文档内容
解密16 一元二次不等式和基本不等式问题
【考点解密】
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)
的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x，x(x0 (a>0)的解集 { x | x < x 或 x > x} {x|x∈R}
1 2
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 { x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【方法技巧】
1．利用基本不等式求最值问题
已知a>0，b >0，则(1)如果积a b是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2. (简记：积定和最小)
(2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值. (简记：和定积最大)
2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
【核心题型】
题型一：含参数的一元二次不等式问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解分式不等式求得集合 ，对 进行分类讨论，结合 ，求得实数 的取值范围.
【详解】由 或 .所以 或 ，
所以 .由 ，解得 或 . ，当 时，
，此时 ，满足 ；当 时， ，由 得 ，即
且 .综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查根据交集、补集的运算结果求参
数的取值范围，属于中档题.
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有4个整数，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】不等式 即 ，
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故 ，
当 时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故 ，，
故实数m的取值范围为 ，
故选：C
3．（2021·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，则关于 的不等式 （其中 ）的解集为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【分析】先判断函数 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得 ，解不等式即得解.【详解】任取 ，由已知得 ，即 ，所以函数 单调递减．
由 可得 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
又因为 ，
所以 ，
此时原不等式解集为 ．
故选：A
【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函
数不等式解答.
题型二：一元二次不等式根分布问题
4．（2021·全国·高三专题练习）已知 若函数 恰有5个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出函数 的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程 的一个根在
，一个根在 ，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解．
【详解】解：作出函数 的图象如图所示，令 ，
则由图可知，当 时，方程 只有一个根；当 时，方程 有两个
根；当 时，方程 只有一个根；
显然 不是方程 的根；
若 是方程 的根，则 ，此时 ，结合图象可知，此时方程 和方程 共有
4个根，则函数 有4个零点，不满足题意；
∴ 恰有5个零点等价于方程 恰有5个实根，等价于方程 的一个根在
，一个根在 ，
令 ，则 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由函数的零点求解参数范围问题，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于难题．
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间 上任取两个实数a，b，则方程 有两个不同
的非负根的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据方程 有两个不同的非负根，可得 ，在平面直角坐标系作出可行域，结合图象，
根据几何概型即可得解.
【详解】解：因为方程 有两个不同的非负根，
所以 ，则 ，
如图，作出不等式组所表示得平面区域为 ，
在区间 上任取两个实数a，b，所表示得平面区域为正方形 ，
，
所以方程 有两个不同的非负根的概率为 .
故选：B.
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 有两个不同的极值点 ，且
不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把函数 有两个不同的极值点 转化为根的分布求出a的范围，
利用分离参数法得到 .把 转化为，令 ，利用导数求出 的值域，即可
得到答案.
【详解】 ，
因为函数 有两个不同的极值点 ， ，
所以方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 ，解得 .
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.
，
设 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，所以 .
因此实数t的取值范围是 .
故选：A
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.
题型三：一元二次不等式恒成立问题、
7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足如下两个条件：（1）关于 的方程 有两个异
号的实根；（2） ，若对于上述的一切实数 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断 ，再化简 ，利用基本不等式求解.
【详解】解：设方程 的两个异号的实根分别为 ， ，则 ， ．
又 ， ， ，
则 （当且仅当 ， 时取“ ”），
由不等式 恒成立，得 ，解得 ．
实数 的取值范围是 ．
故选：A．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，若对任意的实数x，恒有
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先令 ，然后判断 的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化为，再利用 的奇偶性和单调性得 对于任意的实数 恒成立，最后解二次函
数恒成立问题即可.
【详解】令 ，
由于 ，
所以得 为奇函数.
又因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减.
已知对于任意的实数 ，恒有 ，
整理得： ，
即 ，由于 为奇函数，
得 ，由于 在 上单调递减，
得 对于任意的实数 恒成立，
即 对于任意的实数 恒成立.
当 时， 不恒成立，故 ，
当 时，有 ，解得 .
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ， 恒成立，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即 恒成立，再分 和 两种情况讨论，当 时 ，即可求出
参数 的取值范围；
【详解】解：因为 ，所以函数图象如下所示：
由函数图象可知函数为定义域 上单调递减的奇函数，当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，所以 ，因为 ，
恒成立，即 ， 恒成立，所以 恒成立，即
{ m>0
恒成立，当 ，显然不成立，当 时，则 ，解得 ，即
Δ=81−48m≤0
；
故选：C题型四：一元二次不等式在某区间成立问题
10．（2017·天津·高考真题）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R上恒成
立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式 为 (*)，
当 时，(*)式即为 ， ，
又 （ 时取等号），
（ 时取等号），
所以 ，
当 时，(*)式为 ， ，
又 （当 时取等号），
（当 时取等号），
所以 ，
综上 ．故选A．
【考点】不等式、恒成立问题
【名师点睛】首先满足 转化为 去解决，由于涉及分段函数问题要遵
循分段处理原则，分别对 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据 的范围，利用极端原理，
求出对应的 的范围.11．（2022秋·湖北襄阳·高三校考阶段练习）若命题“ ”为假命题，则实数x
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】等价于“ ”为真命题．令 ，解不等式
即得解.
【详解】解：命题“ ”为假命题，其否定为真命题，
即“ ”为真命题．
令 ，
则 ，即 ，
解得 ，所以实数x的取值范围为 .
故选：C
12．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为 在上恒成立．
【详解】当 时，由 恒成立，二次函数的对称轴为 ，
（1）当 时， 在 上单调递减，则 恒成立，
（2）当 时， ，所以
综上可知，当 时， 在 上恒成立；
当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，函数单增，又 ，所以 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故选：D
题型五：基本不等式求积最大值问题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即可得到
答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且，则 的面积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先用 、 表示 ，再根据向量数量积的运算律及基本不等式求出 的最大值，最后根据
三角形面积公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以
所以 ，当且仅当 时，取等号；
所以 ，当且仅当 时，取等号；
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到
，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有
，再用基本不等式求解.
【详解】因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
题型六：基本不等式求和最小值问题
16．（2021秋·江苏苏州·高三张家港高级中学校考期中）在 中， 为 上一点， ， 为 上任
一点，若 ，则 的最小值是
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】D
【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求
得最终结果.
【详解】由题意可知： ，
三点共线，则： ，据此有：
，
当且仅当 时等号成立.综上可得： 的最小值是12.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和
计算求解能力.
17．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，已知 的面积是 的面积的2倍.若存在正实数
使得 成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由面积比得 ，再利用 三点共线可得出 的关系，从而利用基本不等式可求得
的最小值．
【详解】如图，设 与 交于点 ，
由 的面积是 的面积的2倍，可得 ，
所以 ，
又 三点共线，即 共线，
所以存在实数 使得 ，
因为 ，所以 ，消去k，可得 ，
又因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 的最小值为1．
故选：A．
18．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个
公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】C
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 ，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴 ，双曲线实轴 ，由题意可知： ，
又 ， ，两式相减，可得： ， ，
． ，
，当且仅当 时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 是解题的关键，意在考查学生的
计算能力．
题型七：二次或二次商式的最值问题
19．（2023·全国·高三专题练习）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，
则 的最大值为 ．
故选：A．20．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且
，设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由数列通项与前 项和的关系得到数列 的递推关系 ，再构造等比数列 ，求数
列 的通项公式，进一步求出数列 的通项公式，从而可求数列 通项公式，代入所求式子 ，
分子、分母同除以 构造基本不等式即可求出 的最大值，从而求出 的范围.
【详解】由 ，则当 时，得 ，
两式相减得 ，变形可得： ，
又 ， ，所以 ， ，
∴数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，故 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：构造等比数列 求 的通项公式，即可得 通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求 的最值，即可求参数范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，求出 的值，代入 中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设 ，则
所以
当且仅当 即 时取等号
所以 的最小值是 ，则 的最大值为 .
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设 ，得出 进行代
换，属于偏难题目.
题型八：基本不等式中1的秒用
22．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】 ，当且仅当 ，即 ，b＝6时，
等号成立，故 的最小值为27
故选：D
23．（2022秋·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，直线 与曲线
相切，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【答案】B
【分析】设切点为 ,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得 ,
再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】设切点为 ，
的导数为 ，
由切线的方程 可得切线的斜率为1，令 ，
则 ，故切点为 ，
代入 ，得 ，
、 为正实数，
则 ，
当且仅当 ， 时， 取得最小值9，
故选：B
24．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在 中，点 满足 ，过点 的直
线与 ， 所在的直线分别交于点 ， ，若 ， ，则 的最小值为
（ ）A．3 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由向量加减的几何意义可得 ，结合已知有 ，根据三点共线知 ，
应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件.
【详解】由题设，如下图示： ，又 ，
，
∴ ，由 三点共线，有 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到 、 、 的线性关系，根据三点共线有
，再结合基本不等式求最值.
题型九：条件等式求最值
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由已知可得 ，将 展开利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】由 可得 ，所以 ，
因为 ， ，
则 ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 ，
故选：A.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知a， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题知 ，进而得 ，再结合已知得 ，即可得
答案.
【详解】解： ，
则 ，当且仅当 时，“=”成立，
又a， ，所以 ，当且仅当 时，“=”成立，
所以 的最大值为 .
故选：C
27．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得 ，利用基本不等式计算可得；
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，
所以
当且仅当 ，即 ， 或 时取等号；
故选：D
题型十：对勾函数求最值
28．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出 关系后求解
【详解】在 中， ，
故题干条件可化为 ，由余弦定理得 ，
故 ，又由正弦定理化简得：
，
整理得 ，故 或 （舍去），得
为锐角三角形，故 ，解得 ，故故选：C
29．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）下列结论正确的是（ ）
A．当 且 时， B． 的最大值是2
C． 的最小值是2 D．当 时，
【答案】D
【分析】A、B选项取特殊值判断即可；C选项基本不等式取等的件不成立；D选项由双勾函数的单调性即可判断.
【详解】A选项：令 ，显然 ，故A错误；
B选项：令 ，显然 ，故B错误；
C选项： ，当且仅当 取等，
显然 无解，即 不能等于2，故C错误；
D选项：令 ，由双勾函数知 在 单减，即 时取得最小值5，即 ，故D
正确.
故选：D.
题型十一：基本不等式恒成立问题
30．（2022·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知圆 与圆 ( 是正实
数)相交于 两点， 为坐标原点.当 的面积最大时，则 的最小值是（ ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】B
【分析】由相交两圆的方程，求出直线AB方程， 最大时 为直角，由点直线距离求出m，n的关系，利用函数单调性即可得解.
【详解】因圆 与圆 相交，则直线AB方程为： ，
又|OA|=|OB|=1，则 ，当且仅当 取“=”，
即 为等腰直角三角形，点O到直线AB的距离为 ，则 ，
，而 是正实数，则 ，即 ，
当且仅当 时取“=”，
令函数 ，则 ，f(x)在 上递减， ，
所以 的最小值是8.
故选：B
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则 ；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： .
31．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线的
倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为曲线在M处的切线的倾斜角 ，所以 对于任意的 恒成立，
即 对任意 恒成立，
即 ，又 ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故 ，
所以a的取值范围是 ．
故选：D．
32．（2021秋·河南濮阳·高三濮阳外国语学校校考阶段练习）若对任意正数 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原不等式即 ，再利用基本不等式求得 的最大值，可得 的范围．
【详解】依题意得，当 时， 恒成立，
又因为 ，当且仅当 时取等号，
所以， 的最大值为 ，
所以 ，解得 的取值范围为 ．
故选：B
33．（2022·山西朔州·统考三模）若存在实数x，y，使得 成立，且对任意a， ，
，则实数t的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式组有解，得出 的一个范围，利用基本不等式得出 的又一个范围，两者的公共部分即为所求．
【详解】 的解为 ，若存在实数x，y，使得 成立，则 应满足 ，即
，所以 ，又 ，所以 ，所以t的取值范围是 ，
故选：B．
【高考必刷】
一、单选题
34．（2023·云南曲靖·统考一模）若 ,则在“函数 的定义域为 ”的条件下,“函数
为奇函数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先列出所有的结果数,由于函数 的定义域为 ,则 , 恒成立,可得
,在所有结果数中选出满足的情况,求出概率,根据 为奇函数可得 或 ,在所有结果数中
选出同时满足两个事件情况,求出其概率,再根据条件概率的计算公式即可计算出结果.【详解】解:用所有的有序数对 表示满足 的结果，
则所有的情况为: ,共9种,
记“函数 的定义域为 ”为事件A,
因为函数 的定义域为 ,
所以 , 恒成立,
即 ,即 ,
其中满足 的基本事件有:
共6种,故 ．
记“函数 为奇函数”为事件B．
已知 是奇函数,且定义域为 ,则 ,
即 ,即 ,
解得 或 ．
满足 或 的情况有 共3种,
所以,即同时满足事件A和事件B的情况有 共3种,
故 ,所以 .
故选:C
35．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题，
所以，命题“ ， ”为真命题，
所以， 时， ，
因为， ，
所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号.
所以， 时， ，即实数 的取值范围是
故选：C
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ， 恒成立，则向量 ， 的
夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出 的范围，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】 ， 是单位向量，由 得： ，
依题意，不等式 对任意实数 恒成立，则 ，
解得 ，而 ，则 ，
又 ，函数 在 上单调递减，因此 ，所以向量 ， 的夹角的取值范围为 .
故选：B
37．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴
截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】运用长方体、圆柱体积公式及基本不等式求解即可.
【详解】不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则 ，
轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，
体积为 ，则 ，又因为 ，所以 ，
故 ．
故选：C.
38．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分为 与 ，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.
【详解】当 时， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，此时有最小值 ；
当 时， .
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，此时有最小值 .所以， 的最小值为 .
故选：A.
39．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 是双曲线 上不同的三点，且 ，
直线AC，BC的斜率分别为 ， （ ），若 的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线可知 两点关于原点对称，分别设出 三点的坐标，利用点差法点差法表示出 和
，根据基本不等式求得取最小值时满足 ，计算即可求得离心率.
【详解】根据题意，由 可得原点 是 的中点，所以 两点关于原点对称；
不妨设 ，因为 ，所以 ，
易知 ，又因为A、B，C都在双曲线 上，
所以 ，两式相减可得 ，即 ，
所以 ，由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立；
所以 ，即 ，可得 ，即离心率 .
故选：A.
40．（2023·吉林·统考二模）已知 ，若直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
【答案】D【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得 ，在利用基本不等式即可求得 的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为 ，即 ，即 ，
整理可得 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立；
因此 的最小值为 .
故选：D
41．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，且
直线 分别与抛物线 交于 和 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，结合抛物线焦点弦长公式可求得 ，
同理可得 ，从而得到 ，由 ，利用基本不等式可取得
最小值.
【详解】由抛物线方程得： ；
由题意知：直线 的斜率存在且不为 ，设 ， ， ，
由 得： ， ，此时 ，
， ，
同理可得： ， ，（当且仅当
，即 时取等号），
的最小值为 .
故选：B.
二、多选题
42．（2022·海南·模拟预测）已知命题 :“ ”， " ”，则下列正确的
是（ ）
A． 的否定是“ ”
B． 的否定是“ ”
C．若 为假命题，则 的取值范围是
D．若 为真命题，则 的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B；C选项转化为一元二次方程无实数解，用判别式计算 的取
值范围；D选项转化为二次不等式恒成立，计算参数的范围.
【详解】含有一个量词的命题的否定，是把量词改写，再把结论否定，所以A正确，B不正确；
C选项，若 为假命题，则 的否定“ ”是真命题，即方程 在实数范围
内无解， ，得 ，C不正确；
D选项， ，等价于 ，解得 ，D正确；
故选：AD.
43．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 ，若对任意 ，则（ ）
A．当 时， 恒成立B．当 时， 恒成立
C． 使得 成立
D．对任意 ， ，均有 恒成立
【答案】AD
【分析】二次函数开口向下，对称轴为 ，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.
【详解】依题意，二次函数 的对称轴为 .
因为 ，所以其函数图象为开口向下的抛物线，
对于A选项，当 时， ， 关于直线 对称，
所以 恒成立，所以A选项正确；
对于B选项，当 ，若 ，则不等式可化为 ，
所以 ；
若 ，则不等式可化为 ，所以 ，所以B选项错误；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以二次函数 的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在 使得
成立，所以C选项错误；
对于D选项， ，
所以对任意 ， ，均有 恒成立，所以D选项正确，
故选：AD.
44．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ， ，且 ，下列结论中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】BC
【分析】直接利用基本不等式求 的取值范围，再根据对数函数单调性与对数运算即可判断A；根据基本不等式
“1”的巧用求最值即可判断B；利用等式换元，构造函数，求导确定单调性，即可判断C；利用已知等式换元，结
合二次函数的性质求最值即可判断D.
【详解】对于A，因为 ， ，且 ，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当
，即 时等号成立，
由于函数 在 上单调递减，所以 ，故A不正确；
对于B，因为 ， ，且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以B正确；
对于C，因为 ， ，且 ，所以 ，则 ，
设 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，则 ，
则 ，即 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，且 ，所以 ，则 ，
所以 ，当 时，等号成立，故D不正确.
故选：BC.
45．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数， ，已知 ，则下列结论一定正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】构建函数 根据题意分析可得 ，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为 ，
构造函数 ，则 ，
∵ ，
当 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，即 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
对于A：取 ，则
∵ 在 上单调递增，故 ，
即 满足题意，但 ，A错误；
对于B：若 ，则有：
当 ，即 时，则 ，即 ；
当 ，即 时，由 在 时单调递增，且 ，
故 ，则 ；
综上所述： ， B正确；
对于C：若 ，则有：
当 ，即 时， 显然成立；
当 ，即 时，令 ，
∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当 时，所以 ，即 ，
由 可得 ，即
又∵由 在 时单调递增，且 ，∴ ，即 ；
综上所述： ，C正确；
对于D：取 ， ，则 ，
∵ 在 上单调递减，故 ，
∴故 ， 满足题意，但 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
（2）商型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
三、填空题
46．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的减函数 满足 ，且 ，则不
等式 的解集为___________.
【答案】【分析】根据题意可得 ， ，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.
【详解】由题意知，
， ，
故答案为： .
47．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设命题 ，命题
．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】化简命题 和 ，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由 ，得 ，即 ；
由 ，得 ，
因为q是p的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
所以 且两个等号不同时取，解得 .
故答案为：
48．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“ ”是假命题，则实数 的
取值范围是______.
【答案】【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“ ”的否定为：“ ， ”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当 时显然不成立；当 时， 恒成立；当 时，只需
，解得： .
综上有
故答案为： .
49．（2023·陕西西安·统考一模）已知在 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足 ，且
，则 周长的取值范围为______________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出 ，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.
【详解】在 中，由 及正弦定理得： ，而 ，
于是 ，有 ，
而 ， ，因此 ，由余弦定理得 ，
即有 ，当且仅当 时取等号，
从而 ，而 ，则 ，
所以 周长的取值范围为 .
故答案为：
50．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，
若AD=1，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】由平面向量的加法法及平面向量的基本定理得 、 、 都可用基底 、 表示，将左右平方后所得式子与重要不等式联立可得 ，将 、 代
入 中计算即可.
【详解】设AC=b，AB=c，
则 ，
∵D为边BC的中点，
∴ ，
∴ ，即： ，①
又∵ ，当且仅当 时取等号. ②
∴由①②得： .
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴ ， ，
∴
，当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值为 .
故答案为： .
51．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足 ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】根据基本不等式进行化简求解即可.
【详解】因为a，b，c均为正数，所以
，当且仅当 ， 时等号同时成立.
故答案为： .
