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微专题08 导数压轴小题
【秒杀总结】
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值 或 恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的
抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现 形式，可考虑构造 ；（2）若出现
，可考虑构造 ；（3）若出现 ，可考虑构造 ；（4）若
出现 ，可考虑构造 .
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数
的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函
数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的
各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的
不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便
于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难
研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2023·重庆市朝阳中学高三月考）设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在 上恒成立，即为 在 上恒成立，
令 ， ，
若 ，则 ，可得 在 递增，
当 时， ，不等式 在 上不恒成立，故 .
由 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，
则 ，则 .
令 ， ， ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，则 的最小值是 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的思想.
例2．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 ，在函数 图象上任
取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
， 在 单调递减， 设
.设 则 在 上单调递减，则对 恒成立，则 对 恒成立， 则
，解之得 或 .又 ，所以 .
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直线 的斜率
的绝对值都不小于 的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.
例3．（2023•杭州模拟）已知函数 在区间 ， 上的最大值为 ，当实数 ， 变化
时， 最小值为 ，当 取到最小值时， ．
【解析】解： ，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数 ， ， 与函数 ， ，
图象上点的纵向距离，则 即为函数 与函数 图象上点的纵向距离的最
大值中的最小值，
由图象可知，当函数 的图象刚好为 时， 取得最小值为2，此时 ，且 ，即
， ，
故 ．
故答案为：2， ．
例4．（2023春•湖州期末）若存在正实数 ， 使得不等式 成立，则
A． B． C． D．
【解析】解：记 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
．
记 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
由题意 ，
又因为 ，所以 ，
故 ．
另解：正实数 ， ， ，
令 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 （1） ，于是 ，
于是 ，当且仅当 时不等式取等号，
又 ，当且仅当 时不等式取等号，
，
所以 且 ，解得 ，所以 ．
故选： ．
例5．（2023·河北冀州中学高三期中（理））已知函数 ，若
对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 _________.
【答案】【解析】
,令 ，
则 ，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 单调递减，
的最大值为 ，
则 ，即实数 的取值范围是 ，
故答案为 ,
例6．（2023·全国·高三课时练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函
数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B
【解析】
由 ，可得 ， ，令 ，得 ，
又 ，所以对称中心为 ，所以
，…， ， .
所以 ．
故选：B.
例7．（2023·河北武强中学高三月考）已知定义在R上的可导函数 的导函数为 ，满足
且 为偶函数， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
解：令 ，
，
，
在定义 上单调递减；①
又 为偶函数，
，
，
，
则不等式 ，即 ，
由①得 ，
故选：C．
例8．（2023·全国·高三课时练习）设函数 满足 则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
函数 满足 ，
，令 ，
则 ，
由 ，得 ，令 ，
则
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 .
又 在 单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.例9．（2023•天河区二模）若 ， ， 均为任意实数，且 ，则 的
最小值为
A． B．18 C． D．
【解析】解： ，
可得 在 为圆心，1为半径 的圆上，
表示点 与点 的距离的平方，
设过切点 的切线与过 的法线垂直，
可得 ，
即有 ，
由 在 递增，且 （1） ，
可得切点为 ，
圆心与切点的距离为 ，
可得 的最小值为 ，
故选： ．
例10．（2023•湖北模拟）设 ．其中 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解析】解：由题意可得 ， ，
由 表示两点 与点 ， 的距离，
而 在抛物线 上，抛物线的焦点 ，准线为 ，
则 表示 与 的距离和 与准线的距离的和再加上1，
由抛物线的定义可得 表示 与 的距离和 与 的距离的和再加上1，
由图象可得当 ， ， 三点共线，且 为曲线 的法线， 取得最小值，
即 为切点，设为 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 递增，且 ，
可得切点 ，即有 ，
则 的最小值为 ．
故选： ．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 得
即 ，
构造 ，即
因为 在 上单调递增，所以 ，所以
所以 ，令 ，则
所以 在 上单调递减，在 上单调递增
所以 ，所以 ，即
又 ，即
所以 的取值范围是
故选：B
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）若e是自然对数的底数， ，则整数m的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】令 ，则 等价于 ，即 ，从而 .
设 ，则 .易知 在 上单调递增，且 ， .
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，则 .
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在
上单调递增.
从而 ，而 在 上是减函数，所以 .
因此 的最小值 ，从而整数 的最大值是2.
故选：C.
2．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）若存在实数 和 ，使得函数
和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 恒成立，则称直线 为
和 的一条“划分直线”．列命题正确的是（ ）
A．函数 和 之间没有“划分直线”
B． 是函 和 之间存在的唯一的一条“划分直线”
C． 是函数 和 之间的一条“划分直线”
D．函数 和 之间存在“划分直线”，且 的取值范围为
【答案】B
【解析】因为 ，
所以，函数 和 有公共点 ，
所以，当 和 之间存在“划分直线”，则该直线必过点 ，
设过点 的直线方程为 ，即 ，
因为对于 ， 恒成立，即 ，所以，当 时， 恒成立，即 ，
当 时， 恒成立，即 ，
所以，对于 ， 恒成立，则 ，
所以，过点 ，且满足 的直线方程有且只有 ，
下证 ，令 ，
，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以， ，即 ，故 ，
所以，函数 和 之间存在的唯一的一条“划分直线” ，故A选项错误，B
选项正确；
对于C选项，当 时， ； ，显然不满足 恒成立，故错误；
对于D选项，当 时，显然满足 ，此时 ，故D错误.
故选：B
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知 ，若有且只有
两个整数解使 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
①当 时，由 可得 ，令 ，
则 ，由 ，可得 或 （舍），
当 时， ，此时函数 单调递减，当 时， ，此时函数 单调递增，
且 ， 无解；
②当 时，由 可得 ，
令 ，则 ，
由 ，可得 （舍）或 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
因为 ，因为 ， ， 如下图所示：
因为有且只有两个整数解使 成立，
所以， ，即 .
综上所述， .
故选：A.
4．（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考期末）已知曲线 ： 上一点 ，曲线 ：
上一点 ，当 时，对于任意 都有 恒成立，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为当 时，对于任意 都有 恒成立，
所以有： ， ，，
，
令 ，则 ，
所以当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减；
因此 ，即 显然恒成立；
因为 ，所以 ，即 ；
为使 恒成立，只需 恒成立；即 恒成立；
令 ，则 ，
由 解得 ；由 解得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 ；
，因此 的最小值为 .
故选：
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若已知函数 ， ，
，若函数 存在零点（参考数据 ），则 的取值范围充分不必要条
件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 当 时， 的图象恒在 上方，
若满足 ，即 ， ，
则 与 的图象必有交点，即 存在零点.
令 ， ，
有当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增..
即当 时，一定存在 ，满足 ，即 存在零点，
因此 是满足题意 的取值范围的一个充分条件.
由选项可得，只有 是 的子集，所以 是 的取值范围的一个充分不必要条件.
故选： .
6．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知函数 ， ，若关于x的不等式
在区间 内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】显然 ，
由 ，得 ，得 ，
得 ，
令 ， ，则 ，
所以函数 区间 内为增函数，
所以 可化为 ，即 ，即 ，
所以关于x的不等式 在区间 内有且只有两个整数解，
令 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为关于x的不等式 在区间 内有且只有两个整数解，结合图形可知，满足题意的整数解只能是 和 ，
所以 ，即 .
故选：D
7．（2023·全国·高三专题练习） 是定义在 上的函数，满足 ， ，则
下列说法正确的是（ ）
A． 在 上有极大值 B． 在 上有极小值
C． 在 上既有极大值又有极小值 D． 在 上没有极值
【答案】D
【解析】根据题意， ，故 ，
又 ，得 ，故 ，
令 ，
则 ，
即 ，
记 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，即 ，即 ，
所以 在 上单调递增，故 在 上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
8．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量 的夹角为60°的单位向量，若对任
意的 ､ ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知向量 的夹角为 的单位向量，则所以
所以对任意的 ，且 ，则
所以 ，即 ，
设 ，即 在 上单调递减，
又 时， ，解得 ，
所以 在 上单调递增；
在 上单调递减，所以 ，
故选：A．
9．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数 使得关于 的不等式 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 成立，
即 ，即 ，
其几何意义表示点 与 的距离的平方不超过 ，即最大值为 ．
∵ 为直线 ： 即 上一点，
∴设 与 平行，且与 相切于点 ，
∴ ，由导数的几何意义， 在点 处切线的斜率 ，
∴解得 ，∴ ，
∴直线 ： 上的点与曲线 的距离的最小值即点 到直线 的距离 ，
∴当且仅当 时， ，
∴解得 ，综上所述， 的取值集合为 ．
故选：A．
10．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数 ，其导函数为 ，
设 ，下列四个说法：
① ；
②当 时， ；
③任意 ，都有 ；
④若曲线 上存在不同两点 ， ，且在点 ， 处的切线斜率均为 ，则实数 的取值范围为 .
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】对于①，函数 ， ，
，
当 时，取到等号，故①不正确；
对于②， ，设 ， ，所以 在
恒成立，
则 在 上单调递减，故 ，即 ，
又 ，则 ，所以 ，可得
令 ，所以 在 恒成立，
则 在 上单调递减，故 ，即 ，所
以 ，
综上， 恒成立，故②正确；
对于③，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，又 ，设 ，所以 ，又 ，所以 ，则
恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ， 单调递减，则 恒成立，
所以 ，即 ，故③正确；
对于④，因为 ，所以 ，令 ，则 得 ，
所以 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以 ，又 得 ，且
则可以得 的图象如下：
因为曲线 上存在不同两点 ， ，且在点 ， 处的切线斜率均为 ，所以 ，
则 与 应存在两个不同的交点，所以 ，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
11．（2023·江西·校联考一模）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】关于 的不等式 对任意 恒成立，设 ， ，
若 ，对任意 恒成立，则 ，对任意 恒成立，
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
显然，由图可知 ，对任意 不恒成立；
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
显然，由图可知 ，对任意 不恒成立；
当 时，在同一坐标系中作出函数 ， 的图象，
由图可知，临界条件是直线 与曲线 的图象相切时，
由 ，求导 ，设 ，解得 ，且 ，
当 的切线斜率为2时，切点坐标为 ，故 ，所以 ，
即 ，
所以 ，令 ，
求导 ，
令 ，得 ，即 ，
当 ，函数 单调递增，
当 ，函数 单调递减，
所以当 ，函数 取到最大值，且 .
故 的最大值为 ．
故选：D．
12．（2023·全国·模拟预测）函数 恰有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，
令 ，所以 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，所以 ，即 ，
要使函数 恰有3个零点，则需 ，解得 ，
当 时， ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ，所以 ，
因为
当 趋向于正无穷时，指数函数 的增长速率远远超过一次函数 ，且趋向于正无穷，则
趋向于正无穷，
所以存在 ，使得
综上，当 时，函数 恰有3个零点，
故选：A
二、多选题
13．（2023春·全国·高三竞赛）设直线 与曲线 相切于点 ，过 且垂直于 的
直线分别交 轴， 轴于点 ， ，并记点 ．下列命题中正确的是（ ）
A．
B． 是 与 的等比中项
C．存在定点 ，使得 为定值
D．存在定点 ，使得 为定值
【答案】ABC
【解析】对于选项A：
联立方程组 ，消去 得： ，
直线 与曲线 相切于点 ，，
即 ，
则 ，
若 时，即 ，直线 与曲线 无法相切，
，则 ，
故选项A正确；
对于选项B：
设切点 ，
， ，
解得： ，
则 ，
即 ，
过 且垂直于 的直线为： ，即 ，
代入点 得： ，
则 ，解得： ，
过 且垂直于 的直线分别交 轴， 轴于点 ， ，
，即 ，
则 ，
则 ， ， ，
则 ，
，
，则 ，
故 是 与 的等比中项，
故选项B正确；
对于选项C与选项D：
， ，则 ，
， ，则 ，
在曲线 上，代入 化简得： ，
则当 为双曲线 的焦点时， 为定值4， 无法确定，
故选项C正确，选项D错误，
综上所述：选项ABC正确，
故选：ABC.
14．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知曲线 ，抛物线 ，
为曲线 上一动点， 为抛物线 上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的
公切线，则以下说法正确的有（ ）．
A．直线 是曲线 和 的公切线；
B．曲线 和 的公切线有且仅有一条；
C． 最小值为 ；
D．当 轴时， 最小值为 ．
【答案】ACD
【解析】对于A，对函数 求导得 ，由 得 ，则与曲线 相切且斜率为1的直线切曲线
于点 ，
切线方程为 ，由 消去x得： ，即直线 与曲线 相切，
所以直线 是曲线 和 的公切线，A正确；
对于B，设曲线 和 的公切线与曲线 相切于点 ，由选项A知，该切线斜率为 ，
切线方程为 ，由 消去x得： ，因此 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上递减，在 上递增，
，
而 ， ，即存在 ，使得 ，因此函数 有0和 两个零点，
显然当 时， ，因此 的解有0和 两个，即曲线 和 的公切线有两条，B错误；
对于C，抛物线 的焦点 ，准线方程 ，则 ，
因此 ，当且仅当 三点共线时取等号，
而 ，令 ，求导得 ，
显然 在R上都递增，因此函数 在R上递增，而 ，
即当 时， ，当 时， ，函数 在 上递减，在 上递增，
，因此 ，所以当 ，点Q为线段 与抛物线 的交点时， 最小
值为 ，C正确;
对于D，当 轴时， ，则 ， ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上递增， ，
所以 最小值为 ，D正确．
故选：ACD
15．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知 存在两个极小值点,则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】解:由题知 ,
定义域为 ,
所以 ,
若 存在两个极小值点,
则 至少有三个变号零点,
因为 ,所以需 在 上至少有两个不等于1的零点,
即 与 有两个不同的交点,
故 , ,
当 时, , 单调递增,
当 时, , 单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当 趋向于正无穷时, 远远大于 ,
故 趋向于正无穷时, 趋向于0,
又因为
由此画出 在 图象如下:
由图象可知: ,下证:当 时, 有两个极小值点,
不妨记 与 的两个不同交点的横坐标为 ,
可记 ,
则当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递减,
当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递增,
当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递减,
当 时, ,即 , ,
此时 , 单调递增,
故 存在两个极值点分别为 符合题意,
故 成立;
因为 ,
故选项A 正确;
取 , ,
所以 ,
因为 ,,
所以存在 ,使得 ,
所以在 上, , 单调递减,
在 上, , 单调递增,
注意到 ,
所以 ,
即 时, ,
即 ,
所以
,
故选项B正确;
取 ,
所以 ,
故 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
所以 ,
故选项C正确,
取 ,
所以 ,
故 在 上单调递增,
所以 ,即 ,所以 ,
故选项D错误.
故选:ACD
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 ，则过点 恰能作曲线 的两条
切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，得 ，
设切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以有 ，
整理可得： ，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 ，
，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
①当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
所以只要 或 ，即 或 ；
②当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，所以只要 ，即 ，而 ；
③当 ，即 时，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，
所以只要 或 ，由 可得： ，
由 得 ；
④当 时， ，所以函数 在 上单调递增，所以函数至多有一个零点，
不合题意；
综上：当 时， ；
当 时， 或 ；
当 时， 或 ，
所以选项 正确， 正确， 错误， 正确，
故选： .
17．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 在 上单调递减
B． 恰有一个极大值和一个极小值
C．当 或 时， 有一个实数解
D．当 时， 有一个实数解
【答案】AB
【解析】 时， ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，A正确；
时， ， ， 在 上单调递增，
由上讨论知 是 的极大值点， 是 的极小值点，B正确；
， ， 时， ，所以 时， 无实数解，C错误；
时， ，由以上讨论知 ， 有3个实数解，所以 有3个
实数解，D错误．
故选：AB．三、填空题
18．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）若对任意 ，关于x的不等式 恒成
立，则实数a的最大值为________．
【答案】
【解析】原不等式化为 恒成立，
由于 是任意实数， 也是任意实数，∴ 与 是任意实数，它们之间没有任何影响，
，当且仅当 时等号成立，
设 ，则 ，
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以 ，
所以 的最小值是1，
所以 的最小值是 ，
从而 ， 的最大值是 ．
故答案为： ．
19．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知函数 ，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】 为奇函数，
在R上单调递增，
，
，
，
，则 .
故答案为： .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若 ， ，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由 得： ；
由 得： ， ；
，
令 ， ，
， 在 上单调递增，
；
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，即 的最大值为 .
故答案为： .
21．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知 ，函数 在其定义
域 上单调递减，则实数 __________.
【答案】2
【解析】因为 ，所以 ，
由已知函数 在其定义域 上单调递减，
所以对任意的 恒成立.
设 ，则 ，
由 知，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值，又
所以 对任意的 恒成立，
即 的最大值为 ，所以 ，解得 .
故答案为：2
22．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）若关于 的方程 在区间 上有且仅有一个实
数根，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】设 ， ，则 ，
令 得 ，所以 ，
令 ， ，所以 在 单调递增，则 ，
于是可得，当 时，方程 在 无解，即 恒成立，所以 在
单调递增，
又 ，所以此时方程 在区间 上无零点，不符合题意；
当 时，方程 在 的根为 或 （舍），当
， 当 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，所以 ，又 ， ，
设 ， ，所以 恒成立，则 在 上单调递增，故
，则 ，
且当 时， ，即 ，
故 ，使得 ，即方程 在区间 上有且仅有一个实数根综上，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 .若 ，对任意的
， ，不等式： 恒成立，则 的最小值__________.
【答案】
【解析】∵ ， ， ，
∴当 时， ， ，
∴ 成立，∴ 在 上递增．
设 ，则 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ 可化为 ，
即 恒成立，故设 ，
∴当 时， ，∴ 在 上为减函数，
则 在 上恒成立，
即 恒成立，
设 ， ，
∵ ， ，∴ ，∴ 在 上递增， ，
∴ ，
又 ，对任意的 ， ，不等式： 恒成立，
故 ，∴ ，故 ，
故答案为：20
24．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设实数 ，不等式 对任意实数
恒成立，则a的取值范围为__________．【答案】
【解析】令 ，得 ．
下证：对任意的 ，不等式 恒成立．
令
①当 时， 单调递减，所以
令 ，则 ，则只需证明 在 上恒成立
由 ，可知 单调递增，且 ，故 在 上单调递减，在 上单
调递增，
所以 成立；
②当 时， ， 单调递减，
由①可知 在 上单调递减，所以 成立．
综上，得证 ．
故答案为： .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）.若对任意 ， 恒
成立，则实数 的取值范围_________.
【答案】
【解析】令 ，故函数 的定义域为 ， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：单调减 单调增 单调减
因为 ， ，所以 时，函数 的最小值为 ；
因为对任意 ， 恒成立，
故 时 ，即 恒成立；
因为 ，因为 ，令 得， ， ．
（ⅰ）当 ，即 时，在 上 ，
所以函数 在 上单调递增，所以函数 ．
故由 得， ，所以 ．
（ⅱ）当 ，即 时， 在 上 ，在 上 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
由 得 或 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围是 ，
故答案为：
26．（2023秋·湖北·高三统考期末）已知关于 的不等式 恒成立，则 的最大值为
________.
【答案】
【解析】令 ，则 ，
若 时， ，不符合题意；
若 时， ，不符合题意；
若 时，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
因为关于 的不等式 恒成立，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上为减函数，因为 ，
所以当 时， ， ，当 时， ， ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
