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解密20 椭圆
【考点解密】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两
1 2 1 2
焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
1 2 1 2
2．椭圆的标准方程和几何性质
＋＝1 ＋＝1
标准方程
(a>b>0) (a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
性 坐标 B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
1 2 1 2
质 轴 长轴AA 的长为 2 a ；短轴BB 的长为 2 b
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2
的关系
【方法技巧】
1.椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合 转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边
分别除以a或 转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2.涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，.
求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；
对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.
【核心题型】
题型一：利用椭圆的定义解决焦点三角形或者边长问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为 ，过 的直线与C交于P，Q两点，若
，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知可设 可求出所有线段用 表示，在 中由余弦定理得 从而可
求.
【详解】如图，由已知可设 ，又因为
根据椭圆的定义 ，在 中由余弦定理得 ，所以
故椭圆方程为：
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C： 上一点，点 、 是椭圆C的左、右焦
点，若 的内切圆半径的最大值为 ，若椭圆的长轴长为4，则 的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设 的内切圆半径为 ，则 ，结合
， ， ， ，可得 ，再由 即可求解.
【详解】由题意可得： ， ，
设 的内切圆半径为 ，
所以 ，因为 的内切圆半径的最大值为 ，
所以
因为 ，所以 ，可得 ，
又椭圆的长轴长为4，即 ，
由 ，求得 ，所以 的面积的
故选：A
3．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系中， ， ，
， ， ，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为 和 ，且 ，设点P
运动形成曲线F，点M是曲线F上位于x轴上方的点，则下列说法错误的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为
B． 面积的最大值为
C． 的最大值为5
D． 的周长为6
【答案】A
【分析】设 ，由两点求直线斜率公式化简可求点P的轨迹方程，即可判断A；结合焦点三角形的
面积计算即可判断B；根据椭圆的定义和三角形三边的大小关系即可判断C；结合焦点三角形的周长为定值
2a+2c，即可判断D.
【详解】由题意得，设点 ，则 ，
由 ，得 ，
整理，得 ，
即动点P的轨迹方程为 ，故A错误；
由 可得 ，所以 ， 为 的焦点，
故当点 运动到椭圆的上顶点时， 的面积最大，
此时 ，故B正确；
将 代入 可得 ，故 在椭圆 内，
由椭圆的定义，得 ，
而 ，
当且仅当 三点共线且点P位于第四象限时等号成立，
所以 ，故C正确；
焦点三角形的周长为定值 ，故D正确.
故选：A.
题型二：待定系数法求椭圆方程
4．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点 在x轴上，离心率为 .过点
的直线l与C交于A、B两点，且 周长为 ，那么C的方程为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据椭圆定义以及离心率即可求解 的值，进而根据 的关系即可求解 ，即可得椭圆方程.
【详解】如图，设椭圆方程为 .
∵ 周长为 ，∴4a ，得a .
△
又 ，∴ .
则 .
∴椭圆C的方程为： .
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，
B在x轴上， 且 .若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题干条件得到 ， 为 的中点，作出辅助线，利用相似得到 ，即 ，结合直角三角形的性质得到 ，求出 ，得到椭圆方程.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 为 的中点，
又因为 ，所以 ，
过点O作OM⊥AB于点M，则 ，
根据 ，可得 ，所以 ，
因为A为上顶点，所以
根据双曲线定义可知： ，所以 ，
由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得： ，即 ，
所以 ，故 ，
所以椭圆方程为：
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ， 为顶
点，且离心率为 ，过 作斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则 的
值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出椭圆的方程，设点 ，可得出 ，由点 在椭圆上，点 在双曲线上，可得
出关于 、 的方程组，求出 、 的值，利用斜率公式可求得 的值.
【详解】设所求椭圆的标准方程为 ，半焦距为 ，
双曲线 的左顶点为 ，右顶点为 ，
由于椭圆 以 ， 为顶点，则 ，该椭圆的离心率为 ，
所以， ，解得 ，所以，椭圆的方程为 ，
设点 ，由于 ，则点 ，
由于点 在椭圆上，点 在双曲线上，
所以， ，联立得： ，解得 或 ，
当 ，所以 ，此时点 与点 重合，不满足题意舍去；
当 ，所以 ，所以 .
故选：B.
题型三：直接法求椭圆离心率问题7．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C： 的左右焦点分别为 ， ，
点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足 是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数形结合可知，点 不是直角顶点，则由 ，确定离心率的取值范围.
【详解】当 和 垂直于 时，恰有4个点 满足 是直角三角形，
由条件可知，点 不是直角顶点，则以 为直径的圆与椭圆无交点，
则 ，得 ，解得： ，
所以椭圆离心率 的取值范围是 .
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交
于 两点，与 轴交于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出直线方程，求出 点坐标，由 ，得出 点坐标代入椭圆方程，化简可得结果.
【详解】设直线 为 ，，∴ 为 的中点， .
在椭圆上， ，
，代入化简整理得， ，
，
解得 ，
又 .
故选：C
9．（2023·山东淄博·统考一模）直线 经过椭圆 的左焦点 ，交椭圆于 ， 两
点，交 轴于 点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线 与坐标轴的交点，得到 ， ，则 ，由 ，得 点坐标，
点A又在椭圆上，由定义求得 ，可求椭圆的离心率.
【详解】对直线 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 ， ， 则 ，设 ，则 ，而 ，则 ，解得 ， 则 ，
点A又在椭圆上，左焦点 ，右焦点 ，
由 ，
则 ，椭圆的离心率 .
故选：C
题型四：构造齐次方程求离心率
10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，半焦距为 ．在椭
圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理及椭圆定义得 ，得 ，结合 ，
得关于 的不等式，从而求出 的范围.
【详解】由 ，得 ，得 ，
又 ，则 ，
∴ ，即 ，
又 ，∴ ．故选：B．
11．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知椭圆C： ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，P
为椭圆上一点， ，过 作 外角平分线的垂线交 的延长线于N点．若 ，则椭
圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式以及互余关系可得 ，进而在 中，由余弦定理联立方
程可得 ，进而可求解.
【详解】设 与 外角平分线的交点为 ,设 ，
由于 ， ,所以 ,进而 ，所
以 ,
设 ，则 ，在 中，由余弦定理得 ,
，两式联立得 ，即 ，解得 或 ，
由于 ，故 ，
故选：D12．（2023·江西赣州·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．椭圆 在第一象
限存在点 ，使得 ，直线 与 轴交于点 ，且 是 的角平分线，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意和椭圆定义可得到 ， 和 ， 的关系式，再根据 ，可得到关于 ，
的齐次式，进而可求得椭圆 的离心率 ．
【详解】由题意得 ，
又由椭圆定义得 ，
记 ，
则 ， ，
则 ，
所以 ，
故 ，
则 ，则 ，即 （负值已舍）．
故选：B．
题型五：利用自变量范围求离心率范围
13．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 离心率为e，双曲线 的渐近线的斜
率小于 ，则椭圆 的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出 的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e的取值范围.
【详解】根据双曲线方程 可得，其渐近线方程为 ，
又因为 ，且渐近线的斜率小于 ，即 ；
所以，椭圆 的离心率
即离心率e的取值范围是 .
故选：B
14．（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆 ： ，定点 ，
，有一动点 满足 ，若 点轨迹与椭圆 恰有4个不同的交点，则椭圆 的离心率的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】设动点 ，求出其轨迹，求出 ，即得解.
【详解】解：设动点 ，由题得 ，
化简得 .
所以动点 的轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆.
因为 点轨迹与椭圆 恰有4个不同的交点，
所以 .
所以椭圆 的离心率 .
因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆 的离心率的取值范围为 .
故选：D
15．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知点P在以 ， 为左、右焦点的椭圆
上，椭圆内存在一点Q在 的延长线上，且满足 ，若 ，则该椭
圆离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 和正弦值，可设出 的三边长，结合椭圆定义和勾股定理求出等量关系，利用点 的位
置求出 的范围，代入等式有解，可求出 的关系，即可求出离心率的范围.
【详解】解： 因为 ， ，不妨设 ， ， ，
由椭圆定义可知： ， ，
由勾股定理可知： ，即 ，化简可得： ，
点 在 延长线上，且在椭圆内部，所以 ， ，解得： .
令 在 上单调递增，所以 ，解得： ， ，又
，且 在椭圆内部，所以 ，则 ， .
故选B．
题型六：椭圆的综合问题16．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点
为 ，若△ 为等边三角形，且点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为 ，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），
直线 与y轴的交点分别为M、N，若 ，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)点 或
【分析】（1）由已知条件，椭圆的定义及 的关系可知 和 ，再设出椭圆的方程，最后将点代
入椭圆的方程即可求解；
（2）设点 ， ，由直线 的方程即可求出点 的坐标，由 的方程即可求出点 的坐标，由
已知条件可知 ，分直线 的斜率存在和直线 的斜率不存在两种情况分别求解，得出直
线 的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标.
【详解】（1）∵△ 为等边三角形，且 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
设椭圆的方程为 ，
将点 代入椭圆方程得 ，解得 ，所以椭圆E的方程为 .
（2）由已知得 ，设 ， ,
则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
即点 坐标为 ，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
即点 坐标为 ,
∵ ,∴ ,∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
①若直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ，
将直线方程与椭圆方程联立 得 ，
其中 ，
， ，
即 ， ， ，
所以 或 ，当 时，直线 的方程为 ，此时直线 恒过点 ，
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 恒过点 ，
②若直线 的斜率不存在时 ，
由 得 ，
即 ，解得 或 ，
此时直线 的方程为 或 ，
所以此时直线 恒过点 或 ，
综上所述，直线 恒过点 或 .
17．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴､ 轴，且过
两点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线交 于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若过定点，求
出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 过定点 .
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，进而待定系数求解即可；
（2）当斜率存在时，方程为 ， ，进而得 的方程为 ，再联立方程，结合韦达定理化简整理得 ，进而得定点，再说明斜率不存在时满足即可.
【详解】（1）解：因为椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴､ 轴，
所以，设椭圆 的方程为 ，
因为椭圆 过 两点，
所以 ，解得 ，
所以，椭圆 的方程为 .
（2）解：当过点 的直线斜率存在，设方程为 ， ，
联立方程 得 ，
则 ，解得 或 ，
因为点 关于 轴的对称点为 ，所以 ，
所以 ，直线 的方程为
所以，将 代入整理直线 的方程得：
所以，直线 过定点 .当过点 的直线斜率不存在时，方程为 ，此时 ，
点 在 轴上，直线 的方程即为 ，过点 .
综上，直线 过定点 .
18．（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设椭圆 的右焦点为F，右顶
点为A，已知椭圆离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若以
BH为直径的圆经过点F，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为 ，且 ，求直线l斜率k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出关于 ， ， 的方程组，解方程组，再求出椭圆C的方程；
（2）由已知设直线l的方程为 ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用
根与系数的关系求得B的坐标，由 ，求出H的坐标，再写出MH所在直线方程，由直线 和直线l，解
得求得M的坐标，从而得到 ，由 ，得到 ，再求出k的范围即可．
【详解】（1）因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3，所以 ①，
又因为椭圆离心率为 ，所以 ②，
又 ③，联立①②③可得 ， ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）设直线 的斜率为 ，则 ，设 ，
由 ，得 ，
则 ，得 ，则 ，
由（1）知， ，设 ，
所以 ， ，
因为以BH为直径的圆经过点F，则 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
设 ，由 ，可得 ，
由 ，则 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
所以直线 的斜率的取值范围为 ．【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆 的上焦点 且斜率为 的直线 交椭圆
于 两点， 为坐标原点，直线 分别与直线 相交于 两点.若 为锐角，则直线 的斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联
立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标
运算即可求解.
【详解】由题意可知， 所以
所以椭圆 的上焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
联立 消去 ，得 ，所以 .
由题设知， 所在的直线方程为 .
因为直线 与直线 相交于点 ，
所以 ；
同理可得 .
所以 .
因为 为锐角，
所以 ，
所以
，
即 ，解得： 或 ，
所以 ，或 ，或 .
故直线 的斜率 的取值范围是 .
故选:D.
20．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆
内一点，点 在双曲线 ： 上，若椭圆上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出椭圆左焦点 坐标为 ，由题得 ，解不等式得到 ，再解
不等式 即得解.
【详解】点 在双曲线 ： 上，所以 .
所以椭圆左焦点 坐标为 .
因为 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以 .
点 为椭圆 内一点，所以 ，
所以 或 .
综上： .
故选：A
21．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P，Q在椭圆C
上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用数量积知识得 ，然后利用第一定义及勾股定理得到a、c关系，即可求出离心率【详解】由 ，得 ，则点P是以 为直径的圆与椭圆C的交点，不妨设和点P在
第一象限，如图
连接 ，令 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，即 ，得 ，又 ，所以
，将 代入，得 ．
故选：A
22．（2023·河南焦作·统考模拟预测）分别过椭圆 的左、右焦点 、 作平行直线 、 ，
直线 、 在 轴上方分别与 交于 、 两点，若 与 之间的距离为 ，且 （ 表示面积，
为坐标原点），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 于点 ，从而得到 ，设 ，则 ，在 、
中利用余弦定理求出 、 ，由 可得 ，即可得解.
【详解】解：由题意知直线 、 的斜率一定存在，
设 、 ，过点 作 于点 ，由题意知 ， ，
所以 ，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
同理在 中利用余弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 .
故选：A
23．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点为 为椭圆上一点，过P点作椭圆
的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程和切点坐标，写出切线方程，得M点坐标，由M的位置，求得离心率.
【详解】因为 为椭圆 上一点，所以过P作椭圆的切线 ，
切线斜率 ，所以PM的斜率 ，直线PM的方程为 ，令 ，得 ，所以 ，由题 ， ，所以 ， ．
故选：C．
24．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆 的右焦点为F，过F作倾斜角为 的直线l交该
椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形 ，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出点P的坐标，由给定条件及椭圆的对称性可得点Q的坐标，再借助斜率坐标公式求出点P的坐标即
可求解作答.
【详解】设点 ， ， 中， ，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得 ，
令椭圆半焦距为c， ，由 得： ，解得 ，
而 ，因此 ，即 ，又 ，则 ，
整理得 ，而 ，则有 ，解得 ，
所以该椭圆的离心率为 .
故选：B
25．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知 ，结合椭圆的定义解得 ，再由 求解.
【详解】因为 ，所以 ，
由椭圆的定义得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
两边同除以a得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以该离心率 的取值范围是
故选：D.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若
，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，根据椭圆的定义和余弦定理得 ，再根据基本不等式和离心率公式
可得结果.
【详解】设 ， ，则 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时，取等号，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 .
故选：C
二、多选题
27．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知 是双曲线 的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为 ，连结 交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C． 的周长为 D． 的内切圆半径为
【答案】ABD
【分析】根据点A的坐标和离心率求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.
【详解】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：
，解得 ，∴双曲线 ，A正确；
对B， ， ， ，
，∴ ，B正确；
对C， ，
， ，周长 ，C错误；
对D，令 ，则 ， ，在 中，
，∴ ，设 的周长为l，内切圆半径为r，则 ，
由三角形面积公式知： ，，D正确；
故选：ABD．
28．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ， 为 的上顶点， ， 是 上两
点．若 ， ， 构成以 为公差的等差数列，则（ ）
A． 的最大值是
B．当 时，
C．当 ， 在 轴的同侧时， 的最大值为
D．当 ， 在 轴的异侧时（ ， 与 不重合），
【答案】ABC
【分析】由题可得 ，根据椭圆的焦半径的取值范围可判断A，根据 结合椭圆方程
可求 坐标，然后根据余弦定理可判断B，根据椭圆的性质结合基本不等式及斜率公式可判断CD.
【详解】因为椭圆 ，
所以 ， ， ，
又 ， ， 构成以 为公差的等差数列，则 ，
不妨设 ，由题可知 ，则 的最大值是 ，故A正确；
当 时， ，设 ，
则 ，解得 ，不妨取 ，设 ，则 ，解得 ，
所以 或 ，
当 时，又 ， ，此时 ；
当 时， ， ，
所以 ， ，
综上，当 时， ，故B正确；
设椭圆的右焦点为 ，则 ， ， ， ， ，
当 ， 在 轴的同侧时，则 ， 关于 轴对称，设 ，则 ，
所以 ，由 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 ，故C正确；
当 ， 在 轴的异侧时（ ， 与 不重合），则 ， 关于原点对称，
设 ，则 ，由 ，可得 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC.
29．（2023·山西晋中·统考二模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为B，直线l：
与椭圆C交于M，N两点， 的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点 ，则
（ ）
A．四边形 的周长为8 B． 的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当 时，
【答案】AC
【分析】对A选项，由椭圆的定义知，四边形 的周长为 即可求解；对B选项，由直线 与椭
圆相交的对称性知： ， ，借助基本不等式可得 的最小值；对
C选项，设 ，则 ，由点 在椭圆上，即可化得 的值；对D选项，设出，由条件推出 ， ，又在椭圆C中，由其第二定义 得
，从而得到 ， ， 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．
【详解】对A选项，由椭圆的定义知，四边形 的周长为 ，A正确；
对B选项， ，
当且仅当 时等号成立，故B错误；
对C选项，设 ，则 ，又 ，所以 ．
因为点 在椭圆上，所以 ，即 ，
所以 ，C正确；
对D选项，设 ，则 ，
所以 ， ，
在椭圆C： 中，
由其第二定义 （ 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得
，
，所以 ，故 ， ， ，
因为三点共线，所以 ，解得 ，则 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，故D错误．
故选：AC
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其
中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.
30．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，点M为
椭圆 上一点，点I是 的内心，延长MI交线段 于N，抛物线 （其中c为椭圆下的半焦
距）与椭圆 交于B，C两点，若四边形 是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率是
C． 的最小值为 D． 的值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用椭圆与抛物线的对称性得到 ，从而将 代入抛物线方程得到 ，进
而得以判断；对于B，将 代入椭圆 的方程得到 ，由此得以判断；对于C，利用椭圆的定义与基本
不等式“1”的妙用即可判断；对于D，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判
断.
【详解】对于A，因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，则 ， ，
， ，因为抛物线 （其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆 交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得， 两点关于 轴对称，不妨设 ， ， ，
因为四边形 是菱形，所以 的中点是 的中点，
所以由中点坐标公式得 ，则 ，
将 代入抛物线方程 得， ，
所以 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，由选项A得 ，再代入椭圆方程得 ，
化简得 ，则 ，故 ，所以 ，故B错误；
对于C，由选项B得 ，所以 ，则 ，
所以 ，不妨设 ，则 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故C正确；对于D，连接 和 ，如图，
因为 的内心为 ，所以 为 的平分线，则有 ，
同理： ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设 的坐标，再由菱形的性质与中点坐标
公式推得 ，从而求得 的值，由此得解.
三、填空题
31．（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析
几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们
的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，
焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】由①得原点到直线AB的距离 ，求得 ，由②得 ，求得 ，
从而 ，两边同除以 得 ，又 ，即可解得 ．
【详解】设左顶点 ，上顶点 ，则直线AB的方程为 ，以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，则原点到直线AB的距离 ，
即 ，即 ，即 ，所以 ，
长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列，则 ，所以 ，
综上， ，即 ，两边同除以 得 ，又 ，解得 ．
故答案为： ．
32．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）经研究发现，若点 在椭圆 上，
则过点 的椭圆切线方程为 .现过点 作椭圆 的切线，切点为 ，当
（其中 为坐标原点）的面积为 时， ___________.
【答案】
【分析】点 ，由题意可得切线方程，进而可求点 的坐标，根据 的面积整理可得 ，结合椭
圆方程即可得结果.
【详解】设点 ，则切线 ，
令 ，得 ，
可得 ，则 ，
∵点 在椭圆 上，则 ，
即 ，解得 ，
所以 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：以点 为切入点，设点 ，根据题意可得切线 ，这样就可得 ，
再根据题意运算求解即可.
33．（2023·福建莆田·统考二模）已知椭圆 的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关
于直线 的对称点为 ．若过A， ，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
【答案】 ##0.5
【分析】由题意得到过A， ，F三点的圆的半径也为a，求出线段 的垂直平分线的方程及线段 的垂直平分
线，求出交点及圆心坐标，从而利用半径列出方程，求出 ，得到离心率.
【详解】由题意得：过A， ，F三点的圆的半径也为a，
其中 ，线段 的中点坐标为 ，
故直线 的斜率为 ，故线段 的垂直平分线的斜率为 ，
故线段 的垂直平分线的方程为 ，
又线段 的垂直平分线为 ，
联立 与 得： ，
故圆心坐标为 ，故半径为 ，
故 ，其中 ，
解得： .
故答案为：
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C： ，过点 的直线l斜率范围为 ，过 向l作垂线，垂足为P，Q为椭圆上一点， 为椭圆右焦点，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】表示出直线l和与之垂直的垂线的方程，联立表示出垂足横坐标，根据椭圆第二定义表示出
与垂足横坐标关系，再根据斜率取值范围即可求出最小值.
【详解】设直线l斜率为k，直线l的方程为 ，过 向l作垂线的方程为 ，联立方程
，解得 ，其中 ，
若 ，右准线为 ，则 到右准线的距离为 ，
为椭圆右焦点，故 且 ，则 ，
所以 ，故 ，
而椭圆的离心率 ，则Q到右准线 的距离 .
过P作 于N，则 ，
当 且 在线段 上时， 取最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：椭圆的第二定义--平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，
）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数），其中定点为椭圆焦点，定直线称为椭圆的
准线（该定直线方程是 （焦点x轴上）或者 （焦点y轴上））
四、解答题
35．（2023·陕西榆林·统考二模）已知椭圆 ： （ ），四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，试问直线 ， 的斜率之和是否为定值？若是定值，
求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，1
【分析】（1）根据椭圆的对称性以及已知建立方程组求解.
（2）利用直线与椭圆的方程联立以及韦达定理、斜率公式进行计算求解.
【详解】（1）由椭圆的对称性可知 ， ， 在椭圆 上．由题意可得 解得
故椭圆 的标准方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则不妨令 ， ．
因为 ，所以 ， ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
联立 整理得 ，
则由 ，得 ， ， ．
因为 ， ，
所以
．
综上，直线 ， 的斜率之和是定值，且该定值为1．
36．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距
离的比为定值 ．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)设动点M的轨迹为曲线C，过点 的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，
垂足分别为 、 ，判断是否存在常数t，使得四边形 的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，t=3，定点为
【分析】（1）设 ，由题有： ，化简后可得轨迹方程；
（2）设过 直线方程为： ，将其与曲线C联立，由韦达定理可知 .又由对称性可知，若
定点存在，其一定在x轴上，并设定点为D.后利用向量 共线可得定点坐标.
【详解】（1）设 ，由题有
.
即动点M的轨迹方程为： ；
（2）由题过 直线斜率不为0，设过 直线方程为： ，将其与椭圆方程联立， ，消去
x得， .
由题其判别式大于0，设 ， ，则 ， .
则由韦达定理有： ， ，
得 .若存在常数t，使得四边形 的对角线交于一定点，
由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为 ，则 ，B，D共线.又 ， ，则
.
由s为定值，则 .
同理，若A， ，D共线，可得 .
故存在常数t=3，使得四边形 的对角线交于一定点，该定点为
