 外接球（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故 ，
解得 ，故球的体积为： .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ， ， ， 平
面 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
在 中，由余弦定理得： ，
，
外接圆半径 ，又 平面 ，
三棱锥 的外接球半径 ，
则三棱锥 的外接球的表面积 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， 平面 ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
则 ，三棱锥 的外接球 截平面 所得小圆圆心 是正 的中心，
，
连 ，则 平面 ，取线段 的中点 ，则球 的球心 在过E垂直于直线 的垂面上，连，如图，则四边形 是矩形， ，因此，球 的半径 有：
，
所以三棱锥 外接球的表面积 .故选：C
3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱 ，则
球表面积为___________.
【答案】
【解析】设三角形ABC和三角形 的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，
连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r， 可得
，由正弦定理得， ，
而在三角形OCD中，可知 ，
即 ，因此三棱柱外接球的表面积为 ．
故答案为：考点二 墙角模型
【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3， ，1，其顶点都在球O的球面上，
则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球O的半径为 ，∴体积 ．故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，底面ABCD是矩形，
，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则 ，即 ．
由题意，易知 ，得 ，
设 ，得 ，解得 ，
所以四棱锥P-ABCD的体积为 ．
故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中， ， 底面 ， ，
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥 放在长、宽、高分别为 ， ， 的长方体中，
则三棱锥 的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径 ，
∴该球的体积为 .故选：B
3．（2022·海原县）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ，
， ， ，则球 的表面积为___________.
【答案】
【解析】 平面 ， 平面 ， ， ，
又 ， ， ，
， ，则可将三棱锥 放入如下图所示的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥 的外接球，
球 的半径 ，
球 的表面积 .故答案为： .
考点三 斗笠模型
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上
是边长为 的正三角形，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上， 是边长为 的正
三角形，如图所示：
取BC的中点D，点H为底面的中心，所以
设外接球的半径为R，所以 ，
利用勾股定理可得， 解得
则球 的表面积为
故选：B.【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比
为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为 ，因母线与轴的夹
角为60°，可得圆台高为1，则 ；
设圆台外接球的半径为 ，球心到下底面的距离为 ，易得圆台两底面在球心同侧，则 ，
且 ，解得 ，则该圆台外接球的表面积为 .故选：C.
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则
该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】【解析】因为 ，所以正三棱锥外接球半径 ，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为 ，过 向底面作垂线垂足为 ，
因为 是正三棱锥，所以 是 的中心，
所以 ， ,
又因为 ，所以
，
所以 ，
令 ，
解得
所以 在 递增，在 递减，
故当 时， 取最大值， .
故答案为： .
3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由图，设 ，则 ，而 ，
因为PM⊥PC，所以由勾股定理得 即 解得 ，
由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，
假设为O点，则 ，因为 ,所以 ，
又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以 ,
在三角形ODC中，由勾股定理得 ,即 ， 解得 ，
所以三棱锥P－ABC外接球的体积为 .故选：C
考点四 麻花模型
【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ， ， ，将三棱锥 放到长方体中，可得
长方体的三条对角线分别为 ，2， ，
设长方体的长、宽、高分别为 ，
则 ， ， ，
解得 ， ， ．
所以三棱锥 外接球的半径 ．
三棱锥 外接球的体积 ．故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， ，则
三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】三棱锥 中， ， ， ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， ，则长方体的对角线长等于三棱锥 外接球的
直径，如图，设长方体的棱长分别为 ， ， ，则 ， ， ，则 ，
因此三棱锥 外接球的直径为 ，所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中， ， ，二面角A-
BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12π B．13π C． D．
【答案】B
【解析】如图1，取 中点 ，连接 ，则 ， ，又 ， 平面
，所以 平面 ，
，所以 ，
又 ，
， ，
又由 ， ，知 为二面角 的平面角，此角为钝角，
所以 ，所以 ，
因此四面体 可以放置在一个长方体中，四面体 的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，
此长方体的外接球就是四面体 的外接球，设长方体的棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
所以外接球的直径为 ， ，
球表面积为 ．
故选：B．
考点五 L模型
【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为 外接圆的圆心， ，
∴O在CD上，且 ，
．，D为AB的中点，
，
∵平面 平面ABC，平面 平面 ， 平面ABC，
平面PAB．又DA，DB， 平面PAB，
， ， ．
在 中， ，D为AB的中点，
．
．
∴O即为三棱锥 外接球的球心，且外接球半径 ，
∴该三棱锥外接球的表面积 ．
故选：B
【一隅三反】
1（2022·江西高三）在三棱锥 中， 是等边三角形，平面 平面
， ，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 中，
，
所以 ， ，
设 是 中点，则 是 外心，又 是等边三角形，所以 ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 的外心即中三棱锥 外接球的球心，
所以球半径 ，球体积为 ．故选：C．
2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面 平面 ，且
，其外接球表面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因 ，则 ，有 平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O，正△ABC中心为O，
2 1
在平面CDE内分别过O，O作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有OO⊥平面ABC，平面OO⊥平面
1 2 1 2
ABD，
由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线OO和直线OO上，即点O是球心，连OA，OA，OA
1 2 1
即为球O的半径，
因平面 平面 ，则 ，而 ，
即有四边形OOEO是正方形，则 ，
1 2
中， ，则 ，
所求外接球的表面积 .故选：B
3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥 中，平面 平面
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图，取 中点 ， 中点 ，连接 ， 是等边三角形，则
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
过 作 平面 ，则 ，
因为 ，所以三棱锥 的外接球的球心在 上，设球心为 ，连接 ，设外
接球半径为 ，
由已知 ， ， ， ，
在直角梯形 中， ， ， ，
所以球表面积为 ．故选：C．
考点六 怀表模型
【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中， ，现将 沿BD折起到
的位置，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A．60π B．45π C．30π D．20π
【答案】A
【解析】当三棱锥 的体积最大值时，平面 平面 ，如图，取 的中点为 ，连接 ，则 .
设 分别为 ， 外接圆的圆心，
为三棱锥 的外接球的球心，
则 在 上， 在 上，且 ,
且 平面 ， 平面 .
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，同理
四边形 为平行四边形
平面 ， 平面
，即四边形 为矩形.
外接球半径
外接球的表面积为
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，
二面角 是150°，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】如图，作 平面ABC，垂足为E，连接BE，记 ，连接PD.
由题意可得D为AC的中点.
在 中， ，D为AC的中点，
因为 ，所以 ，则 .
因为二面角 是150°，所以 ，
所以 ， .
因为 是边长为 的等边三角形，且D为AC的中点，所以 .
设 为 外接圆的圆心，则 .
设三棱锥 外接球的球心为O，
因为 ，所以O在平面ABC下方，
连接 ，OB，OP，作 ，垂足为H，
则 ， .
设三棱锥 外接球的半径为 ，
，即 ，解得 ，故三棱锥 外接球的表面积是 .
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， 为直角三角形，又 ，
所以 ，
因为 为正三角形，所以 ，
连接 ， 为 的中点，E为 中点，
则 ，所以 为二面角 的平面角
所以 ．
因为 为直角三角形，E为 中点，
所以点 为 的外接圆的圆心，
设G为 的中心，则G为 的外接圆圆心．过E作面 的垂线，过G作面 的垂线，设
两垂线交于O．
则O即为三棱锥 的外接球球心．设 与 交于点H，
，所以 , ，∴ ．所以 ，故选：C.
考点七 矩形模型
【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的
二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线 上,且半径为 ，
设矩形的的长力x,宽为y则 ，所以 ，
又 ，由基本不等式知: ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
，故选：B
【一隅三反】
1．（2022.江西）在矩形 中 ， ，沿对角线 进行翻折，则三棱锥 外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在翻折过程中， 始终不变，
所以 的中点到 ， ， ， 四点的距离始终相等，三棱锥 外接球的直径为 ，所以外接球的表面积为 ，故选：D
2．（2022·天津河）将长、宽分别为 和 的长方形 沿对角线 折成直二面角，得到四面体
，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点，连接 、 ，如下图所示：
由题意 ，
因为 ， 为 的中点，所以， ，
所以， 为四面体 的外接球的球心，且球 的半径为 ，
因此，四面体 的外接球的表面积为 .故选：A.
3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为
“鳖臑”.如图所示的鳖臑 中， 面 ， ，若 ， ，且顶点
均在球 上，则球 的表面积为______.【答案】
【解析】由题意可知：球 为鳖臑 的外接球，
面 ， 面 ， ， ，
又 ， 面 ， ， 面 ，
又 面 ， ；
取 中点 ，连接 ，
， ，同理可知： ，
点 与球 的球心 重合，球 的半径 ，
球 的表面积 .故答案为： .
考点八 内切球
【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，
，若三棱锥 的内切球 的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接 ，并延长交底面 于点 ，连接 ，并延长交 于 ，
在三棱锥 中， ， ，
三棱锥 是正四面体， 是 的中心， 平面 ，
三棱锥 的内切球 的表面积为 ，
，解得球 的半径 ，
设 ，则 ， ，
，
， ， ，解得 ， ，
此三棱锥的体积为 .故选：D.
【一隅三反】1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，且
， ，则正三棱锥 的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设点 是点 在底面 上的射影，则 平面 ， 平面 ，
所以 ，由三棱锥 为正三棱锥可得，点 为底面 的中心，
所以 ，又 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 ， 平面 ，
所以 ， ，又三棱锥 是正三棱锥，
所以三条侧棱两两互相垂直，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以该三棱锥的表面积 ，设内切球的半径为 ，又该三棱锥的体积 ，
所以 ，
所以此内切球的表面积为 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 平面 ，且
，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内
切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
又 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以 均为直角三角形，
设球 的半径为r，则 ，
而 ， ，
所以 ，解得 ，
所以球 的表面积为 ，
故选：A.3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥 中， 是正方形 的中心， 底面 ，
， ，则四棱锥 内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为 ，连接 .
底面 ， .，
，
， .
设四棱锥的内切球的半径为 ，球心为 ，
由 ，
得 ，
即 ，解得 ，
故四棱锥 内切球的体积为 .故选：B.
