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微专题08 导数压轴小题
【秒杀总结】
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值 或 恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的
抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现 形式，可考虑构造 ；（2）若出现
，可考虑构造 ；（3）若出现 ，可考虑构造 ；（4）若
出现 ，可考虑构造 .
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数
的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的
不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便
于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难
研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2023·重庆市朝阳中学高三月考）设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 ，在函数 图象上任
取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2023•杭州模拟）已知函数 在区间 ， 上的最大值为 ，当实数 ， 变化时，
最小值为 ，当 取到最小值时， ．
例4．（2023春•湖州期末）若存在正实数 ， 使得不等式 成立，则
A． B． C． D．
例5．（2023·河北冀州中学高三期中（理））已知函数 ，若
对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 _________.
例6．（2023·全国·高三课时练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函
数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．例7．（2023·河北武强中学高三月考）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足
且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2023·全国·高三课时练习）设函数 满足 则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
例9．（2023•天河区二模）若 ， ， 均为任意实数，且 ，则 的
最小值为
A． B．18 C． D．
例10．（2023•湖北模拟）设 ．其中 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）若e是自然对数的底数， ，
则整数m的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）若存在实数 和 ，使得函数
和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 恒成立，则称直线 为
和 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 和 之间没有“划分直线”
B． 是函 和 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． 是函数 和 之间的一条“划分直线”
D．函数 和 之间存在“划分直线”，且 的取值范围为
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知 ，若有且只有
两个整数解使 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知曲线 ： 上一点 ，曲线 ：
上一点 ，当 时，对于任意 都有 恒成立，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若已知函数 ， ，
，若函数 存在零点（参考数据 ），则 的取值范围充分不必要条
件为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知函数 ， ，若关于x的不等式
在区间 内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ， ，则
下列说法正确的是（ ）A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
8．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量 的夹角为60°的单位向量，若对任
意的 ､ ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 使得关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数 ，其导函数为 ，
设 ，下列四个说法：
① ；
②当 时， ；
③任意 ，都有 ；
④若曲线 上存在不同两点 ， ，且在点 ， 处的切线斜率均为 ，则实数 的取值范围为 .
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
11．（2023·江西·校联考一模）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B．1 C． D．
12．（2023·全国·模拟预测）函数 恰有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2023春·全国·高三竞赛）设直线 与曲线 相切于点 ，过 且垂直于 的直线分别交 轴， 轴于点 ， ，并记点 ．下列命题中正确的是（ ）
A．
B． 是 与 的等比中项
C．存在定点 ，使得 为定值
D．存在定点 ，使得 为定值
14．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线 ，抛物线 ，
为曲线 上一动点， 为抛物线 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的
公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线 是曲线 和 的公切线；
B．曲线 和 的公切线有且仅有一条；
C． 最小值为 ；
D．当 轴时， 最小值为 ．
15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 存在两个极小值点,则
的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的两
条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B． 恰有一个极大值和一个极小值
C．当 或 时， 有一个实数解
D．当 时， 有一个实数解
三、填空题
18．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意 ，关于x的不等式 恒成立，则实数a的最大值为________．
19．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数 ，则不等式
的解集为__________.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 ， ，则
的最大值为______．
21．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知 ，函数 在其定
义域 上单调递减，则实数 __________.
22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若关于 的方程 在区间 上有且仅有一个实
数根，则实数 的取值范围为______.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 .若 ，对任意的
， ，不等式： 恒成立，则 的最小值__________.
24．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设实数 ，不等式 对任意实数
恒成立，则a的取值范围为__________．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.若对任意 ， 恒
成立，则实数 的取值范围_________.
26．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知关于 的不等式 恒成立，则 的最大值为
________.
