7.2空间几何中的垂直（精讲）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

7.2 空间几何中的垂直（精讲）（基础版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 线线垂直 【例1】（2022·河南）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形， ， ， ，平面 平面ABCD． (1)证明： ； (2)若 ，E为AD的中点，求三棱锥 的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明:在 中，由余弦定理，得 ， 可得 ，则 ，即 ． 又因为平面 平面ABCD，且平面 平面 ， 所以 平面PAC, 又因为 平面PAC，所以 ． (2)由（1）可知 ，而E为AD的中点，故 ． 又 ，所以 ．又 ，故 平面PEC． 又 平面PEC，所以 ． 又 ， 平面ABCD，故 平面ABCD． 因为 平面ABCD，所以 ． 因为 ，故 ， 在 中， ，故 , 故 ． 【一隅三反】 1．（2022·北京）如图，在四棱锥 中，平面 底面 ，底面 为平行四边形， .(1)求证： ； (2)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，指出点 的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，点 为棱 的中点 【解析】(1)因为平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以 . (2)解：存在，点 为棱 的中点. 连接 ，交 于点 ，连接 ，如图所示： 因为底面 为平行四边形，所以点 为 的中点. 在 中，因为点 分别为 的中点. 所以 ，且 . 又因为 平面 平面 ，所以 平面 . 2．（2022·吉林·东北师大附中）如图，四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， ， ， 为等边三角形，平面 平面ABCD. (1)证明： ；(2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】(1)取 中点 ，连 ， 因为 ， ， ， ， 所以四边形 为正方形， 为等腰直角三角形，则 ， ， 因为面 面 ，面 面 ， 面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 . (2)取 中点 ，连 ，则 ，且 ， 因为平面 平面 ，面 面 ， 面 ， 所以 平面 ，又 面积为 ， 三棱锥 的体积为 . 3．（2022·四川成都）如图，四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ， 在底面 内的射影分别为 ， .求证：【答案】证明见解析 【解析】因为 在底面 内的射影为 ，所以面 面 ， 又因为 ，面 面 ， 面 所以 面 ， 又因 面 因此 ， 同理 ， 又 , 面 , 面 所以 面 ， 又 面 ,所以 ， 连接 ，易得 ， ，又 ， 所以 所以 故 ， 又 , 面 , 面 因此 面 ， 又 面 即 ； 考点二 线面垂直 【例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 ，底面 为梯形，且 ， ，等边三角形 所在的平面垂直于底面 ， .求证： 平面 ；【答案】证明见解析 【解析】证明：如图所示，取 中点 ，连接 ， 是正三角形， 为 中点， 又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ， ，且C ， 平面 ， 平面 ；. 【一隅三反】 1（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，四边形 为菱形， ，且平面 平面 .证明： 平面 ； 【答案】证明见解析. 【解析】连接BD交AC于O，如图，四边形 为菱形，所以 ， 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ， ，故 ， 又 平面 ，所以 平面 . 2．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中 过 点作 的垂线交 的延长线 于点 ， .连接 交 于点 ，如图1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置.如图 2.证明：直线 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】证明：图1中，在 中， 所以 .所以 也是直角三角形， ，在图2中， 所以 平面 . 3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点，且 ， ， ．证明： 平面 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图， 连接AF， 由题意知 为等腰三角形， 而 为 的中点，所以 ． 又因为平面 平面 ，且 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 而 平面 ，所以 ． 而 ， 平面 ，所以 平面 ． 连接 ，则 ， ， 而 ， ，所以 且 ， 所以 是平行四边形，因此 ，故 平面 ． 考点三 面面垂直 【例】（2022·全国·高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形 中， ，将它 沿着两条高 折叠成如图2所示的四棱锥 （ 重合），点 分别为线段 的中 点. (1)证明： 平面 ； (2)求证：平面 平面 . 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)证明：取EC的中点G，连接NG，BG， 因为点 分别为线段 的中点.所以 ， 又 ，所以 ，所以四边形MBGN是平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； (2)证明：因为等腰梯形 中， ，所以 ， 所以在 中满足 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 .【一隅三反】 1．（2022·四川宜宾）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面 ABC所成角的正切值为 ． (1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证： 平面ABC； (2)求证：平面BCD⊥平面ACD． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的 中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . （2）在正方形 中， ，因平面ABED⊥平面ABC，平面 平面 ， 平面 ，则 平面 ，即 是 与平面 所成的角，有 ，解得 ， 即有 ，则 ，即 ，而 ，则有 平面 ，又 平面 ，于是得 ，因 ， 平面 ，则 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .2．（2022·四川成都）如图，三棱锥 中，等边三角形 的重心为O， ， ， ，E，F，M分别是棱BC，BP，AP的中点，D是线段AM的中点. (1)求证： 平面DEF； (2)求证：平面 平面PBC. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)连接PE，因为 为等边三角形，且O为重心，所以P、O、E三点共线，且 ， 因为M为PA中点，D是线段AM的中点，所以 ，所以 ，所以 ， 因为 平面DEF， 平面DEF，所以 平面DEF (2)连接AE、BD，如图所示因为 为等边三角形，E为BC中点， 所以 ， 因为 ， ，E为BC中点， 所以 ， 因为 平面PAE， 所以 平面PAE， 因为 平面PAE， 所以 ， 在 中， ， ， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 在 中， ， 由余弦定理得 ， 在 中， ， ， 所以 ， 在 中， ， ，所以 ，即 ， 因为 平面PBC， 所以 平面PBC， 因为 平面DEF， 所以平面 平面PBC 3．（2022·河南·信阳高中）如图所示，直三棱柱 中， 为 中点． (1)求证： 平面 ； (2)若三棱柱 上下底面为正三角形， ， ，求证：平面 平面 ． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】(1)连接 ，与 相交于点F，连接MF，则 为 的中点， 因为 为 中点，所以MF是 的中位线，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面(2)因为直三棱柱 上下底面为正三角形， ， ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 由三线合一可得： ， 又因为 平面ABC， 平面ABC， 所以 ， 因为 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以 因为 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 4．（2022·北京大兴）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为菱形， 分别为 ， 的中点.(1)求证： 平面 ； (2)求证： 平面 ； (3)若平面 平面 ，求 的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【解析】(1)因为 平面 ， 平面 ，所以 . 又因为底面 为菱形，所以 . 又因为 ，所以 平面 . (2) 取 为 的中点，联结 . 在 中， 分别为 的中点， 所以 . 因为底面 为菱形，且 为 的中点， 所以 .所以 . 所以四边形 为平行四边形. 所以 . 因为 平面 平面 . 所以 平面 . (3)因为 平面 ， 平面 ，所以 . 因为平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，所以 平面 . 所以 . 因为底面 为菱形，且 为 的中点，所以 .所以 则 是等边三角形.所以 .