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解密20 椭圆
【考点解密】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两
1 2 1 2
焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
1 2 1 2
2．椭圆的标准方程和几何性质
＋＝1 ＋＝1
标准方程
(a>b>0) (a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A(－a,0)，A(a,0) A(0，－a)，A(0，a)
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性 坐标 B(0，－b)，B(0，b) B(－b,0)，B(b,0)
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质 轴 长轴AA 的长为 2 a ；短轴BB 的长为 2 b
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焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c
a 2 ＝ b 2 ＋ c 2
的关系
【方法技巧】
1.椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合 转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边
分别除以a或 转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
2.涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，.
求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；
对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.
【核心题型】
题型一：利用椭圆的定义解决焦点三角形或者边长问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为 ，过 的直线与C交于P，Q两点，若
，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆C： 上一点，点 、 是椭圆C的左、右焦
点，若 的内切圆半径的最大值为 ，若椭圆的长轴长为4，则 的面积的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
3．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系中， ， ，， ， ，P为该平面上一动点，记直线PD，PE的斜率分别为 和 ，且 ，设点P
运动形成曲线F，点M是曲线F上位于x轴上方的点，则下列说法错误的有（ ）
A．动点P的轨迹方程为
B． 面积的最大值为
C． 的最大值为5
D． 的周长为6
题型二：待定系数法求椭圆方程
4．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系中，椭圆C中心在原点，焦点 在x轴上，离心率为 .过点
的直线l与C交于A、B两点，且 周长为 ，那么C的方程为（ ）
△
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 是椭圆C： 的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，
B在x轴上， 且 .若坐标原点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右顶点为 ， ，焦点在y轴上的椭圆以 ， 为顶
点，且离心率为 ，过 作斜率为 的直线 交双曲线于另一点 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则 的
值为（ ）A． B． C． D．
题型三：直接法求椭圆离心率问题
7．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C： 的左右焦点分别为 ， ，
点P是C上的一个动点，若椭圆C上有且仅有4个点P满足 是直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交
于 两点，与 轴交于点 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东淄博·统考一模）直线 经过椭圆 的左焦点 ，交椭圆于 ， 两
点，交 轴于 点，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：构造齐次方程求离心率10．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，半焦距为 ．在椭
圆上存在点 使得 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·河北保定·高三统考期末）已知椭圆C： ， ， 分别为椭圆的左、右焦点，P
为椭圆上一点， ，过 作 外角平分线的垂线交 的延长线于N点．若 ，则椭
圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·江西赣州·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．椭圆 在第一象
限存在点 ，使得 ，直线 与 轴交于点 ，且 是 的角平分线，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用自变量范围求离心率范围
13．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 离心率为e，双曲线 的渐近线的斜
率小于 ，则椭圆 的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．14．（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知椭圆 ： ，定点 ，
，有一动点 满足 ，若 点轨迹与椭圆 恰有4个不同的交点，则椭圆 的离心率的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知点P在以 ， 为左、右焦点的椭圆
上，椭圆内存在一点Q在 的延长线上，且满足 ，若 ，则该椭
圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：椭圆的综合问题
16．（2023·宁夏·六盘山高级中学校考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点
为 ，若△ 为等边三角形，且点 在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为 ，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），
直线 与y轴的交点分别为M、N，若 ，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
17．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴､ 轴，且过
两点．
(1)求 的方程；
(2)设过点 的直线交 于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，问直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
18．（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设椭圆 的右焦点为F，右顶
点为A，已知椭圆离心率为 ，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆C交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若以
BH为直径的圆经过点F，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为 ，且 ，求直线l斜率k的取值范围．
【高考必刷】
一、单选题
19．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知过椭圆 的上焦点 且斜率为 的直线 交椭圆
于 两点， 为坐标原点，直线 分别与直线 相交于 两点.若 为锐角，则直线 的斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆
内一点，点 在双曲线 ： 上，若椭圆上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
21．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P，Q在椭圆C
上，若 ，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·河南焦作·统考模拟预测）分别过椭圆 的左、右焦点 、 作平行直线 、 ，
直线 、 在 轴上方分别与 交于 、 两点，若 与 之间的距离为 ，且 （ 表示面积，
为坐标原点），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点为 为椭圆上一点，过P点作椭圆
的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆 的右焦点为F，过F作倾斜角为 的直线l交该
椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形 ，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，椭圆存在一点 ，若
，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
27．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）已知 是双曲线 的左、右焦点，
是C上一点，若C的离心率为 ，连结 交C于点B，则（ ）
A．C的方程为 B．
C． 的周长为 D． 的内切圆半径为
28．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ， 为 的上顶点， ， 是 上两点．若 ， ， 构成以 为公差的等差数列，则（ ）
A． 的最大值是
B．当 时，
C．当 ， 在 轴的同侧时， 的最大值为
D．当 ， 在 轴的异侧时（ ， 与 不重合），
29．（2023·山西晋中·统考二模）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为B，直线l：
与椭圆C交于M，N两点， 的角平分线与x轴相交于点E，与y轴相交于点 ，则
（ ）
A．四边形 的周长为8 B． 的最小值为9
C．直线BM，BN的斜率之积为 D．当 时，
30．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为A，点M为
椭圆 上一点，点I是 的内心，延长MI交线段 于N，抛物线 （其中c为椭圆下的半焦
距）与椭圆 交于B，C两点，若四边形 是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．椭圆 的离心率是C． 的最小值为 D． 的值为
三、填空题
31．（2023·广东江门·统考一模）椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析
几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们
的喜爱.黄金椭圆具有以下性质：①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，②长轴长，短轴长，
焦距依次组成等比数列.根据以上信息，黄金椭圆的离心率为___________.
32．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）经研究发现，若点 在椭圆 上，
则过点 的椭圆切线方程为 .现过点 作椭圆 的切线，切点为 ，当
（其中 为坐标原点）的面积为 时， ___________.
33．（2023·福建莆田·统考二模）已知椭圆 的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关
于直线 的对称点为 ．若过A， ，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______．
34．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C： ，过点 的直线l斜率范围为 ，
过 向l作垂线，垂足为P，Q为椭圆上一点， 为椭圆右焦点，则 的最小值为______．
四、解答题
35．（2023·陕西榆林·统考二模）已知椭圆 ： （ ），四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆 上．(1)求椭圆 的标准方程．
(2)过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，试问直线 ， 的斜率之和是否为定值？若是定值，
求出此定值；若不是，请说明理由．
36．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距
离的比为定值 ．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)设动点M的轨迹为曲线C，过点 的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，
垂足分别为 、 ，判断是否存在常数t，使得四边形 的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该
定点坐标；若不存在，说明理由．
