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解密21 双曲线
【考点解密】
1．双曲线的概念
平面内与两个定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲
1 2 1 2
线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF |－|MF ||＝2a}，|FF|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
1 2 1 2
2．双曲线的标准方程和几何性质
－＝1 －＝1
标准方程
(a>0，b>0) (a>0，b>0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
1 2 1 2
性 渐近线 y＝±x y＝±x
质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
线段AA 叫做双曲线的实轴，它的长|AA|＝2a，线段
1 2 1 2
实虚轴 BB 叫做双曲线的虚轴，它的长|BB|＝2b；a叫做双曲
1 2 1 2
线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
的关系
【方法技巧】
1. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
① 直接求出 ，从而求出 ;
② 构造 的齐次式，求出 ;
③ 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④ 根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点 相关的点 在已知曲线上；
（2）寻求关系式， ， ；
（3）将 ， 代入已知曲线方程；
（4）整理关于 ， 的关系式得到 M的轨迹方程
【核心题型】
题型一：待定系数法求双曲线方程
1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线 的焦点为 ， ，过 的直线 与 的左支相交于
两点，过 的直线 与 的右支相交于 ， 两点，若四边形 为平行四边形，以 为直径的圆过 ，
，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线 （ ， ）
的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
题型二：相同渐进性求双曲线方程
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线C的标准方程
是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．（2020·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 与 的渐近线相同，则曲线 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018秋·安徽池州·高三统考期末）双曲线 上一点 关于一条渐近线 的对称
点恰为左焦点 ，则该双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
题型三：直接法求离心率
7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线 ： （ ）的左、右焦点分别是 ， ， 是双曲线
上的一点，且 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）A． B． C． D．
8．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线
的一条渐近线上的点，且线段 的中点 在另一条渐近线上．若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
9．（2023·新疆·统考一模）已知 为双曲线 的左焦点，过点 的直线与圆
交于 两点（ 在 之间），与双曲线 在第一象限的交点为 为坐标原点，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：构造齐次方程求离心率
10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线 （ ， ）的左焦点 作圆
的切线，切点为 ，直线 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设 分别是双曲线 的左､右焦点，过 作
的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
A是双曲线C的左顶点，以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 ，则双曲
线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
题型五：渐进性的综合问题
13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知双曲线 ,直线 过双曲线 的右焦
点且斜率为 ,直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点（ 点在 轴下方）,且 ,则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为
、 ，点 在双曲线 的右支上，且 ，双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知双曲线 的右焦点为F，两条渐近
线分别为 ，过F且与 平行的直线与双曲线C及直线 依次交于点B，D，点B恰好平分线段 ，则双曲线C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．2题型六：利用自变量求离心率范围问题
16．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线 的左，右两支分别交于点A，B，
与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若 ，且 ， ，
成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点 为双曲线 的右焦点，直线 ，
与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2020·全国·高三专题练习）双曲线 上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若
AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且 ，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．(1， ＋1] B．
C． D．[ ，＋∞)
题型七：双曲线的综合问题
19．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 与直线 垂直，A为垂足且
位于第一象限，直线 与直线 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 （O为原点）的面积为8，
动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；(2)已知 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 ， 的斜率之和为1， ，求
的面积.
20．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，点 在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点， ，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q
与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
21．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中， 的两个顶点的坐标分别为
，两动点 满足 ，向量 与
共线.
(1)求 的顶点 的轨迹方程；
(2)若过点 的直线与（1）的轨迹相交于 两点，求 的取值范围.
(3)若 为 点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数 ，使得
恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【高考必刷】
一、单选题22．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线 的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C
上，且 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
23．（2023·河南焦作·统考模拟预测）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与
的右支交于 ， 两点，且 为 的重心，则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线 的左焦点为 ，M为C上一点，M关于原
点的对称点为N，若 ，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·重庆·统考二模） 是双曲线 的左 右焦点，点 为双曲线 右支上一点，
点 在 轴上，满足 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线
分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．27．（2023·江西赣州·统考一模）已知点 ，双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线 的右支
上运动.当 的周长最小时， （ ）
A． B． C． D．
28．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在xOy平面内，双曲线 （ ， ）的左、右焦点
分别为 ， ，过左顶点A且斜率为 的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若 ，则该双曲线
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，B为双曲线
E上在第一象限内的点，线段 与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且 ，若 ，
则双曲线E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题
30．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点， ， 分别是双曲线E： 的左、右焦点，
P是双曲线E的右支上一点，若 ，双曲线E的离心率为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线 与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
31．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和圆 ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的渐近线方程为
C．当 时，双曲线 与圆 没有公共点
D．当 时，双曲线 与圆 恰有两个公共点
32．（2023·全国·高三）已知 ， 分别为双曲线C： （ ， ）的左、右焦点， 的一条渐近
线 的方程为 ，且 到 的距离为 ，点 为 在第一象限上的点，点 的坐标为 ， 为
的平分线 则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点 到 轴的距离为
33．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与双
曲线 的左､右两支分别交于 、 两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点 为线段 的中点时，直线 的斜率为B．若 ，则
C．
D．若直线 的斜率为 ，且 ，则
三、填空题
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线
交 于第一象限的点M，若 在点M处的切线平行于 的一条渐近线，则 __________．
35．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线 焦点 的直线与 的两条渐近线的交点分分别
为M、N，当 时， .则 的离心率为______.
36．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C： 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的
圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若 ，则以 （e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物
线的标准方程为___________.
37．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，过 的直线分别
交两条渐近线于 ， 两点，若 且 ，则 的离心率为______.
四、解答题
38．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： 的离心率为e，点 在C上， ， 分
别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为 ，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直线 ， 分别与y轴交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当 时，求以MN为直径的圆的方程.
39．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线 的右顶点为 ，左焦点 到其渐近
线 的距离为2，斜率为 的直线 交双曲线 于A，B两点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 交于P，Q两点，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，试问：
以线段 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
