文档内容
19.2 二次根式的乘法与除法
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.会进行简单的二次根式的除法运算.
2.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
3.理解最简二次根式的概念,能熟练地将二次根式化成最简二次根
式.
【过程与方法】
1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算
法则.
2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.
【情感态度与价值观】
在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的
相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.
二、课型
新授课
1 / 13三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质
进行二次根式的化简与运算.
【教学难点】
二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近
√h
似地符合公式为d=8 .
5
h
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 =20时，他看到的水
5
平线的距离d 是多少？
1
2 / 13学生答：d =8√20=16√5.
1
h
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 =40 时，此时
5
他看到的水平线的距离d 是多少？
2
学生答：d =8√40=16√10.
1
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到
的水平线的距离是原来的多少倍？
解：d 16√10.
2=
d 16√5
1
教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样
算呢？除法有没有类似的法则？
（二）探索新知
1.探究二次根式的除法（出示课件5-7）
教师出示问题：
计算下列各式：
√4 √4
（1） =___÷___=__; =_____;
√9 9
√16 √16
（2） =___÷___=__; =______;
√25 25
√36 √36
（3） =___÷___=__; =_______;
√49 49
3 / 13学生独立思考后，教师找三名学生回答.
√4 2 √4 2
学生1答：（1） =2÷3= , = ;
√9 3 9 3
√16 4 √16 4
学生2答：（2） =4÷5= , = ;
√25 5 25 5
√36 6 √36 6
学生3答：（3） =6÷7= , = ;
√49 7 49 7
教师问： 观察两者有什么关系？
√4 √4 √16 √16 √36 √36
学生答：（1） = ;（2） = ;（3） = .
√9 9 √25 25 √49 49
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法
√a
运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
√b
学生答：√a =√a
.
√b b
教师问：在前面发现的规律√a =√a 中，a,b的取值范围有没有
√b b
限制呢？
学生讨论回答：a≥0，b＞0.
师生一起归纳总结：（出示课件8）
二次根式的除法法则:
√a = √a （a≥0，b＞0）
√b b
教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？
4 / 13学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？
学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.
教师总结如下：
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项
式法则，易得m√a =m√a（a≥0，b＞0,n≠0）
n√b n b
考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根
式
计算：（出示课件9）
√24 √3 √ 1
（1） ;（2） ÷ .
√3 2 18
师生共同解答如下：
√24 √24
解：（1） = =√8=√4×2=2√2;
√3 3
√3 √ 1 √3 1 √3
（2） ÷ = ÷ = ×18=√3×9=3√3.
2 18 2 18 2
教师追问：像（2）中除式是分数或分式时，如何化简呢？
5 / 13学生答：先要转化为乘法再进行运算.
出示课件10，学生自主练习，教师给出答案.
考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次
根式
计算: （出示课件11）
3√42 √ 1 1√1
（1） ;（2）2 1 ÷ .
5√6 2 2 6
学生独立思考后，师生共同解答如下：
3√42 3√42 3
解：（1） = = √7;
5√6 5 6 5
（2）2√ 1 1√1 ( 1) (√3 √1)= √3 1 √3
1 ÷ = 2÷ × ÷ （2×2）× ÷ =4× ×6=12
2 2 6 2 2 6 2 6 2
.
教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？
学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进
行运算.
出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究商的算术平方根的性质
从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：
6 / 13（1）√4 √4 ;
=
9 √9
（2）√16 √16 ;
=
25 √25
（3）√36 √36 .
=
49 √49
教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法
√a
运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
b
学生回答:√a √a.
=
b √b
教师问：在前面发现的规律√a √a 中，a,b的取值范围有没有限
=
b √b
制呢？
学生回答：a≥0，b＞0
师生一起归纳总结：（出示课件13）
二次根式的商的算术平方根的性质:
（a≥0，b＞0）
√a √a
=
b √b
教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？
学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的
7 / 13算术平方根.
考点1：商的算术平方根的性质的应用
化简:（出示课件14-15）
（1）√ 3 ;（2）√ y3 ; （3）√ 7 ;
2
100 x2 9
（4）√ 81 (x>0); （5）√0.09×169 .
25x2 0.64×196
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）√ 3 √3 =√3;
=
100 √100 10
（2）√ y3 √y3 √y2∙√y y√y;
= = =
x2 √x2 √x2 x
（3） √ 7 =√25 √25 =5;
2 =
9 9 √9 3
（4）√ 81 =√ 92 = √92 9 ;
=
25x2 (5x) 2 √（5x）2 5x
（5）√0.09×169 =√0.32× 132 =0.3×13 39 .
=
0.64×196 √0.82×142 0.8×14 112
教师问：像（5）可以如何计算的呢？
学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方
根性质.
8 / 13出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
3.探究最简二次根式的定义（出示课件17-18）
教师出示问题：
设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a,b已知S=√10,b=√3,求a.
学生答： S √10 √10 √10×3 √30 √30 √30
a= = = =
b √3 3 3×3 32 √32 3
= = = .
教师问：这个结果能否再化简.
学生答：不能.
教师问：观察下面式子中的二次根式.
√3 y√y √30
2√2，3√3， ， ，
10 x 3
它们有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足
什么条件就可以说它是最简了？
教师引导学生归纳总结（出示课件19）
最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
(2)被开方数中不含开得尽平方的因数或因式.
教师强调：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然
后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
9 / 13有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.
考点1：分母有理化
计算:（出示课件20）
√3 3√2 √8
（1） ;（2） ;（3） .
√5 √27 √2a
学生独立思考后，师生共同解答.
解：（1）√3=√3×√5
=
√15
=
√15;
5 √5×√5 (√5) 2 5
（2）3√2 = 3√2 3√2 √2=√2×√3=√6;
= =
√27 √32×3 √32×√3 √3 √3×√3 3
√8 √8∙√2a 4√a 2√a
（3） = = = .
√2a √2a∙√2a 2a a
教师总结点拨：
分母形如n√a的式子，分子、分母同乘以√a可使分母不含根号.
方法点拨：（出示课件21）
化成最简二次根式的一般方法:
(1)将被开方数中能开得尽平方的因数或者因式进行开方,如
= ;
√8=√4×2 √4×√2=2√2
(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,
√ 1 √4 √4×3 2√3
并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 1 = = =
3 3 3×3 3
10 / 13(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如
√ 3 √ 30 √30
√0.3 = = = .
10 100 10
出示课件22，学生自主练习，教师给出答案。
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么
样吧。
（三）课堂练习（出示课件23-27）
练习课件第23-27页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件28）
二次根式的除法 内容
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方
二次根式的除法
√a √a
法则 根.即 = （a≥0，b＞0）.
√b b
二次根式的除法 m√a m√a
= (a≥0,b>0,n≠0)
法则的拓展 n√b n b
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根
商的算术平方根 √a √a
除以除式的算术平方根.即 = （a≥0，b＞
的性质 b √b
0）.
最简二次根式满足两个条件：被开方数不
含分母；
最简二次根式
被开方数中不含能开得尽平方的因数或因
式.
（五）课前预习
预习下节课（19.3第1课时）的相关内容.
11 / 13知道二次根式加减运算的法则.
七、课后作业
1、教材第10页练习第1，2，3题.
2、培优练习19.2第1，2，4，5，8，9题.
八、板书设计
二次根式的乘法与除法
第2课时
1.二次根式的除法
考点1 考点2
2.商的算术平方根的性质
考点1
3.最简二次根式
考点1
4.例题讲解
九、教学反思
成功之处：本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、
计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探
12 / 13究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感
和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时的设计充分反
映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创
新精神和创造能力的教学目标.
存在问题：由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次
根式的除法法则和商的算术平方根的性质,但一些学生在计算时,没有
把结果化成最简二次根式.
补救措施：在总结二次根式乘法一课的学习方法之后,进一步放
手让学生自学本节内容,让学生观察、归纳出二次根式的除法法则和
商的算术平方根的性质,重点进行计算练习,提高二次根式乘除运算的
能力.
13 / 13
