文档内容
专题 03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
题型一： 给值求值...........................................................................................................................2
题型二： 给值求角问题...................................................................................................................3
题型三： 辅助角公式.......................................................................................................................4
题型四： 两角和与差的正切公式的逆用......................................................................................5
题型五： 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用..........................................................5
题型六： 综合运用...........................................................................................................................6
知识点总结
知识点一、两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C ：cos(α－β)＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ；
(α－β)
(2)公式C ：cos(α＋β)＝ cos α cos β － sin α sin β ；
(α＋β)
(3)公式S ：sin(α－β)＝ sin α cos β － cos α sin β ；
(α－β)
(4)公式S ：sin(α＋β)＝ sin α cos β ＋ cos α sin β ；
(α＋β)
(5)公式T ：tan(α－β)＝；
(α－β)
(6)公式T ：tan(α＋β)＝.
(α＋β)
知识点二、辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
例题精讲
题型一：给值求值
【要点讲解】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的
形式;常见的配角技巧: , , ,
, 等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再
应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【例1】（2023春•台江区校级期末）已知 ， 都是锐角， ，
则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022 春•东城区校级期中）若 ， 都是锐角，且 ，
，则A． B． C． D．
【变式训练2】（2021秋•北海期末）已知角 为第二象限角， ，则 的
值为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2021秋•安庆期末）已知 ，则
A． B． C． D．
【变式训练4】（2021秋•河北月考）若 ， ，则
A． B． C． D．
题型二：给值求角问题
【要点讲解】依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值
【例2】（2023春•高安市校级期中）
A． B． C． D．
【变式训练1】A． B． C．1 D．
【变式训练2】（ 2023 春 • 分 宜 县 校 级 月 考 ） 设 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023春•泉山区校级月考）
A． B． C． D．
【变式训练4】（2023春•吴江区校级月考）已知 ，则
A． B． C． D．
【变式训练5】（2023春•辽宁月考）
A． B． C． D．
题型三：辅助角公式
【要点讲解】 ,其中 的值由 ,及 符号确定
【例3】（2022•杭州模拟）已知函数 ，当 时， 取得最大值，
则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022秋•南安市期中）已知函数 ，当 时，
取得最大值，则
A． B． C． D．
题型四：两角和与差的正切公式的逆用
【要点讲解】涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的
变形.
题型五：两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
【要点讲解】三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π减少角的种类.
(1) 常 用 结 论 有 : , , ,
(2)sin A>sin B A>B等.
⇔
【例4】（2023 春•招远市校级期中）在 中，已知 ， ，则A． B． C． D．
【变式训练1】（2022 秋•永丰县校级期末）在 中， ， ，则
的值为
A． B． C． D．
【变式训练2】（2021秋•雨花区校级期末）在 中，已知 ， ，则
的大小为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023 春•上城区校级期中）在 中， 为锐角，若 ，
，则
A． B． C． 或 D．
【变式训练4】（2018秋•益阳期末）已知角 ， ， 为 的内角， ，
，则 的值为
A． B． C． D．
题型六：综合运用
【例5】（2023春•达州期末）在 中，若 ，则 的最小值
是A．1 B． C． D．
【变式训练1】（ 2023 春 • 青 羊 区 校 级 月 考 ） 已 知 ， ， 且 满 足
．
（1）证明： ；
（2）求 的最大值．
【变式训练2】（2023 春•如皋市月考）已知角 ， 满足 ， ，则
的最大值为
A． B． C． D．1
【变式训练3】（2023•朝阳区校级模拟）已知 ， 均为锐角，且 ，则
的最大值是
A．4 B．2 C． D．
课后练习
一．选择题（共6小题）1．（2023春•郫都区期末）已知 ， ，则
A． B．3 C． D．
2．（2023春•成都期末）已知 ，则
A． B． C． D．
3．（2023 春•泗阳县校级月考）已知 ， ， ，
，则
A． B． C． D．
4．（2023春•泗阳县期中）已知函数 在 ， 上有两个不同
的零点，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
5．（2023•玉树市校级模拟）若 ，则
A． B． C． D．
6．（2023•鲤城区校级模拟）若 ，则
A．0 B． C．3 D．7
二．多选题（共2小题）7．（2022•杭州模拟）已知函数 图象的最小正周期是 ，则
A． 的图象关于点 对称
B．将 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称
C． 在 上的值域为 ，
D． 在 上单调递增
8．（2023春•西湖区校级期中）已知函数 的图象为 ，则下列
结论中正确的是
A．图象 关于直线 对称
B．图象 的所有对称中心都可以表示为 ，
C．函数 在 上的最大值为
D．函数 在区间 上单调递减
三．填空题（共4小题）
9．（2023春•南充期末）若 ，则 ．
10．（2023春•萍乡期中）若 ，则 ．
11．（2023春•大祥区校级期末）若 ，则 ．
12．（2023春•湖南期中）若 ，则 ．
四．解答题（共3小题）13．（2023春•聊城期中）已知函数 ，周期是 ．
（1）求 的解析式，写出函数 的对称轴；
（2）若 成立的充分条件是 ，求 的取值范围．
14．（2023春•西城区期末）已知 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
15．（2022秋•西昌市期末）（1）在 中已知 ，求 ， 的值；
（2）在 中已知 ，求 的值．
