文档内容
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 .
故选：C
2．已知集合 ， ， ，
，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
则由题意可设 ， ，其中 ，
则 ，且 ，
故 ，
故选：D．
3．已知向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 与 的夹角为锐角，则 且 与 不共线，
所以 ，解得 且 ，
所以“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B．
4．“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述，不等式 恒成立时， ，
所以选项中“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是 .
故选：D.
5．设 ，则函数 的最小值为（ ）
A．0 B． C．-1 D．
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立.
故选：C.
6． 是虚数单位，复数 满足 ，其中 . ：“复数 在复平面内对应的点在第一象限”，
则下列条件是 的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
若复数 在复平面内对应的点在第一象限，则 ，解得 ，
即 ： ，
因为选项中只有 为 的真子集，
所以选项中只有 是 的充分不必要条件.
故选：D.
7．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 或 ，
由 ，即 ，得 ， ，
当 ，即 时，不等式 的解为 ，
此时不等式组 的解集为 ，
又因为不等式组仅有一个整数解，则 ，解得 ；
当 ，即 时，不等式 的解为 ，
又因为不等式组仅有一个整数解，
则 ，解得 ；
综上所述， 的取值范围为 .
故选：B.
8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的 ，有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若 、
是Z的两个没有公共元素的非空子集， ．若任意的 ，有 ，同时，任意的
，有 ，则下列结论恒成立的是( )
A． 、 中至少有一个关于乘法是封闭的
B． 、 中至多有一个关于乘法是封闭的
C． 、 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． 、 中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】若 为奇数集， 为偶数集，满足题意，此时 与 关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若 为负整数集， 为非负整数集，也满足题意，此时只有 关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得 、 中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确.
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 表示集合 的整数元素的个数，若集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 ，
因此 ，由 ，
因此 .
A：因为集合 中的整数有 ，共10个，
所以 ，因此本选项正确；
B：因为 ，
所以本选项不正确；
C：因为集合 中的整数有 ，共9个，
所以 ，因此本选项正确；
D：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因此本选项正确，
故选：ACD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若a，b为正实数， ，则
B．若a，b，m为正实数， ，则
C．若 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．不等式 成立的充分不必要条件是 ，则m的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ， 为正实数， ，
所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ， 为正实数， ，所以 ，所以，故B错误；
对于C，由 ，可得 或 ，故由 可得 ，
但是 不一定得到 ，故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由 可得 ，由于 成立的充分不必要条件是 ，
所以 或 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD
11．设 ， ， 是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若 且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A： ，则 ，则 或 ，
即 或 ，故A正确；
对于B： ， ，且 ，
所以 ， ，故B正确；
对于C：设 ，则 ，
， ，故C正确；
对于D，取 ， ，则 ，但 ， ，
则 ，故D错误．故选：ABC
12．若 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 B． 有最大值2
C． 有最小值4 D． 有最小值
【答案】AC
【解析】对于A， ，
当且仅当 时取等号，
所以 有最大值 ，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 有最大值 ，故B错误；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 有最小值4，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 有最小值 ，故D错误.故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设命题 ： ， .写出一个实数 ，使得 为真命题.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】若 正确， 时, 有解，
时,则 或 ，
所以 ，
综上， 真，则 ，即 中任取一个值都可以.
故答案为： (答案不唯一)
14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会
打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个
体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人
数为 ．
【答案】20
【解析】首先设 是会打乒乓球的教师 ， 是会打羽毛球球的教师 ，
是会打蓝球的教师 ，
根据题意得 ， ， ， ， ，
再使用三元容斥原理得：
，
有 ，
而 中把 的区域计算了3次，
于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 .
故答案为：20.
15．若复数z满足 ，则 的最小值为
【答案】 /
【解析】设 ，（ 不同时为0），
，
由题意可知 ，得 或 ，
当 时， 的轨迹是 轴（除原点外），此时 的几何意义表示复数表示的点和 的距离，此时
，
当 时，复数 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离，如图可知，
的最小值是点 与 的距离 .
故答案为： .
16．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】12【解析】因为正实数 ， 满足 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
故
，
当且仅当 ，即 时取等号，符合题意，
故 的最小值为12，
故答案为：12
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设命题 ：“对任意 ， 恒成立”．且命题 为真命题．
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)在（1）的条件下，设非空集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数
的取值范围．
【解析】（1）对任意 ， 恒成立，即 ，
即 对任意 恒成立，
而 ，即 ，故
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，则实数 的取值集合 .（2）解 ，即 ，得 或 ，
由于“ ”是“ ”的充分条件，故 ,
故 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
18．（12分）
已知复数 ， ，其中i为虚数单位，且满足 ，且 为纯虚数.
(1)若复数 ， 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求 ；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程 的一个根，求实数m，n的值.
【解析】（1）因为复数 ， ，所以 ，
又 为纯虚数，所以 ，
又 ，所以 ，
又因为复数z在复平面内对应点在第一象限，
所以 ，故 .
（2）由（1）可知
当 时， ，
当 时， .
（3）法一：由（1）可知 是关于x的方程 的一个根，
所以把 ，代入 得 ，化简得 ，
即 ，解得： ，
法二：由（1）可知 是关于x的方程 的一个根，
所以此方程的另一根为： ，则 ，
解得： ，
19．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活
动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高定价到 元．公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传
费用，投入 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能
使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【解析】（1）设每件定价为 元，依题意得 ，
整理得 ，
解得 ．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当 时，不等式 有解，
等价于 时， 有解．由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 ．
故当该商品改革后的销售量 至少达到10.2万件时，
才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
20．（12分）
已知关于 的不等式 的解集为 或 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 ， 且满足 时，有 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）因为不等式 的解集为 或 ，
所以1和 是方程 的两个实数根，且 ，
所以 ，解得 ，
即 ， .
（2）由（1）知 ，于是有 ，
故 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时，等号成立，
依题意有 ，即 ，
得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
21．（12分）
已知函数 ．(1)若不等式 的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当 时，解不等式 ；
(3)若不等式 的解集为D，若 ，求m的取值范围．
【解析】（1）当 时，即 ，则由 ，得 ，不合题意，
当 ，即 时，由不等式 的解集为 得
，解得 ，
所以 的取值范围为 ；
（2）因为 ，所以 ，即 ，
当 ，即 时，解得 ，所以不等式的解集为 ，
当 ，即 时， ，
因为 ，所以不等式的解集为 ，
当 ，即 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以不等式的解集为 ，
综上，当 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
（3）因为不等式 的解集为 ，且 ，
所以对任意的 ，不等式 恒成立，即 ，
因为 ，
所以 恒成立，
令 ，则 ， ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取最大值，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
22．（12分）
已知集合 的元素全为实数，且满足：若 ，则 ．
(1)若 ，求出 中其它所有元素；
(2)0是不是集合 中的元素？请你设计一个实数 ，再求出 中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【解析】（1）由题意，可知 ，
则 ， ， ， ，
所以A中其他所有元素为 ， ，2．
（2）假设 ，则 ，
而当 时， 不存在，假设不成立，所以0不是A中的元素．
取 ，则 ， ， ， ，
所以当 时，A中的元素是3， ， ， ．
（3）猜想：A中没有元素 ，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负
倒数．
由（2）知0， ，
若 ，则 ，与 矛盾，
则有 ，即 ，0，1都不在集合A中．
若实数 ，则 ， ，
， ．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素 ， ， ， 且 ， ．
显然 ，否则 ，即 ，无实数解．
同理， ，即A中有4个元素．
所以A中没有元素 ，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
