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解密17 空间几何体的体积和内切 外切球问题
【考点解密】
1．多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
①有两个面互相平行且全等， 有一个面是多边 用一个平行于棱锥
其余各面都是平行四边形． 形，其余各面都是 底面的平面去截棱
含义
②每相邻两个四边形的公共边 有一个公共顶点的 锥，截面和底面之
都互相平行 三角形的多面体 间的部分
相交于一点但不一
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3.三视图与直观图
三视图 画法规则：长对正、高平齐、宽相等
斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′
轴的夹角为 45° 或 135° ，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
直观图
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x
轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观
图中长度为原来的一半.
4.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝ 2π rl S ＝ π rl S ＝ π( r ＋ r ) l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝ 4π R 2 V＝πR3
【方法技巧】
1．多面体与球接、切问题求解策略
(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几
何体中元素间的关系．
(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
2．球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.
(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接
球半径R满足R2＝＋x2.
(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二
是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝a；三是球外接于正方体，此时2R＝a.
【核心题型】
题型一：利用三视图求直视图的体积问题
1．（2023·四川·校联考一模）如图，网格纸上绘制的是一个四棱台的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多
面体的体积为（ ）
A． B． C． D．7
2．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得
这个几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·广西河池·高三统考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B．
C． D．
题型二：利用三视图求直视图的面积问题
4．（2022·四川雅安·统考一模）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则构
成该多面体的面中最大的面积为（ ）
A． B．9 C． D．5．（2022·河南·校联考模拟预测）下图为某四面体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·江西抚州·高三校考期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 （ ）
A．26 B．36 C．48 D．35
题型三：几何体的体积的求法
7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一
顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑
的体积是1，则原长方体的体积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
8．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱
长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的
体积为（ ）A． B． C． D．
9．（2023·江西南昌·统考一模）对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被
唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道．在数
学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，
若该几何体表面积为 ，则它体积为（ ）
A． B． C． D．
题型四：几何体的表面积求法
10．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术
夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部
以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为 ，高为2，体积为 ，则
该“方斗”的侧面积为（ ）A．24 B．12 C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意
图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形， ， 和 是两个全等的正三
角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°， ， ，则该屋顶的表面积为（ ）
A．100 B． C．200 D．
12．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，在四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：几何体的内切（外切）球问题
13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥 的五个顶点都在球面O上，底面ABCD是边长为4的正
方形，平面 平面ABCD，且 ，则球面O的表面积为（ ）
A． B． C． D．14．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在直三棱柱 中， 为等边三角形，若三棱柱
的体积为 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·山西晋中·统考二模）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、
下底面分别是边长为 和 的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．18π C．20π D．25π
【高考必刷】
一、单选题
16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半
球形，半径 ，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为 ，则该种胶囊的体积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知三棱锥 中，若 是正三角形
且 ， 平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
A B C D
18．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）在四棱台 中，底面 1 1 1 1是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线 与直线 的交点为 ，则四棱锥 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·湖南·模拟预测）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小
屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为
圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，
若灯带的最短长度为 米，则圆锥的SO的体积为（ ）
A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米
20．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，
，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥 中， 底面 ，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·江西赣州·统考一模）古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如
果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体
的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 （V表示平面图形绕旋转轴旋转的
体积，S表示平面图形的面积， 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt ACB中， ，
△
则 ACB的重心G到AC的距离为（ ）
△A． B． C．1 D．2
23．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=8，取AB、CD的中点E、F，沿直线EF进行翻折，
使得二面角 的大小为120°，若翻折后A、B、C、D、E、F都在球 上，且球 的体积为 ，则AD=
（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
， 二面角 的大小为 ，若球 的表面积等于 ，则三棱
锥 的体积等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在很多人的童年中都少不了折纸的乐趣，而现如
今传统意义上的手工折纸与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张直角梯形纸片
ABCD,AD BC，∠A=90°，AD=1，BC=2，E为AB的中点，将△ADE和△BCE分别沿DE，CE折起，使得点A，B
重合于P，构成三棱锥P-CDE，且三棱锥P-CDE的底面和侧面PCD均为直角三角形.若三棱锥P-CDE的所有顶点
都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
26．（2023·广东江门·统考一模）勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.
他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个
非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来
回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.
如图所示，设正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面 截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线 的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2
27．（2023·山东泰安·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分别为BC，CD的中点，将正方形沿对
角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．异面直线AC与BD所成的角为定值
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．三棱锥 体积的最大值为
28．（2023·福建泉州·统考三模）在长方体 中， ， ，点 、 在底面
A B C D
1 1 1 1
内，直线 与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且 ，则（ ）A．
B．点 的轨迹长度为
C．三棱锥 的体积为定值
D． 与该长方体的每个面所成的角都相等
29．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知正方体 的棱长为2， ， 分别为 ， 的中点，
且 与正方体的内切球 （ 为球心）交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 的长为
B．过 ， ， 三点的平面截正方体 所得的截面面积为
C．三棱锥 的体积为
D．设 为球 上任意一点，则 与 所成角的范围是
D．平面 截正方体所得截面的面积为定值
31．（2023·湖南株洲·统考一模）已知三棱锥 的所有棱长均相等，其外接球的球心为O．点E满足
，过点E作平行于 和 的平面 ， 分别与棱 相交于点 ，则（ ）
A．当 时，平面 经过球心O
B．四边形 的周长随 的变化而变化
C．当 时，四棱锥 的体积取得最大值D．设四棱锥 的体积为 ，则
32．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在棱长为2的正方体 中， 为 中点， 为四边形
内一点（含边界），若 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．线段 最小值为 D． 的取值范围为
三、填空题
33．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装
满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一
种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为 ， ，侧棱长为 ，忽略其
壁厚，则该升斗的容积为_________ ．
34．（2023·辽宁·校联考一模）正四面体 的棱 中点为O，平面 截球 所得半径为 的圆与 相切，
则球 的表面积为______.35．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在正四棱锥 中， 为 的中点，过 作截面将该四棱锥分成
上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为 ，则 的最大值是___________.
36．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知三棱锥 中， 平面 ，
， ，则三棱锥 外接球的体积为______．
37．（2023·重庆·统考二模）已知球 的表面积为 ，三棱锥 的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最
大值为__________．
38．（2023·河南·统考模拟预测）2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非
物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人
以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，
B，C，满足 ， 平面ABC， ，若 的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小
值为_________.
39．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， ，
则三棱锥 的外接球的表面积为__________.
40．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在四棱锥 中， 平面ABCD， ，点M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且 ， ，直线PM与平面ABCD所成的角为 ，当三棱锥 的体
积最小时，三棱锥 的外接球的体积为________.
