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解密 02：常用逻辑用语
【考点解密】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇏
p是q的充要条件 p q
⇏ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇏ ⇏
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的
取值范围用M表示
结构
对M中任意一个x，p(x)成
存在M中的元素x，p(x)成立
立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x)
否定 ∃x∈M， p(x) ∀x∈M， p(x)
【方法技巧】
一、充要条件的两种判断方法
（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
二、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式
(或不等式组)求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决
定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
（3）数学定义都是充要条件.
【核心题型】
题型一：充分不必要条件1．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指对、数函数的单调性结合充分、必要条件分析判断.
【详解】∵ 在 上单调递增，
∴ ，
又∵ 在R上单调递增，
∴ ，
由 可得 ，但由 不能得到 ，例如 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2022·山东济南·模拟预测）设 ： ， ： ，则 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出 中x范围，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由 ： 得 ， ，
即 ：
是 成立的充分不必要条件.
故选：A
3．（2022·四川资阳·一模（理））已知命题 ：“ ”；命题 ：“函数 单调递增”，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件【答案】A
【分析】通过导数研究 的单调性，以此判断命题p与 的关系即可.
【详解】当 时， ，因 ， ，
则 ，得 单调递增，有 ，即p是 的充分条件.
当函数 单调递增，有 恒成立，
得 ，有 不能推出p（a可以等于1）.即p不是 的必要条件.
综上：p是 的充分不必要条件.
故选：A
题型二：必要不充分条件
4．（2022·贵州·模拟预测（理））已知曲线 的方程 ，则“ ”是“曲线 是圆”
的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】 ，即 ，
∴曲线 是圆 ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A.
5．（2022·四川泸州·一模（文））已知直线m，n及平面 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由充分条件与必要条件求解即可
【详解】由题意可知：当 时， 与 可能平行，也可能相交，故充分性不成立；
当 时， 成立，故必要性成立；
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
6．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知向量 ， ，且 ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量平行的坐标运算以及三角函数的性质可得当 时 或者 或者 ，即可判断必要
不充分条件.
【详解】若 ，则满足 ，进而得 ，故 或
或 ，
由于 ，所以 或者 或者 ，
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
题型三：充要条件
7．（2022·河北·模拟预测）已知 中， ，则 的充要条件是（ ）
A． 是等腰三角形 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.
【详解】由于 ，故当 是等腰三角形时， 或 或 ；当 时， 是等腰三角形，所以 是等腰三角形是 的必要不充分条件，所以选项A不正确；
当 时， ，即 ，所以 或 ，则 或 ；当
时， ，根据正弦定理可得 ，所以 是 的必要不充分条件，所以选项B不正确；
当 时， ，即 ，解得 ，所以 不是 的充分条件，所以选
项C不正确；
当 时， ；当 时，即 ，根据余弦定理
，解得 ，则 ，所以
是 的充要条件，
故选：D．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校三模（理））以下命题错误的序号为（ ）
① 与 是两条不同的直线，则“ ”是“ ”的充分不必要条件；
②若“ ”是真命题，则“ ”一定是假命题；
③荀子曰：不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海．这说明“积跬步”是“至千里”的充分条件；
④“ ”是“ 为奇函数”的充要条件．
A．①③④ B．①② C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】①根据平行线的条件计算出 取值；②根据数学计算中逻辑“与”运算判断命题 、 的真假，即可判断；
③根据充要条件性质判断即可；④根据奇函数定义判断即可.
【详解】对于①.若 ，则 ，解得 或 ，当 时 是同一条直线，故
是 的充要条件，故①错误；
对于②. 为真命题，则 为真命题， 为真命题，因此 为假命题， 为假命题，故②正确；对于③, “积跬步”不一定可以“至千里”，但是“至千里”需要“积跬步”才能完成，故“积跬步”是“至千
里”的必要不充分条件，故③错误
对于④，若 ， 不一定是奇函数，如 ，故④错误.
故选:A
9．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当
时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可
得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.题型四：简单的逻辑联结词
10．（2023·陕西西安·高三期末（理））已知命题 过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题
， ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断命题 、 的真假，利用复合命题的真假逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于命题 ，如下图所示，
设点 为直线 外一点，过点 有且只有一个平面 使得 ，
过点 在平面 内有无数条直线与 异面且与直线 垂直，命题 为假命题；
对于命题 ， ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，命题 为真命题.
因此， 、 、 均为假命题，命题 为真命题.
故选：B.
11．（2022·河南·一模（理））已知 ， ； ， ．若 为真，则实数a的取值
范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式恒成立问题分别求出命题 为真命题和 为真命题时a的取值范围，取交集即可．
【详解】 为真，得 为真且 为真，， ，
为真时， 恒成立，
，解得 .
， ，
由 ， 为真命题，得 ，
∴ 为真，有 ，
故选：C
12．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知命题 ， ，命题 函数
在区间 上是减函数，则 ，下列结构中正确的是（ ）
A．命题“ ”是真命题 B．命题“ ”是真命题
C．命题“ ”是真命题 D．命题“ ”是真命题
【答案】C
【分析】先判断命题 的真假性，然后结合逻辑连接词的知识求得正确答案.
【详解】对于命题 ，当 时， ， ，所以 为假命题，
对于命题 ， 在区间 上是减函数，
即 ， 在 上恒成立，
，所以 ，所以命题 为真命题.
所以 、 、 为假命题，
是真命题.
故选：C
题型五：全称量词与存在量词
13．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）给出如下几个结论:①命题“ ”的否定是“ ”;
②命题“ ”的否定是“ ”;
③对于 ;
④ ，使 .
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基
本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，
知①不正确，
命题“ ”的否定是“ 或 ”,故②不正确；
因为 ，
当且仅当 即 时取等号，③正确；
由 ，比如 时, ,
故 ，使 ，④正确，
故选：B
14．（2022·全国·高三专题练习）若“ ，使得 ”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出 ，从而求出实数a的取值范围.
【详解】因为“ ，使得 ”为假命题，则“ ，使得 ”为真命题，
因为 ，
所以实数a的取值范围是
故选：D
15．（2022·四川绵阳·一模（理））若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题是真命题，转换为求函数的最大值，即可求解.
【详解】 ，函数的最大值是 ，
根据命题是真命题可知， ，即 .
故选：A
题型六：集合和逻辑用语的综合
16．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））已知函数 的值域为集合A，函数
的定义域为集合B．
(1)当 时，求 ；
(2)设命题 ，命题 ，若p是q的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数 的值域和 的定义域，求交集即可；
（2）根据p是q的充分不必要条件，可得 ⫋ ，从而可得实数 的取值范围.【详解】（1）当 时， ，
由题意 ，解得 或 ，
所以 或 ，
又函数 的值域为集合A，故
所以 .
（2）由题意 ，即 ，
解得： 或 ，
所以 或 ，
由题意可知 ⫋ ，又
所以 或 ，解得 或
故实数a的取值范围 .
17．（2022·全国·高三专题练习）已知命题p：函数 的值域为 ，命题q： ，使得
不等式 ．
(1)若p为真，求实数a的取值范围；
(2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1） 根据题意，设 ，由对数函数的性质可得 ，解可得答案；
（2）根据题意，分析p、q为真时a的取值范围，又由复合命题的真假关系可得p、q一真一假，即可得关于a的
不等式组，解可得答案．
(1)
根据题意，命题p：函数 的值域为R，设 ，必有 ，解可得 ，
(2)
对于q， ，使得不等式 ，即 在区间[1，2]上有解，
设 ，在区间[1，2]上为减函数，则有 ，
若q为真，必有 ，
若p∨q为真，p∧q为假，即p、q一真一假，
若p为真，q为假，必有 ；
若p为假，q为真，必有 ；
综合可得：a的取值范围为 或 ．
18．（2022·河南·南阳中学模拟预测（理））已知 ，命题 ：函数 仅有一个极值点；命题
：函数 在 上单调递减.
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
（2）若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）去掉绝对值号转化为分段函数，由二次函数可知其极值点，分类讨论即可求解；
（2）由复合函数的单调性求出 为真命题时 的取值范围，再根据复合命题的真假判断出 为假命题，即可得出
的取值范围.
【详解】 ，
易知函数 和 分别在 和 处取得极小值.
当 时， 仅有一个极小值点 ，
此时 为真；当 时， 有两个极小值点 和
一个极大值点
此时 为假；
当 时， 仅有一个极小值点
此时 为真.
的取值范围是 .
若命题 为真命题，
函数 在 上单调递减，
函数 在 上单调递减，且恒大于 ，
为真命题，
为假命题，
又 为假命题，
为假命题.
由 为假命题可得 或
的取值范围是 .
19．（2021·上海市行知中学高三开学考试）若数列 满足 ( ，且 为实常数)， ，则称数
列 为 数列.
（1）若数列 的前三项依次为 ， ， ，且 为 数列，求实数 的取值范围；
（2）已知 是公比为 的等比数列，且 ，记 .若存在数列 为数列，使得 成立，求实数 的取值范围；
（3）记无穷等差数列 的首项为 ，公差为 ，证明：“ ”是“ 为 数列”的充要条件.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】（1）由题意可得 ，可得 的不等式组，解得 的范围；
（2）由题意可得 或 ，分别讨论 的范围，结合等比数列的通项公式和数列极限的公式，即可
得到所求范围；
（3）先证充分性，讨论 是否为0，结合等差数列的通项公式和不等式的性质，以及 数列的定义，可得证明；
再证必要性，同样讨论 是否为0，结合等差数列的通项公式和首项与公差的符号，即可得证．
【详解】（1）因为 为 （3）数列，所以 ，
则 ，解得 ，
即 的取值范围是 ， ；
（2）由数列 为 （4）数列，可得 或 ，
当 时，由 ， ，所以 ．
则 ，
所以 ，即 ；
当 时，由 ， ，所以 ．
则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
则 的取值范围是 ；（3）先证充分性．因为 ，所以 ， 为等差数列，
所以当 时， ，此时 ，
由 ，所以 成立，所以 为 数列；
当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即有 ，
因为 ，所以
，
所以 恒成立，所以 为 数列，
综上可得， 为 数列；
再证必要性．因为 为 数列，所以 恒成立，所以 ，
当 时， 显然成立；
当 时，因为 ，所以 的每一项同号，所以 与 也同号，
所以 ，因为 恒成立，所以 时， 成立，
因为 为等差数列， ， ，
所以 ，即为 ， ，
综上可得，“ ”是“ 为 数列”的充要条件．【高考必刷】
一、单选题
20．（2022·天津·高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当 为整数时， 必为整数；当 为整数时， 比一定为整数；即可选出答案.
【详解】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
21．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知命题 ，命题 ，则 是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据分式不等式的解法，先求得 ，根据充分、必要条件的概念，分析即可得答案.
【详解】由 ，等价于 ，解得 或 ，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 是q的既不充分也不必要条件．
故选：D
22．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））设m，n为实数，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简 和 ，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.
【详解】因为函数 为 上的单调递增函数，又 ，所以 ，所以 ，又
函数 在 上单调递减，所以 ，所以“ ”是“ ”的充分条件，因
为函数 在 上单调递减，又 ，所以 ，当 为负数时， 没有对数值，所以“
”不是“ ”的必要条件，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
A正确，
故选：A.
23．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列 为等差数列，前 项和为 ，则“ ”是“数列 为单
增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先说明充分性，由 得到 为单调递增数列，设公差为 ，表达出
，结合对称轴得到 时，此时 先增后减，从而充分性不成立；
再举出反例得到必要性不成立.
【详解】若 ，故 ，即 ，
故 为单调递增数列，设公差为 ，
此时 ， ，
令 ，对称轴为 ，当 时，此时对称轴 ，此时 先增后减，
所以数列 不是单调数列，
充分性不成立，
若数列 为单增数列，设等差数列 公差为 ，
若 ，不妨设 ，此时 ，满足数列 为单增数列，
此时 ， ，故必要性不成立，
故“ ”是“数列 为单增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
24．（2022·福建·福州三中模拟预测）如果对于任意实数 表示不超过 的最大整数，那么“ ”是“
成立”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据 的定义，结合已知条件，从充分性和必要性判断即可.
【详解】若 ，则 ，故
则 ，则 ，故充分性满足；
若 ，取 ，满足 ，但 ，故必要性不满足.
故“ ”是“ 成立”的充分不必要条件.
故选： .
25．（2023·广西·模拟预测（文））“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义得到不等式组 ，解出其解集，再根据两集合的关系判定为必要不充分条件.
【详解】方程 表示椭圆，则 所以 且 ，
所以 且 能推出 ，反之不成立，所以为必要不充分条件，
故选：A.
26．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．若给定命题 ，使得 ，则 ，均有
C．若 为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
【答案】B
【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的知识点对选项逐一判断
【详解】对于A，因为 ，所以 或 ，
因此“ ”是“ ”的必要不充分条件，故A错误；
对于B，命题 ，使得 的否定为 ，均有 ，故B正确；
对于C，若 为假命题p，q至少有一个则为假命题，故C错误；
对于D，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，故D错误；
故选：B
27．（2022·山东·汶上圣泽中学高三阶段练习）给出如下几个结论:
①命题“ ”的否定是“ ”;
②命题“ ”的否定是“ ”;③对于 ;
④ ，使 .
其中正确的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题可判断①，②；利用基
本不等式判断③;结合三角函数恒等变换以及性质判断④,可得答案.
【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，
知①不正确，
命题“ ”的否定是“ 或 ”,故②不正确；
因为 ，
当且仅当 即 时取等号，③正确；
由 ，比如 时, ,
故 ，使 ，④正确，
故选：B
二、多选题
28．（2022·海南·模拟预测）已知命题 :“ ”， " ”，则下列正确的
是（ ）
A． 的否定是“ ”
B． 的否定是“ ”
C．若 为假命题，则 的取值范围是
D．若 为真命题，则 的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算 的取值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若 为假命题，则 的否定“ ”是真命题，即方程 在实数范围
内无解， ，得 ，C不正确；
D选项， ，等价于 ，解得 ，D正确；
故选：AD.
29．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 ，则 的最小值为4
B．“ ”是“ ”成立的充分条件
C．若随机变量 ，且 ，则
D．命题 ，则p的否定：
【答案】BC
【分析】对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于
C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.
【详解】对于A， ，当且仅当 时等号成立，故
A错误；
对于B，“ ”能推出“ ”，故B正确；
对于C， ，解得 ，故C正确；
对于D，p的否定： ，故D错误.
故选：BC.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知公差为d的等差数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是关于n的二次函数C． 不可能是等差数列 D．“ ”是“ ”的充要条件
【答案】AD
【分析】根据等差数列前 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC，再结合充分条件和必要条件的
定义即可判断D.
【详解】解：由 知， ，
则 ，所以 是等差数列，故A正确；
当 时， 不是n的二次函数，故B不正确；
当 时， ，
则 ，所以 是等差数列，故C不正确；
当 时， ，故 ，
，
所以“ ”是“ ”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
31．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先求命题“ ”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】因为 为真命题，
所以 或 ，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，A对，所以 是命题“ ”为真命题充要条件，B错，
所以 是命题“ ”为真命题充分不必要条件，C对，
所以 是命题“ ”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
32．（2023·全国·高三专题练习）在半径为10的圆上有三点M，N，C，其中M，N两点的坐标分别为 ､
.现有两个命题如下：p：若∠MNC为60°，则三角形MNC的面积为 ；q：若 ，则四边
形MCND的面积为 .那么下列选项正确的是（ ）
A．命题p是真命题 B．命题p是假命题
C．命题q是真命题 D．命题q是假命题
【答案】AD
【分析】由条件 及点 的坐标可判断命题 ，根据向量的数量积及模，可判断命题 .
【详解】M，N都在圆上，线段 ，因此MN为直径.由圆的性质知 为直角三
角形，有一个角为60°， ,因此其面积为 ，故命题p为真命题，因此A正确.
， ，则 ，所以 与 垂直，因此四边形MCND
的面积应当为 ，命题q为假命题，故D正确.
故选:AD.
三、填空题
33．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（理））若命题：“ ，使 ”是假命题，
则实数m的取值范围为____．【答案】 或
【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对 的符号分类讨论即可
【详解】由题意得，“ ，使 ”是真命题，
当 时，易得 时命题成立；
当 时，由抛物线开口向下，命题不成立；
当 时，则命题等价于 ，即
或
故答案为： 或
34．（2022·吉林省实验中学模拟预测（理））已知m，n是两条不重合的直线， 是一个平面， ，则“
”是“ ”的__________条件．
【答案】充分不必要
【分析】由线面垂直的性质可知满足充分性，由线面垂直的判定可知不满足必要性.
【详解】若 ，且有 ，根据线面垂直的性质，可得出 ；
若 ，且有 ，根据线面垂直的判定，直线 不一定与平面 垂直.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
35．（2022·全国·高三专题练习）设命题 : ；命题 :关于 的方程 的两个实根均大于0.若命
题“ 且 ”为真命题，求 的取值范围为____.
【答案】
【分析】由命题 为真命题解得 的范围，因为“ 且 ”为真命题，则 ， 都是真命题，则可求出.
【详解】由命题 为真命题，关于 的方程 的两个实根均大于0，
则 ，解得 ，因为“ 且 ”为真命题，则 ， 都是真命题，
所以 ，得 .
故答案为： .
36．（2021·安徽省定远中学模拟预测（文））设 ， ，记命题 ：“
”，命题 ：“ ”，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围为______________.
【答案】
【分析】求出集合 ，根据题意可得 是 的真子集，根据集合的真包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】由题意知 ， ，
因为 是 的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
所以 解得： ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .
四、解答题
37．（2022·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高三期中）设函数 的定义域为A，集
合
(1)求集合A；
(2)若p： ，q： ，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义域及根式有意义列出不等式组，求出集合 ；
（2）根据p是q的必要不充分条件，得到 是 的真子集，分 与 两种情况，进行求解.
【详解】（1）由题意得： ，解得： ，
所以 ；
（2）因为p是q的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，
解得： ，
综上：实数m的取值范围是
38．（2021·陕西·安康市教学研究室二模（理））已知 为正数， 不等式 对 恒成立； 函数
的最小值不小于2．
（1）若 为真命题，求 的取值范围；
（2）若 为假命题， 为真命题，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由均值不等式可得 ，根据条件可得 ，从而可得答案.
（2）先求出 为真命题时参数 的范围，根据条件 ， 一真一假，可得答案.
【详解】解：（1）因为 为正数， ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立．
若 为真命题，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
（2）若 为真命题，则 ，解得 ．
因为 为假命题， 为真命题，所以 ， 一真一假．
若 真 假，则 ；若 真 假，则 ．
综上， 的取值范围为 ．
