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回扣 1 集合、常用逻辑用语、不等式
1.集合
(1)集合间的关系与运算
A∪B=A⇔B⊆A;A∩B=B⇔B⊆A.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2 n , 2 n - 1,2 n - 1,2 n - 2 .
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若
已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.
2.全称量词命题、存在量词命题及其否定
(1)全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定为存在量词命题:∃x∈M,綈p(x).
(2)存在量词命题:∃x∈M,p(x),其否定为全称量词命题:∀x∈M,綈p(x).
(3)命题与其否定真假相反.
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法:若p⇒q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p⇒q,且q p,则p是
q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
⇏
(2)集合法:利用集合间的包含关系.例如,命题p:x∈A,命题q:x∈B,若A⊆B,则p是
q的充分条件(q是p的必要条件);若AB,则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分
条件);若A=B,则p是q的充要条件.
(3)等价法:将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
4.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤:一化(将二次项系数化为正数);二判(判断对应方程Δ的符号);
三解(解对应的一元二次方程);四写(大于取两边,小于取中间).
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:(1)二次项系
数,它决定二次函数的开口方向;(2)判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况;(3)在有根的条件下,要比较两根的大小.
5.一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是.
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是.
6.分式不等式
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);
≥0(≤0)⇔.
7.基本不等式
(1)基本不等式:≥(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.
基本不等式的变形:
①a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立;
②2≥ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件.
1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如{x|y=lg x}
——函数的定义域;{y|y=lg x}——函数的值域;{(x,y)|y=lg x}——函数图象上的点集.
2.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素
的互异性.
3.空集是任何集合的子集.解题时勿漏∅的情况.
4.判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围,还可以从
集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运算.
5.解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时,易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解,
要注意分a>0,a<0进行讨论.
6.求解分式不等式时应正确进行同解变形,不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0,而忽视
g(x)≠0.
7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”导致错解,如求函
数f(x)=+的最值,就不能利用基本不等式求最值;求解函数y=x+(x<0)的最值时应先转化
为正数再求解.