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解密 03 讲： 不等式
【练基础】
一、单选题
1．（2022·四川·中和中学高三模拟）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】随便带入一组数据即可.
【详解】取 ，此时有：
故A C错；又 ，D错；
，B正确.
故选：B.
2．（2022·广东湛江·高三阶段练习）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.
【详解】当 ， 时， ，故A错误；
当 时， ，故B错误；
∵ ， ，显然 不能得到 ，
例如当 ， 时， ，故C错误；
若 ， ，则 ，故D正确.
故选：D.3．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件结合基本不等式、不等式性质及作差法比较作答.
【详解】因为a，b>1，a≠b，由基本不等式得： ，由不等式性质得： ，
又 ，
所以 .
故选：D
4．（2022·重庆·高三阶段练习）关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况讨论，当 时，不等式显然成立；当 时，根据二次函数图像的性质得到
的取值范围，综合两种情况即可得到答案.
【详解】当 时，原不等式为 ，不等式恒成立，
当 时，若一元二次不等式 恒成立，
则有 ，解得 ，
此时不等式恒成立，
综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）对任意不相等的两个正实数 ， ，满足 的函数是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】将题目要求依次代入四个选项计算即可得到结果
【详解】对于选项A， ，
，所以A错误；
对于选项B， ，
因为 为增函数且 所以 所以
所以 ，符合题意，B正确；
对于选项C，
，所以C错误；
对于选项D， ，因为 ，
所以 所以D错误；
故选：B
6．（2023·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））已知实数 ， ， ，则下列说法中，正确的是（ ）．
A． B．存在a，b，使得
C． D．存在a，b，使得直线 与圆 相切
【答案】C
【分析】巧用“1”验证选项A，基本不等式验证选项B，基本不等式加对数运算性质验证选项C,点到直线的距离
公式加基本不等式验证选项D.【详解】 ，故A错误；
，故B错误；
，故选项C正确；
圆心 到直线 的距离
由 ，故 ，故D错误.
故选：C.
7．（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知a，b均为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】根据“1”的变形技巧及均值不等式求解即可.
【详解】因为a，b均为正数，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
故选：B
8．（2022·山东聊城·高一期中）已知 ， ，且 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设 ，利用基本不等式求 取值范围（注意等号成立条件），再应用二次函数
性质及恒成立确定正实数m的范围.【详解】由题设 恒成立，
而 ，又 仅当 时等号成立，
所以 ，且等号成立条件同上，故 .
故选：B
二、多选题
9．（2022·福建·莆田一中高三阶段练习）已知关于 的不等式 解集为 ，则（ ）
A． B．
C． D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【分析】对于选项A，可以通过分析 解集为 ，从而分析出不等式所对应的二次函数
的图像开口向上；对于选项B，通过韦达定理 ， ，从而分析出 ， ，
的正负；对于选项C，将 代入 ，即能分析 的正负；对于选项D，将 ， 代
入 ，得到 ，其中 ，从而解出不等式.
【详解】 解集为
，且 ， ，故选项A错误；
， ，
，故选项B正确；
解集为
将 代入 ， ，故选项C 正确；， ，
不等式 可以化简为 ，而
，故选项D正确
故选：BCD
10．（2022·湖北·咸丰春晖学校高三阶段练习）若 ，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD,根据特殊值法可判断BC.
【详解】对于A，
，所以 ，所以 ，所以 ，故选项A一定不成立；
对于B，不妨取 ， ，则 ，故选项B可能成立；
对于C，不妨取 ， ，则 ，故选项C可能成立；
对于D， ，故 ，故选项D一定不成立；
故选：AD．
11．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）不等式 对任意 恒成立，则下列关系正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得 ，再结合不等式的性质变形后判断ACD
选项即可，对于B，则举反例排除.【详解】对于A，将 整理为 ，
因为 对任意 恒成立，所以 ，
即 ，整理得 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，满足题意，故B错误；
对于C，由A知 ，即 ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022·山东聊城·高三模拟）设 ， ，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 有最小值 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】AD
【分析】由已知结合基本不等式分别检验计算即可判断各选项正确与否.
【详解】解：由于 ， ，则 ，又 得
所以 ，则 ，
解得 （舍）或 ，当且仅当 时， 有最小值 ，故A正确，
B不正确；
由 ，又 得
所以 ，则 ，
解得 （舍）或 ，当且仅当 时， 有最小值 ，故C不正确，D正确；
故选：AD.三、填空题
13．（2022·广东·广州市番禺区大龙中学高三阶段练习）若 则 的最小值是__________.
【答案】 ##
【分析】根据 ，然后结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立
即 的最小值为
故答案为:
14．（2022·河北·高三阶段练习）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】将参数 分离，转化为二次函数求指定区间最值问题.
【详解】不等式 在区间 内有解，
即不等式 在区间 内有解，
设 ，
即 ，即 不大于函数 在区间 上的最大值，
函数 的图象为开口向上，对称轴是直线 的抛物线，
∴ ， ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即实数 的取值范围为 .故答案为： .
15．（2022·江苏·高三课时练习）在 中，设边 所对的角为 ，若 ，则 的最大值
为________．
【答案】6
【分析】题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出 之间的关系式，应用基本不等式求最
大值
【详解】根据题意，在 中，若 ， ，则 ，即
，又由 ，则有 ，即 的最大值为6．
故答案为：6
16．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知 ，若 是 与 的等比中项，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】由 是 与 的等比中项，得到 ，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】解：由题意得 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
故 的最小值为 ．
故答案为：
四、解答题17．（2022·陕西·兴平市南郊高级中学高三阶段练习）已知函数 ， 的解集为 或
.
(1)求实数 、 的值；
(2)若 时，求函数 的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）不等式解集区间的端点是方程的解，将 分别带入等于0；（2）将 整理成耐克函数的形式
运用基本不等式可以求出最大值.
【详解】（1）因为关于 的不等式 的解集为 或 ，
所以， 、 是方程 的两个根，所以， ，解得 .
（2）由题意知 ，
因为 ，所以 由基本不等式可得：
，所以 ，
，当且仅当 时，即 时，等号成立。
故函数 的最大值为 .
18．（2022·江苏·句容碧桂园学校高三开学考试）已知不等式 的解集为 ，不等式 的
解集为 ．
(1)若 ，不等式 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2) ， ，求a的取值范围．【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）首先求出 ，然后求出 ，然后可得答案；
（2）分类讨论， 和 ，后者结合二次函数性质可解．
【详解】（1） ，当 ＝1时， ，
∴ ，
因为不等式 的解集为 ，
所以－1，2是方程 的两个根，
，解得m＝－1，n＝－2，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）
当a＝0时，－6＜0恒成立，符合题意；
当 时， ，得 ，得－24＜a＜0；
综上，a的取值范围是 .
19．（2020·河南新乡·高二期中（文））（1）比较 与 的大小
（2）已知 ， ，且 ，证明：
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）平方后可比较它们的大小.
（2）利用基本不等式可求证明不等式成立.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 .（2）证明：因为 （当且仅当 时，等号成立），
（当且仅当 时，等号成立），
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 .
【点睛】方法点睛：
（1）不等式的大小比较，可利用作差法或作商法，前者需要定号，后者需要和1比较大小且需注意代数式的符号.
（2）利用基本不等式证明不等式，注意将目标代数式配凑成与已知条件相关的新的代数式.
20．（2021·江西·高二阶段练习（理））设函数 .
(1)当 时，求关于 的不等式 的解集；
(2)若 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）分情况讨论二次不等式的解集；
（2）分离参数，构造函数，利用函数的最值解决不等式恒成立问题.
【详解】(1) ，即
若 ，原不等式可化为 ，解得 ；
若 ，则不等式即为 ，
若 ，原不等式可化为 ，解得 或 ；
若 ，原不等式可化为 ，其解得情况应由 与 的大小关系确定，当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
当 时，解得 .
综上，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
(2)由 得 ，
， ，
在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则只需
又
，当且仅当 时等式成立，
的取值范围是 .
21．（2023·广东·惠来县第一中学高三阶段练习）已知实数 ， ，(1)若 ，求 的最小值．
(2)若 ，求 的最大值与 的最小值；
(3)求 的最大值，并求此时x的值；
【答案】(1)9；(2)2，2；(3)当 时，
【分析】（1）根据系数“1”的妙用，结合基本不等式，即可得到结果；
（2）直接根据基本不等式即可得到结果；
（3）将原式化为 ，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）由 = ，
当且仅当 时等号成立
所以 的最小值为
（2）因为 ，又因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以2xy最大值为
2；
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，所以 最小值为
2．
（3） ，当且仅当 时，
22．（2022·浙江·杭十四中高三专练）已知函数 .
(1)当 时，解关于 的不等式 .
(2)不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）根据题意， 等价于 ，进而分 ， ， 三种情况讨论求
解；
（2）由题知 对任意 恒成立，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）解： 等价于 ，
所以， 等价于 ，
因为 ，
所以，当 时， ， 的解集为 ，
当 时， ， 的解集为 ，
当 时， ， 的解集为 ，
综上，当 时 的解集为 ；当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集
为 .
（2）解：因为不等式 对任意 恒成立，
所以 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，
因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，
因为 ，当且仅当
，即 ， 时等号成立，所以， ，即实数 的取值范围为
【提能力】
一、单选题
1．（2022·浙江·镇海中学高三期中）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A令 即可判断；B、C应用作差法判断大小关系；D利用基本不等式，注意等号成立条件判断即可.
【详解】A：当 时 ，错误；
B： ，而 ，故 ，错误；
C： ，而 ，若 时 ，错误；
D： ，当且仅当 时等号成立，而 ，故 ，正确.
故选：D
2．（2022·天津市第七中学高三期中）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，因此要比较 ， 的大小，作差，通分，利用对数的运算性质，即可求得 ， 的
大小；利用对数函数 的单调性，可知 ，然后利用不等式的可乘性，即可得出 ， 的大小.
【详解】解： ，∴ ，而 ，∴ ，即 ，
因此 .
故选：C.
3．（2022·山东聊城一中高三期中）对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.
【详解】对于选项A，注意到若 ，当 时， .故A错误.
对于选项B，设 ，
得 ，解得 .又 ， ，
得 .故B错误.
对于C选项，因 ，则 ，故C错误.
对于D选项， ，因 ，则 ，故D正确.
故选：D
4．（2022·江苏泰州·高三期中）对任意正数x，y，不等式x（x+y）≤a（x2+y2）恒成立，则实数a的最小值为（
）
A． B． ﹣1 C． +1 D．
【答案】D【分析】将已知不等式转化为（a﹣1） ﹣ +a≥0对于一切正数x，y恒成立，令t＝ ，f（t）＝（a﹣1）
t2﹣t+a，由二次函数的图象与性质可得关于a的不等式组，解之即可得答案.
【详解】∵x＞0，y＞0，
∴x（x+y）≤a（x2+y2） xy≤（a﹣1）x2+ay2 ，
⇔ ⇔
令 ，f（t）＝（a﹣1）t2﹣t+a，
依题意， ，即 ，解得a≥ .
∴实数a的最小值为 .
故选：D.
5．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列 和等比数列 中，有 ，且 ，则下列关
系式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可判断两者的大小.
【详解】设等比数列的公比为 ，则 ，故 ，
因为 为等差数列，故 ，
因为 为等差数列，故 ，故 ，
结合题设条件有 ，由基本不等式可得 ，
故 ，而 ，故 ，
故选：B.6．（2022·陕西·西安市第三中学高三阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】用 来表示 得 ，代入得 ，再利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】 , ，则有 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
故选：B.
7．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））已知函数 的图像恒过一点P，且点P在直线
的图像上，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质，求定点，代入直线方程，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.
【详解】由函数 ，可得 ，则 ，整理可得 ，
故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：D.
8．（2022·山东省青岛第五十八中学高三期中）已知对任意 ，且 ， 恒成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用已知等式可得 ，根据 ，利用基本不等式可求得 ，由此可得结果.
【详解】由 得： ，
， ， ，
（当且仅
当 时取等号），
当 恒成立时， .
故选：D.
二、多选题
9．（2022·广东·广州市第九十七中学高三阶段练习）下列几种说法中，正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C．若不等式 的解集是 ，则 的解集是
D．“ ”是“不等式 对一切 都成立”的充要条件
【答案】BCD
【分析】根据命题的推断关系判断是否是充要条件，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，对选项中的命
题进行计算和化简，判断选项的正误.
【详解】对于A， 即 或 ，所以“ ”能推断出“ ”， “ ”不能推出“ ”，
“ ”是“ ”的充分不必要条件，A错误.
对于B，含有量词的命题的否定先改量词再否定结论，“ ， ”的否定是“ ， ”，B正确.
对于C，不等式 的解集是 ，则 ，得 ， ，
所以 即 ，解集为 ，C正确.对于D，若 ，不等式可化为 对一切x都成立，合题意；
若 ，因为 对一切x都成立，所以 ，
解得 ，综上， ，所以D正确.
故选：BCD.
10．（2022·湖南经纬实验学校高三期中）以下命题为真命题的是（ ）
A．不等式 的解集为 .
B．方程 有异号根的充要条件是
C．若 ， ，则
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】解二次不等式判断A，由二次方程根的分布判断B，由不等式的性质判断C，由充分必要条件的定义判断
D．
【详解】 恒成立，不等式 的解集为R，A错；
方程 的两根异号，则 （此时 ），反之若 ，则 ，又
， 异号，B正确；
， ， ，∴ ， ，C正确；
时， 不一定成立，如 ，但 时， 一定成立，“ ”是“ ”的必要不
充分条件，D错．
故选：BC．
11．（2022·重庆十八中高三阶段练习）不等式 对任意 恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】ACD
【分析】将题设不等式化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得 ，再结合不等式的性质变形后判断ACD
选项即可，对于B，则举反例排除.
【详解】对于A，将 整理为 ，
因为 对任意 恒成立，所以 ，
即 ，整理得 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，满足题意，故B错误；
对于C，由A知 ，即 ，故C正确；
对于D， ，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知正实数 ，满足 ，则（ ）
A． 的最大值为1 B． 的最小值为4
C． 的最小值为1 D． 的最小值为18
【答案】AB
【分析】根据基本不等式得 ，再解不等式可判断A；根据 得
，再解不等式可判断B；由题知 ，进而代换，结合基本不等式求解判断
CD.
【详解】解：因为 ， ，
可得 ，所以 ，
解得 ，当且仅当 时，取等号，即 的最大值为1，故A正确；因为 ，
所以 ，解得 ，
当且仅当 时，取等号，即 的最小值为4，故B正确；
由 可解得 ，故
所以 ，当且仅当 ，取等号，即 ， ，与
矛盾，故C错误；
，当且仅当 ，取等号，即 ， ，与
矛盾，故D错误；
故选：AB
三、填空题
13．（2022·福建泉州·高三期中）已知函数 与函数 有公共点，则 的最小值为
______.
【答案】
【分析】将问题转化为方程 有解，即 有解，设 ，则
，将关于 的方程看成关于 的直线方程 ，则 可视为直线上的点 到原
点的距离的平方，即为原点到直线的距离的平方，进而求解即可.
【详解】令 ，故 ，即故方程 有解
设 ，则
将关于 的方程看成关于 的直线方程 ，则 可视为直线上的点 到原点的距离的平方，
即为原点到直线的距离的平方
故
当且仅当 时等号成立
时能取得最小值，此时
故 的最小值为
故答案为： .
14．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由 可得， ，
因为 ，所以 ，根据题意， 即可，
设 ，易知 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 ，故答案为：
15．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知 ， ，直线 与直线 垂直，
则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】两直线垂直说明它们的法向量互相垂直，得出 的关系式，进而运用基本不等式求出 的最小值.
【详解】 的法向量 的法向量
两直线垂直得 ，即
当且仅当 时取等号.
故答案为： .
16．（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）已知函数 ， 为直线 上一点，过点 作函数
图象的两条切线，切点分别为A，B，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】利用导数得到切线 和 ，联立可得 ，结合题意可得 ， ，然后利用数
量积和二次函数的性质即可得到答案
【详解】设 ， ．由 求导得 ，
则直线 ： 即 ，同理可得直线 ： ，联立 ，解得 ，即 ，
由 在直线 上，得 ，且 ，（当且仅当 时，取等号，故等号不成立）
因而
，
故答案为：
四、解答题
17．（2022·陕西·永寿县中学高三阶段练习（文））已知命题p： ，命题q：
（a为常数）．
(1)若p是q的充要条件，求实数a的值；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）解一次不等式化简命题p，分类讨论解二次不等式得到命题q，从而由充要条件求得实数a的值；
（2）由必要不充分条件得到集合的包含关系，从而求得实数a的取值范围.
【详解】（1）由 解得 ，
由 解得 ，
所以由 可得 ，即命题p为 ，
当 时，易得命题q为 ；
当 时，易得命题q为 ；
当 时，易得命题q为 ；
因为p是q的充要条件，所以 ．（2）因为p是q的必要不充分条件，
所以集合 为集合 的真子集，
当 时，由（1）知， ；
当 时，由（1）知， ，则 ；
综上： ，即实数a的取值范围为 ．
18．（2022·山东·莱西市实验学校高三阶段练习）设 .
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 .
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知可得，原题可转化为 对一切实数成立，对 是否为0进行讨论. 当 时，
结合二次函数的性质即可求得；
（2）原不等式可化为 ，即求解含参的一元二次不等式.根据 与0的关系首先进行分类讨论，结
合 时， 的两个根的大小情况，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得 对一切实数x恒成立，
可转化为 对一切实数成立.
当 时， 不满足题意；
当 时，要是 恒成立，
则需满足 ，解得 .
所以实数a的取值范围为 .
（2）原不等式 可化为 .当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 ；
当 时，解 得， ， .
当 时，因为 ，所以不等式的解集为 ；
解 可得 .
当 ，此时 ，所以不等式的解集为 ；
当 ，此时 ，所以不等式的解集为 ；
当 ，此时 ，所以不等式的解集为 .
综上所述，
当 ，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三阶段练习）（1）已知 求证：
；
（2） ， ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】(1)利用比较法证明即可，(2)利用基本不等式结合不等式的性质证明.【详解】（1）因为
，所以 ；
（2）因为对任意正实数 有
三式相加得 ，当且仅当 时取等，
又 ，故 ，所以
即
整理得 .当且仅当 时取等.
20．（2021·安徽芜湖·高三阶段练习）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千
辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为： ．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
【答案】(1) 千米/小时；(2) .
【分析】（1）根据函数解析式，利用基本不等式求车流量最大时的平均速度v，即等号成立的条件.
（2）由题设有 ，将其转化为一元二次不等式求解集，即可确定汽车的平均速度的范围.
【详解】(1)由题意，有 ，当且仅当 ，即 时上式等号成
立，此时 ．
∴当 千米/小时，车流量最大．
(2)
由条件得： ，整理得 ，即 ，
∴ ，
∴汽车的平均速度（千米/小时）的范围是 ．21．（2022·江西·高三阶段练习）已知函数 .
(1)求 的值域；
(2)若正数 满足 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用指数函数的值域与不等式的性质即可求得 的值域；
（2）先由指数运算法则得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得 的最小值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，即 ，
故 的值域为 .
（2）由 ，化简整理得 ，
得 ，即 ，
由 ，得 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，则 的最小值为1.
22．（2022·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）（1）设 ，且 恒成立，求m的取值范
围；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .【分析】（1）转化为 恒成立，根据均值不等式求 的最小值即可；
（2）由条件变形为 ，换元 ， ，利用均值不等式求最小值即可.
【详解】（1）由 ， 可得 ，
因为
，当且仅当 时等号成立。
故 .
（2）由 可得 ，即 ，
令 ， ，则 ， ，
所以 ，当且仅当 ，
即 时等号成立.
所以 的最小值为 .
