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§4.6 解三角形
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用
正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
(2)a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 (1)＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(3)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin
C；
(7)cos A＝；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
变形 cos B＝；
(5)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C ；
cos C＝
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·h(h 表示边a上的高)．
a a
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅
垂平面内)所成的角中，目标视线在水
仰角与俯角
平视线上方的叫做仰角，目标视线在水
平视线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是0°≤θ<360°正北或正南方向线与目标方向线所成的 例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
坡角与坡比 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度
之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示 三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？
提示 在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B，由sin A>sin B也可推出A>B，故A>B是
sin A>sin B的充要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2<0时，三角形ABC为钝角三角形．( √ )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ×
)
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.( × )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝
＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝，故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 ．
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S ＝×2×2＝2.
△ABC
4.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得
塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m.
答案 12
解析 设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(x)2－2·x2cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
题组三 易错自纠
5．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则
B等于( )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
答案 BC
解析 根据正弦定理＝得，
sin B＝＝＝，
由于b＝>1＝a，
所以B＝45°或B＝135°.
故选BC.
6．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在①b2＋ac＝a2＋c2；②acos B＝bsin A；③sin B＋cos B＝这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A＝，b＝，求△ABC的面
积．
解 (1)若选择①b2＋ac＝a2＋c2，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
(2)若选择②acos B＝bsin A，
则sin Acos B＝sin Bsin A，
因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，
因为B∈(0，π)，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，
所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
(3)若选择③sin B＋cos B＝，
则sin＝，所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，所以B＋∈，
所以B＋＝，所以B＝；
由正弦定理＝，
得a＝＝＝，
因为A＝，B＝，
所以C＝π－－＝，所以sin C＝sin ＝sin
＝sin cos ＋cos sin ＝，
所以S ＝absin C＝×××＝.
△ABC
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，
基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求
得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条
件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4 B. C. D．2
答案 A
解析 ∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
故选A.
(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B等于( )
A. B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，
得AB＝3，所以AB＝BC.
过点B作BD⊥AC，交AC于点D，如图，
则AD＝AC＝2，
BD＝＝，
所以tan∠ABD＝＝＝，
所以tan∠ABC＝＝4.
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
(2)(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(
)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
命题点2 三角形面积的计算
例3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，
则△ABC的面积为 ．
答案 6
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝
(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝
6.方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2
－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝
×2×6＝6.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝，a＝2，则△ABC面积的最大
值为 ．
答案 2＋
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，
所以bc≤4(2＋)，
所以S ＝bcsin A≤2＋，
△ABC
故△ABC面积的最大值为2＋.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为
( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin
Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S ＝××＝.
△ABC题型三 解三角形应用举例
命题点1 测量距离问题
例4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙
秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的
口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝
∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
答案 80
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×
＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80，故图中海洋蓝洞的口径为80.
命题点2 测量高度问题
例5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其
中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从
前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人
目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标
杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线
上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共
线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也
共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
答案 A解析 因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝.因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，
所以＝.又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30 750步，又＝，
所以AH＝＝1 255(步)．故选A.
命题点3 测量角度问题
例6 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正
以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好
用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海
里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，
所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包
括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具
体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象
出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽
象的数学素养．
跟踪训练3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山
顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，
仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.答案 100
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300 m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 (m)．
课时精练
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin
B，且c＝2b，则等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.
又c＝2b，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，
得＝.
2．(2021·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，
设AB边上的高为h，则h等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，则sin A＝＝＝＝，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故选D.
3．(2021·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C．2 D．2
答案 B
解析 因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.
所以BC＝.
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝
4csin C，cos A＝－，则等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝
＝＝－，
∴＝6.
5．(多选)某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰
好 km，那么x的值是( )
A. B．2 C．3 D．6
答案 AB
解析 如图，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°.
由余弦定理得3＝x2＋9－2×3×x×cos 30°.
解得x＝2或x＝，
故选AB.
6．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是( )
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若△ABC为锐角三角形，有A＋B>，则sin A>cos B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B，则>A>－B>0，∴sin A>cos B，故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B＋>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝，
所以在△ABC中，由余弦定理得
AB＝＝＝，
所以AB＝AC，所以B＝，
所以在△BDC中，由正弦定理可得
CD＝＝＝.
16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的
区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN
＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离
最远)?
解 设∠AMN＝θ，在△AMN中，
＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝
sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
当且仅当2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
