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解密 01 讲：集合
【考点解密】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的
子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B或B A.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
所有属于集合A或属于集合B的 {x|x∈A，
并集 A ∪ B
元素组成的集合 或x∈B}
所有属于集合A且属于集合B的 {x|x∈A，
交集 A ∩ B
元素组成的集合 且x∈B}
全集U中不属于集合A的所有元
{x|x∈U，
补集 素组成的集合称为集合A相对于 ∁ A
U
且x∉A}
全集U的补集
【方法技巧】
集合基本运算的方法技巧：
（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；
（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.
【核心题型】
题型一：元素与集合
1．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知集合 ，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算出集合 ，在利用复数的四则运算化简各选项中的复数，即可得出合适的选项.
【详解】当 时， ， ， ， ，则 ，
， ，
， ，
故选：B.
2．（2022·海南·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合 ，再根据集合 中 和 ，即可求出结果.
【详解】因为集合 ，所以 ，
在集合 中，由 ，得 ，即 ，
又 ，所以 ， ， ，即 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，且 有 个子集，则实数 的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合 ，由子集个数可确定 中元素仅有 个，从而得到 ，由此得到 的范
围.
【详解】由题意得： ，
有 个子集， 中的元素个数为 个；
， ，即 ， 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
题型二：集合中元素的特性
4．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则集合 元素的个数为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据集合B的描述，结合对数函数性质列举出元素即可.
【详解】当 时，y＝1；
当 时，y＝0；
当x＝3时， ．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知集合 ， 、 、 为非零实数 ，则
的子集个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 都是正数， 都是负数， 中有一个是正数，另两个是负数， 中有两个是正数，另
一个是负数四种情况分别得出m的值，从而求得集合M的元素的个数，由此可得出集合M的子集的个数.
【详解】因为集合 ， 、 、 为非零实数 ，所以当 都是正数时， ；
当 都是负数时， ；
当 中有一个是正数，另两个是负数时， ，
当 中有两个是正数，另一个是负数时， ，
所以集合M中的元素是3个，所以 的子集个数是8，
故选：D.
6．（2022·河南郑州·高三阶段练习（理））定义集合运算： ，设 ，
，则集合 的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
【答案】A
【分析】由题设，列举法写出集合 ，根据所得集合，加总所有元素即可.
【详解】由题设知： ，
∴所有元素之和 .
故选：A.
题型三：集合的表示方法
7．（2022·陕西·交大附中模拟）已知 表示正整数集合，若集合 ，则 中
元素的个数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】D
【分析】根据集合描述的几何意义，列举出第一象限内符合要求的点坐标，即可知元素的个数.
【详解】由题设 ，又 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
同理， 均属于集合A，
所以第一象限中有13个点属于集合A.
故选：D8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】由椭圆的性质得 ，再列举出集合的元素即得解.
【详解】解：由椭圆的性质得 ，
又 ,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，则B中所含元
素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据集合B的形式，逐个验证 的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】 时， ，3，4，
时， ，3，
时， ，
时，无满足条件的 值；故共6个，
故选：D．
题型四：集合的基本关系
10．（2022·四川泸州·一模）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得集合 ，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择.
【详解】 ，又 ，故 ， ， ， ，故A正确，其它选项错误.
故选：A.
11．（2022·湖南·模拟预测）已知非空集合 ， 其中 ，
若满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可设 ，根据题设条件可得 满足的条件，再根据根分布可求实数 的取值范围.
【详解】 ，
因为 非空，故可设 ，则 为方程 的两个实数根.
设 ，
又 ，
因为 ， 故 ，所以 ，解得 .
故选：A.
12．（2022·青海·模拟预测（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式化简集合A，解一元二次不等式化简集合B，再利用交集、并集的定义结合性质求解作答.
【详解】解不等式： ，即 ，解得： ，则 ，解不等式： ，解得： ，则 ，
因 ，所以 .
故选：A
题型五：集合的交并补
13．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的定义域化简集合 ，再根据集合交集的定义求解即可.
【详解】由对数函数的定义域可得 或 ，
所以 或 ，
所以 ，
故选：C.
14．（2022·重庆市永川北山中学校模拟预测）设P和Q是两个集合，定义集合 且 ，如果
， ，那么 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵ ， ，
∴ .
故选：B.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知有限集X，Y，定义集合 ，且 ， 表示集合X中的
元素个数.若 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A
【分析】利用新定义及并集运算，即可得到结果.
【详解】∵
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：A
题型六：Venn图
16．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）某单位周一､周二､周三开车上班的职工人数分别是15，12，9.
若这三天中只有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将问题转化为韦恩图，结合题意设出未知量，列出方程，求出答案.
【详解】
作出韦恩图,如图,
由题意得 ,则有 ,
所以 ,即 ，
因此要让 最大，则 需要最小，
若 则 不满足题意，
若 则 不满足题意，
若 则 满足题意，
所以这三天都开车上班的职工人数的最大值是4，
故选:B.17．（2007·全国·高考真题（理））如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合 的公共部分，但不在集合 内，表示为 ，
故选：C．
18．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分
丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问
题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答
对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为
（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多
会有 人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有 人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
题型七：集合新定义
19．（2022·四川·模拟预测（理））设 是 的两个非空子集，如果存在一个从 到 的函数 满足：(i)
；(ii)对任意 ，当 时，恒有 ，那么称这两个集合“保序同构”，以下
集合对不是“保序同构”的是（ ）
A． B． ， 或C． D．
【答案】D
【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两
个集合满足题目所给出的条件的函数，即 是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”
的，即可得到要选择的答案．
【详解】解：对于 ， ，存在函数 ， ，满足： ； 对任意 ，
，当 时，恒有 ，所以选项A是“保序同构”；
对于 ， 或 ，存在函数 ，满足：
； 对任意 ， ，当 时，恒有 ，所以选项B是“保序同构”；
对于 ， ，存在函数 ，满足： ；
对任意 ， ，当 时，恒有 ，所以选项C是“保序同构”；
对于选项D, ,不存在函数 ，不是“保序同构”，所以选项D不是“保序同构”.
故选：D．
20．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）设A是任意一个n元实数集合，令集合 ，记集合
B中的元素个数为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】利用 排除选项D；利用 排除选项AC；举例验证选项B正确.
【详解】当集合A中的元素两两互质时， ．
所以对于选项D，当 时， ，故选项D错误．当 时，若 ，其中 ，有 ，故 ．
对于选项A， ，故 ．故选项A错误．
对于选项C， ，则 .故选项C错误．
对于选项B， ，判断正确
（事实上，当 时，要使 最小， ，记 ，其中 ，当 时，
有 ．）
故选：B
21．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ，定义：集合 ，
集合 ，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，则下列
结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B：不妨设 ，可得 ，根据集合 的定义
可得Y中至少有以上5个元素，不妨设 ，则集合S中至
少有7个元素，排除选项A，若 ，则集合Y中至多有6个元素，所以 ，排除选
项B；对C：对 ，则 与 一定成对出现，根据集合 的定义可判断选项C；对D：取 ，
则 ，根据集合 的定义可判断选项D.
【详解】解：不妨设 ，则 的值为 ，
显然， ，所以集合Y中至少有以上5个元素，不妨设 ，
则显然 ，则集合S中至少有7个元素，
所以 不可能，故排除A选项；
其次，若 ，则集合Y中至多有6个元素，则 ，故排除B项；
对于集合T，取 ，则 ，此时 ， ，
故D项正确；
对于C选项而言， ，则 与 一定成对出现， ，所以 一定是偶数，故C项
错误.
故选：D.
题型八：集合的综合问题
22．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知 ．
(1)当 时，求 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围．
【答案】(1) ．
(2) ．
【分析】（1）通过讨论 的范围解不等式.
（2）结合 的解集包含 来化简不等式，进而解出不等式，再利用解集包含 求出a的取值范围.
【详解】（1）当 时，
当 时，不等式为 ，解得 ，故 ；
当 时，不等式为 ，解得 ，无解；当 时，不等式为 ，解得 ，故 ，
综上所述，不等式的解集为 ．
故答案为： .
（2）
的解集包含 ，即 在 上成立，
即 的解集包含 ， 即 ，解得 ，
由已知可得 解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
23．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知函数 的定义域为集合 ，关于 的不等
式 的解集为 ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 或 .
(2)
【分析】（1）由题知 ， ，再根据集合运算求解即可；
（2）由题知 ，再分 时 和 时 两种情况讨论求解即可.
（1）
解：要使函数 有意义，则 ，解得 ，所以 ，所以 或 ，
当 时， ，
所以 或 ．
（2）
解：由（1）得 ， 或
因为 是 的充分条件，则 ，
①当 时， ，则 ，所以 ；
②当 时， ，则 ，所以 ；
综上所述，实数 的取值范围是 ．
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，定义集合 ，集合
．
(1)若 ，写出相应的集合 和 ；
(2)若集合 ，求出所有满足条件的 ；
(3)若集合 只含有一个元素，求证： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由 、 解得 ，可得 ， ；
（2）由 得 或 ，然后由 ，
，方程 只有一个实数解0，得 ， 转化为 有唯一实数解0，可得答案；
（3）由条件， 有唯一解，得 有解，分 有唯一解 、 有两个解 ，结
合 的图像和实数解的个数可得答案.
【详解】（1） ， ，由 解得 或 ，由 解得 ，所以 ，
．
（2）由
，
得 或 ，
， ，而方程 只有一个实
数解0，所以 ，
即只需 有唯一实数解0，所以 ．
（3）由条件， 有唯一解，所以 有解，
①若 有唯一解 ，则 ，且 有唯一解，结合 图像可知 ，所以 ，所
以 ．②若 有两个解 ，
则 ，且两个方程 ， 总共只有一个解，结合 图像可知 有唯一解，
所以 ， ，所以 ，且 的对称轴 ，所以 ，所以 ．
综上， ．
【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定
义的理解能力及计算能力.
【高考必刷】
一、单选题
25．（2022·河北·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合 ， ，再根据并集的定义求解即可．
【详解】 ，
，
，
故选： ．
26．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））已知集合 ， ，
则集合 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】∵ ，
∴ ，即集合 的元素个数为3.
故选：C.
27．（2022·广东韶关·一模）设全集 ，集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合B，再由并集与补集的定义求解即可
【详解】由题意， ，
又 ，
所以 ，
又所以 ，
故选：B.
28．（2022·吉林长春·模拟预测）已知全集为R，集合 ， ，则Venn图中阴影
部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定集合 中的元素，然后根据Venn图表示的集合进行计算．
【详解】 或 ， ，
Venn图中阴影部分所表示的集合为 ．
故选：D．
29．（2022·四川资阳·一模（理））已知全集 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算 ， ，再计算补集得到答案.
【详解】 ，故 ，故 .
故选：D
二、多选题
30．（2023·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素 ，分析 与集合 、 、 的关系，即可得出结论.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 或 ，
故阴影部分所表示的集合为 或 .
故选：AD.
31．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A，B均为R的子集，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案
【详解】如图所示
根据图像可得 ,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
32．（2022·湖南·模拟预测）如果一个无限集中的元素可以按照某种规律排成一个序列（或者说，可以对这个集合
的元素标号表示为 ），则称其为可列集．下列集合属于可列集的有（ ）
A．
B．ZC．Q
D．R
【答案】ABC
【分析】根据自然数、整数、有理数、实数的性质，结合题中定义逐一判断即可.
【详解】令 即可表示所有自然数，故集合N可标号表示为 ，故 为
可列集，同理，Z为可列集，
对于Q，整数与分数统称有理数，由于其区间 可由可列个 区间组成，故可只讨论区间
内的情况．
令 ，当分母为1时，分子只有一种取值，故记作 ，同理 ，
综上，集合Q可标号表示为 ，故Q为可列集，
有理数与无理数统称实数，而无限不循环小数是无理数，所以实数不是可列集，
故选：ABC
33．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 ， ，均有
，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设 ， ， ，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A B
C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，
再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.
34．（2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试）设 表示不大于 的最大整数，已知集合
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由对数运算可知 ， ，由 的定义可知AC正误；解不等式求得
集合 ，由交集和并集定义可知BD正误.
【详解】对于A， ， ， ，A正确；
对于C， ， ，C错误；对于BD， ， ，
， ，BD正确.
故选：ABD.
三、填空题
35．（2007·湖北·高考真题（理））设A、B为两个集合．下列四个命题：
① 不包含于 对任意 ，有 ；
② 不包含于 ；
③ 不包含于 不包含于 ；
④ 不包含于 存在 ，使得 ．
其中真命题的序号是________________．（把符合要求的命题序号都填上）
【答案】④
【分析】根据集合之间的关系，对每个选项进行逐一分析， 即可判断.
【详解】对①：取 ，满足 不包含于 ，但存在 ，有 ，故①错；
对②：取 ，满足 不包含于 ，但 ，故②错；
对③：取 ，满足 不包含于 ，但 包含于 ，故③错；
对④： 不包含于 存在 ，使得 正确，故④正确；
故答案为：④.
36．（2022·陕西·大荔县教学研究室一模）设三元集合 ，则 _________.
【答案】1
【分析】根据集合相等求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ， ，
所以 ，所以 ， ，
此时两个集合都是 ，符合题意.所以 .
故答案为：
37．（2020·江苏省天一中学一模）设集合 ，则 ___________.
【答案】
【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
根据集合交集的概念与运算，可得 .
故答案为： .
38．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，其中 且 ，函数 ，且对任
意 ，都有 ，则 的值是_________．
【答案】 或3.
【分析】先判断区间 与 的关系可得 ，再分析 时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可
确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得 和 即可.最后分析当 时，
，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间 与 的关系，因为 ，故 或 .因为当 ，即 时，由题意，当
时， ，故不成立；故 .
再分析区间 与 的关系，因为 ，故 或 .
①当 ，即 时，因为 在区间 上为减函数，故当 ， ，因为 ，而 ，故此时 ，即 ，因为 ，故 即
，故 ，解得 ，因为 ，故 .此时区间 在
左侧， 在 右侧.故当 时， ，因为 ，故 ，所以
，此时 ，故 ，解得 ，因为 ，故 ；
②当 时， 在区间 上单调递减，易得
，故此时 且 ，即 且
，所以 ，故 ，故 ，即 ， ，因为 ，故
；
综上所述， 或3
故答案为： 或3.
