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第 4 讲 函数与导数解答题
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
突破五：最值定位法解决双参不等式问题
突破六：值域法解决双参等式问题
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
角度3：等价转化与不等式证明
角度4：超越放缩与不等式证明
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
角度2：糅合双参（比值糅合）
角度3：糅合双参（差值糅合）
角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
第一部分：知识强化
1、不等式恒成立(能成立)求参数范围的类型与解法
（1）分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
（2）分类讨论法
如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
（3）等价转化法
当遇到 型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
2、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
3、值域法解决双参等式问题（任意——存在型）
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
4、值域法解决双参等式问题（存在——存在型）
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
5、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
（1）对数型超越放缩： （ ）上式（1）中等号右边只取第一项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
对于结论②左右两边同乘“ ”得 ，用 替换“ ”得：
（ ） 结论③
（2）指数型超越放缩： （ ）
上式（2）中等号右边只取前2项得： 结论①
用 替换上式结论①中的 得： 结论②
当 时，对于上式结论② 结论③
当 时，对于上式结论② 结论④
6、指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均值不等式有如下
关系：
7、对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
第二部分：重难点题型突破
突破一：分离变量法与不等式恒（能）成立问题1．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知 ，若对任意的 不等式
恒成立，则实数 的最小值为_______.
2．（2022·黑龙江·高二期中）已知 ，若存在 ，使不等式
，对于 恒成立，则实数 的取值范围是______．
3．（2022·贵州毕节·三模（文））函数 ．
(1)讨论函数 零点的个数；
(2)若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，函数 在 上恒成立，求整数 的最大值.
5．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知函数 （ ）.(1)当 时，对于函数 ，存在 ，使得 成立，求满足条件
的最大整数 ；（ ）
(2)设函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
6．（2022·天津市宁河区芦台第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)令 是函数 图像上任意两点，且满足
，求实数 的取值范围；
(3)若 ，使 成立，求实数 的最大值.
突破二：分类讨论法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））已知函数 ， ，若
对于 ， 恒成立，则实数 的取值集合是_______．2．（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数 ，其中 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的最大值.
3．（2022·北京海淀·高三期中）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明：函数 在区间 上有且仅有一个零点；
(3)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
4．（2022·福建福州·高二期末）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在 ，使得不等式 成立，求m的取值范围．
5．（2022·陕西·咸阳市高新一中高二期中（理））已知函数
(1)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值与函数 的单调区间；(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的极小值为___________；若函数
，对于任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是
___________.
突破三：同构法与不等式恒（能）成立问题
1．（2022·广西北海·一模（理））已知函数 ．
(1)当 时，求过点 且和曲线 相切的直线方程；
(2)若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
2．（2022·江苏·南京师大苏州实验学校高三阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，是否存在正实数 ，使得 成立（ 为自然对数的底数）？若存
在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由．
3．（2022·江西·芦溪中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当 时，证明： ．突破四：端点效应与不等式恒（能）成立问题
1．设函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的零点；
（Ⅱ）若对任意 ， ，恒有 ，求实数 的取值范围．
2．（2021·河南大学附属中学高三阶段练习（文））已知函数f（x）＝ax﹣a+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈（1，+∞）时，曲线y＝f（x）总在曲线y＝a（x2﹣1）的下方，求实数a的取值范围．
突破五：最值定位法解决双参不等式问题
1．（多选）（2022·福建龙岩·高二期中）已知函数 ， ，若 ，
，使得 成立，则a的取值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2022·江苏省石庄高级中学高二阶段练习）已知 ， ，若对
， ，使得 成立，则a的取值范围是______．
3．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期中（理））已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；(2)当 时，设 ，若对于任意 、 ，均有 ，求 的取值范围.
4．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在 处切线的方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值， ．
（1）求 的值与 的单调区间；
（2）设 ，已知函数 ，若对于任意 、 ， ，都有 ，求实数
的取值范围．
6．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知函数 是定义域为 的奇函数，且 .
(1)求 的值，并判断 的单调性（不必证明）；
(2)设 为正数，函数 ，若对于任意 ，总存在 ，使得
成立，求 的最大值.
7．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知二次函数 .
(1)若关于 的不等式 对 恒成立，求 的取值范围；
(2)已知函数 ，若对 ， ，使不等式 成立，求 的取值范围.突破六：值域法解决双参等式问题
1．（多选）（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若对任
意的 ，均存在 ，使得 ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东省实验中学高一阶段练习）设函数 与函数 ）的定义域的交集为D，集
合M是由所有具有性质：“对任意的 ，都有 ”的函数 组成的集合.
(1)判断函数 ， 是不是集合M中的元素？并说明理由；
(2)设函数 ， ，且 ，若对任意 ，总存在
，使 成立，求实数a的取值范围.
3．（2022·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，
且 ．(1)若关于 的方程 的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数 的取值范围；
(2)已知函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取
值范围．
突破七：单变量不等式证明
角度1：构造函数，利用单调性证明不等式
1．（2022·河南焦作·高三期中（理））已知函数 ，曲线 在点 处的
切线在 轴上的截距为 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明：当 时， ．
参考数据： ， ．
2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ，且曲线 在点 处的
切线方程为 ．
(1)求a，b的值，并求函数 的单调区间；
(2)证明： ．
3．（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（文））已知函数 ，
(1)若 ，求 的极值；
(2)讨论 的单调区间；(3)求证：当 时， .
4．（2022·广东广州·高二期末）设x＞0，f(x)=lnx，
(1)求证：直线y=x-1与曲线y=f(x)相切；
(2)判断f(x)与g(x)的大小关系，并加以证明．
角度2：构造函数，利用最值证明不等式
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ，比较 与 的大小关系.
2．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）函数 .
(1)求证： ；
(2)求证： .
3．（2022·河南·一模（理））已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；(2)若 ，证明：当 时， ．
角度3：等价转化与不等式证明
1．（2022·江西景德镇·三模（文））已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)已知 ，求证：当 时，总有 .
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 ，证明：当 时， .
3．（2022·山东·菏泽一中高二阶段练习）已知函数 ， ，其中
…为自然对数的底数.
(1)当 时，若过点 与函数 相切的直线有两条，求 的取值范围；
(2)若 ， ，证明： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)求 的极大值点和极小值点；
(2)若函数 ，当 时，证明： ．
5．（2022·广西·钦州一中高二期中（理））已知函数 .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 ，证明不等式 在 上成立.
角度4：超越放缩与不等式证明
1．（2022·江苏省包场高级中学高三开学考试）已知函数 .
(1)设 是函数 的极值点，求 的值并讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： .
2．（2022·安徽·高二期末）函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 ，且 .
①证明： 有两个极值点；
②证明：对任意的 .
3．（2022·四川·成都七中高二期中（理））函数 .(1)若 ， 对一切 恒成立，求a的最大值；
(2)证明： ，其中e是自然对数的底数.
4．（2022·四川·成都七中高二期中（文））函数 .
(1)若 ， 对一切 恒成立，求a的最大值；
(2)证明： ，其中e是自然对数的底数.
突破八：利用导数证明双变量不等式
角度1：分离双参，构造函数
1．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若对任意的 ， ，且 ，都有
，则m的值可能是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习） ，均有 成立，则
的取值范围为___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在点 ， （1） 处的切线与 轴平行．
(1)求实数 的值及 的极值；
(2)若对任意 ， ，有 ，求实数 的取值范围．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．(1)若函数 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)证明：若 ，则对于任意的 ， ， ，有 ．
角度2：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知函数 ，
.
(1)讨论 的单调性；
(2)任取两个正数 ，当 时，求证： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 ，证明： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ， ，证明：
4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知函数 .
（1）求证：当 时， ；
（2）设斜率为 的直线与曲线 交于两点 ，证明： .
5．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 在 上的单调性；
（2）存在 ， ， ，求证： .
角度3：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ，令 ，则 的最小值属于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知函数 的最大值为 ，且曲线
在x＝0处的切线与直线 平行（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果 ，且 ，求证： ．角度4：利用指数（对数）平均不等式解决双变量问题
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）若存在 ， ，且当 时， ，当 时，求证： .
