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解密16 一元二次不等式和基本不等式问题
【考点解密】
一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)
的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x，x(x0 (a>0)的解集 { x | x < x 或 x > x} {x|x∈R}
1 2
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 { x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件： a >0 ， b >0 .
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
【方法技巧】
1．利用基本不等式求最值问题
已知a>0，b >0，则(1)如果积a b是定值p，那么当且仅当a＝b时，a＋b有最小值2. (简记：积定和最小)
(2)如果和a＋b是定值p，那么当且仅当a＝b时，ab有最大值. (简记：和定积最大)
2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
【核心题型】
题型一：含参数的一元二次不等式问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，若
，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有4个整数，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，则关于 的不等式 （其中 ）的解集为（ ）A． B． 或
C． D． 或
题型二：一元二次不等式根分布问题
4．（2021·全国·高三专题练习）已知 若函数 恰有5个零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）在区间 上任取两个实数a，b，则方程 有两个不同
的非负根的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 有两个不同的极值点 ，且
不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：一元二次不等式恒成立问题、
7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， 满足如下两个条件：（1）关于 的方程 有两个异
号的实根；（2） ，若对于上述的一切实数 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江·模拟预测）已知函数 ，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ， 恒成立，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：一元二次不等式在某区间成立问题
10．（2017·天津·高考真题）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R上恒成
立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖北襄阳·高三）若命题“ ”为假命题，则实数x的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：基本不等式求积最大值问题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的
最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．614．（2022·全国·高三专题练习）已知 的外心为点O，M为边 上的一点，且
，则 的面积的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：基本不等式求和最小值问题
16．（2021秋·江苏苏州·高三张家港高级中学校考期中）在 中， 为 上一点， ， 为 上任
一点，若 ，则 的最小值是
A．9 B．10
C．11 D．12
17．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，已知 的面积是 的面积的2倍.若存在正实数
使得 成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个
公共点，且 ，线段 的垂直平分线过 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的
最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
题型七：二次或二次商式的最值问题19．（2023·全国·高三）若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知数列 的首项是 ，前 项和为 ，且
，设 ，若存在常数 ，使不等式 恒成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·全国·高三专题练习）设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
题型八：基本不等式中1的秒用
22．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
23．（2022秋·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）已知a，b为正实数，直线 与曲线
相切，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
24．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）在 中，点 满足 ，过点 的直
线与 ， 所在的直线分别交于点 ， ，若 ， ，则 的最小值为
（ ）
A．3 B． C．1 D．题型九：条件等式求最值
25．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．（2023·全国·高三专题练习）已知a， ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
27．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
题型十：对勾函数求最值
28．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）下列结论正确的是（ ）
A．当 且 时， B． 的最大值是2
C． 的最小值是2 D．当 时，
题型十一：基本不等式恒成立问题
30．（2022·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）已知圆 与圆 ( 是正实数)相交于 两点， 为坐标原点.当 的面积最大时，则 的最小值是（ ）
A． B．8 C．7 D．
31．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线 上的一动点，曲线C在P点处的切线的
倾斜角为 ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021秋·河南濮阳·高三濮阳外国语学校校考阶段练习）若对任意正数 ，不等式 恒成立，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·山西朔州·统考三模）若存在实数x，y，使得 成立，且对任意a， ，
，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高考必刷】
一、单选题
34．（2023·云南曲靖·统考一模）若 ,则在“函数 的定义域为 ”的条件下,“函数
为奇函数”的概率为（ ）A． B． C． D．
35．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知单位向量 ， ，若对任意实数 ， 恒成立，则向量 ， 的
夹角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
37．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴
截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
38．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
39．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 是双曲线 上不同的三点，且 ，
直线AC，BC的斜率分别为 ， （ ），若 的最小值为1，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．240．（2023·吉林·统考二模）已知 ，若直线 与直线 垂直，则
的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．8 D．9
41．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，且
直线 分别与抛物线 交于 和 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
42．（2022·海南·模拟预测）已知命题 :“ ”， " ”，则下列正确的
是（ ）
A． 的否定是“ ”
B． 的否定是“ ”
C．若 为假命题，则 的取值范围是
D．若 为真命题，则 的取值范围是
43．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 ，若对任意 ，则（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 恒成立
C． 使得 成立
D．对任意 ， ，均有 恒成立
44．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知 ， ，且 ，下列结论中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
45．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数， ，已知 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题
46．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的减函数 满足 ，且 ，则不
等式 的解集为___________.
47．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）设命题 ，命题
．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
48．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学统考期末）若命题“ ”是假命题，则实数 的
取值范围是______.
49．（2023·陕西西安·统考一模）已知在 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足 ，且
，则 周长的取值范围为______________．
50．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，
若AD=1，则 的最大值为______．
51．（2023·全国·模拟预测）已知a，b，c均为正数，且满足 ，则 的最小值为______．
