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高三数学考前模拟卷二
一、单选题
1．集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=
A．{x|﹣4≤x≤4} B．{x|x≠0} C．{0} D．∅
【答案】C
【详解】试题分析：解绝对值不等式|x﹣2|≤2可求得集合A，由y=﹣x2，﹣1≤x≤2可求得集合B，从而可得
A∩B．
解：∵|x﹣2|≤2，
∴﹣2≤x﹣2≤2，
∴0≤x≤4，即A={x|0≤x≤4}；
又B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，
∴A∩B={0}．
故选C．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的值域，考查交集及其运算，求得集合A与集合B是关键，
数中档题．
2．在复平面内，复数z对应的点 在第四象限，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义，以及模长公式，可得答案.
【详解】由题意，得 ，则 ，解得 （2舍去），所以 .
故选：D.
3．在 中，已知D是AB边上一点，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的减法运算即可得到答案．【详解】由 可得
则有 ，
可得 ，所以
故选：B
4．已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为 ，则此圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到
， ， ，利用勾股定理得到 ，最后利用圆台的体积公式求体积即可.
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面， 为外接球球心， ， 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以 ，
，
因为外接球的表面积为 ，所以外接球的半径为 ，圆台下底面半径为4，所以 ，
，则 ， ，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为
.
故选：C.
5．将4个不同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不少于该盒子
的编号，则不同的放球方法种数共有
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根据1号盒子中放入小球的个数，分类讨论，即可求得所有放球的种数.
【详解】根据题意,每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论:
①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有 种方法；
②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有 种方法；
则不同的放球方法有10种.
故选： .
6．函数 的最小正周期是 ，若将该函数的图象向右平移 个单位长度
后得到的函数图象关于点 对称，则函数 的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数的最小正周期求出 ，再求出图像变换后的解析式 ，利用其
对称中心为 求出 的值即得解.
【详解】因为函数 的最小正周期是 ，所以 ，解得 .
所以 .
将该函数的图象向右平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数解析为 .由题得 .
因为函数 的解析式 .
故选 D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像变换，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平，属于基础题.
7．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的性质进行比较大小，比较 的大小时要引入中间值，比较 的大小时需要作
比，即可选出答案.
【详解】因为 ，
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
故选：D.
8．已知函数 （其中 ， ）有两个零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的零点个数、方程的解个数与函数图象的交点个数之间的关系可得方程有2个不同的解，构造函数 ，利用导数研究函数 的性质可得
，即函数 与 图象在 上有2个交点，利用导数求出 ，即可求解.
【详解】函数 有2个零点，
则方程 有2个不同的解，
方程 ，
设函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，由 ，
得 ，即 ，则函数 与 图象在 上有2个交点.
设函数 ，则 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
二、多选题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
底面ABCD，M为PA的中点，则下列叙述中正确的是（ ）A．PC//平面MBD
B． 平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
【答案】CD
【分析】利用反证法，根据线面平行的性质定理，结合题意，可判断A的正误；利用反证法，根据线面垂
直的性质定理，可判断B的正误；根据异面直线成角的几何求法，即可判断C的正误；根据线面角的几何
求法，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】设 ，则E不是 中点，假设 平面
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
因为M为 中点，所以E是 中点，与题意矛盾，所以A错；
假设 平面 ，则 ，
因为直角梯形ABCD所， ，
所以知 与 不垂直，与假设矛盾，故B错；
因为 ，所以异面直线 与 所成的角就是直线 与 所成的角，为 ，
因为 是等腰直角三角形，所以 ，
故异面直线 与 所成的角是 ，所以C对．
因为 底面 ，
所以直线 与底面 所成的角为 ，
又因为 ， ，所以 ，所以D对．
故选：CD．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 有三个零点 B． 有两个极值点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数 的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关
于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.
【详解】 ， ，
令 ，解得： 或 ，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
的极小值为： ，
的极大值为： ，
有三个零点， 有两个极值点，A、B正确；对于C，若点 是曲线 的对称中心，则有 ，
将函数 代入上式验证得：
，C正确；
对于D， ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，
切线方程为： 或 ，D错误.
故选：ABC.
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，
反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：
，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点 射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B
反射后，沿直线 射出，经过点N.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则MB平分
C．若 ，则 D．若 ，延长 交直线 于点D，则D，B，N三
点共线
【答案】CD
【分析】对AB：根据已知条件，求得 的坐标，结合抛物线焦点弦的计算，以及 的长度关
系，即可判断；对CD：根据已知条件，求得 的坐标，即可求得 ，再结合直线 的方程，求
得 的坐标，即可判断.【详解】对A：若 ，则抛物线方程为 ，其焦点 坐标为 ，
由题可知，此 点坐标为 ，又 三点共线，则直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，联立抛物线方程可得： ，即 ，
解得 ，即 ，代入抛物线方程可得 ，则点 的坐标为 ，
故 ，故A错误；
对B：根据题意，作图如下：
根据选项A中所求可得 ，又 ，故 ，
则△ 中， ，又 // ， ，则 ，
即 不平分 ，故B错误；
对C：若 ，此时抛物线方程为 ，则焦点 坐标为 ，则 点坐标为 ，
又 三点共线，且所在直线为 ，对 ，令 ，解得 或 ，
即 ，则点 的坐标 ，故 ，C正确；
对D：根据题意，作图如下：根据选项C中所求，点 坐标为 ，故直线 的方程为： ，联立 可得， ，
即点 的坐标为 ，又点 的坐标我 ，且 与 轴平行，
故 三点共线，D正确.
故选：CD.
12．若函数 具有下列性质：①定义域为 ；②对于任意的 ，都有
；③当 时， ，则称函数 为 的函数.若函数 为 的函数，
则以下结论正确的是
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为单调递减函数 D． 为单调递增函数
【答案】AC
【分析】分析奇偶性：通过令值找到 与 之间的关系；分析单调性：通过令值找到
与 的大小关系.
【详解】 定义域关于原点对称，令 则有： ，令 ，则有 ，所
以 ，故 是奇函数；令 ， ，且 ，所以 ，又
且 ， ，则 ，即 ，所以，所以 是单调减函数.
故选AC.
【点睛】判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出 与
之间的关系以及 与 的大小.
三、填空题
13．若 的展开式中的常数项为 ，则实数 的值为________．
【答案】
【详解】 的通项公式为 ，则：
① ，
为常数时 ，则常数为 ，
② ，为常数时 ，不符，
③ ，为常数时 ，则常数为 ，
又 ， ．
故答案为：1．
【点睛】思路点睛：本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．求多项式乘积的某一项，
需结合多项式乘法法则，确定求出二项式 中的项与另一多项式中的项相乘符合要求的项，然后求得
结论．
14．已知圆C ：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C ：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆有________条公切线．
1 2
【答案】2
【分析】判断出两圆的位置关系，可得公切线条数．
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，圆 标准方程为，圆心为 ，半径为 ，又 ，故
，两圆相交，公切线有2条．
故答案为2．
【点睛】两圆内含时无公切线，内线时有一条公切线，相交时有两条公切线，外切时有三条公切线，相离
时有4条公切线．
15．下列四种说法：
①命题“ ，使得 ”的否定是“ ，都有 ”；
②“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的必要不充分条件；
③过点（ ，1）且与函数 图象相切的直线方程是 ．
④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出
的两个球恰好是同色的概率是 .
其中正确说法的序号是_________．
【答案】①④
【解析】①中特称命题的否定为全称命题；
②中求出“直线（m+2）x+my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3＝0相互垂直”的充要条件，再进行判
断；
③中利用导数求解验证即可；
④利用概率乘法和加法公式计算即可．
【详解】解：①中命题“∃x∈R，使得x2+1＞3x”为特称命题，其否定为全称命题，是“ ，都有
”，故①正确；
②中 时，两直线为：﹣2y+1＝0和﹣4x﹣3＝0，两直线垂直，
而两直线垂直时，有 ，解得m＝1或
所以“ ”是“直线 与直线 相互垂直”的充分不必要条件，
故②错误；
③若过点（ ，1）且与函数 图象相切的直线方程是 正确，设切点为P（x，y），
0 0
则函数 在P点处的切线的斜率为 ，
解得 ，所以切点为P ，
但切点P 不在切线 上，故③错误；
④一个袋子装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中，再取出一个球，则两次取出
的两个球恰好是同色的概率 ，故④正确．
故答案为：①④．
16．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过点 ，若 的内切圆周长为 ， ， 两
点的坐标分别为 ， ，则 ________．
【答案】 ##
【分析】由内切圆的周长为 ，可得半径为 ，结合椭圆定义可得
，再由 ，
分析即得解
【详解】在椭圆 中， ．
∵ 的内切圆的周长为 ，
∴ 内切圆的半径为 ．
由椭圆的定义得 的周长为 ，
又且 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
四、解答题
17．已知 是递增的等差数列， 且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由 可得 ，由 可得 ，解得 ，从而可得
通项；
（2）由 裂项求和可得结果.
【详解】设公差为 ，则 ，
（1）由等差数列的性质可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2） ，
所以
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量的计算，考查了等差数列的性质，考查了裂项求和，属于
基础题.
18．设 的内角 ， ， 所对的边长分别是 ， ， ，且满足 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由正弦定理得 结合余弦定理得 ，则B可求（2）由余弦定理得
，进而得 ，则面积可求
【详解】（1）
又
， ，
故
又 ，
.
（2）由余弦定理得：
，即
又.
【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积公式，熟记定理及面积公式是关键，是基础题
19．如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点.
（1）求证： 面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【详解】试题分析：（1）要证明线与面垂直，只需证明线与平面内的两条相交直线垂直，根据所给条件
证明 ，和 ；（2）根据等体积公式 进行转化为点到平面的距离．
试题解析：（1）取 中点 ，连结 ．
为正三角形， ．正三棱柱 中，平面 平面 ，
平面 ．
连结 ，在正方形 中， 分别为
的中点，
，
．
在正方形 中， ， 平面 ．
（2） 中， ， ．
在正三棱柱中， 到平面 的距离为 ．
设点 到平面 的距离为 ．由 得 ，
． 点 到平面 的距离为 ．
考点：1．线与面垂直的判定；2．等体积公式求点到面的距离．
20．疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济､
有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在已经接种疫苗的群体中随机抽取的100个样本，其中有60个接种了灭活疫苗，剩余40
个接种了核酸疫苗.根据样本数据绘制等高条形图（如图所示），其中两个深色条的高分别表示接种灭活疫
苗和核酸疫苗样本中抗体呈阳性的频率.现从这100个样本中随机抽取1人，已知事件“该样本接种了灭活
疫苗且抗体呈阳性”发生的概率为0.54.
(1)求等高条形图中a的值；
(2)请在答题卷中完成下面的列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果
存在差异？
灭活疫
核酸疫苗 总计
苗
抗体为阳性
抗体为阴性
总计 60 40 100
参考公式： ，其中
0.15 0.10 0.01
2.072 2.706 6.635
【答案】(1)
(2)列联表答案见解析，不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异【分析】（1）根据题意得 ，解方程即可得答案；
（2）结合题意得接种灭活疫苗抗体阳性的共有 人，接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有 人，进而完成
列联表，结合独立性检验求解即可.
(1)
解：依题意“1名受访者接种灭活疫苗且接种后抗体呈阳性”发生的概率为0.54，
所以
解得 ，所以
(2)
解：根据题意，接种灭活疫苗抗体阳性的共有： 人，
接种核酸疫苗后抗体呈阳性的共有： 人，
故列联表如下：
灭活疫苗 核酸疫苗 总计
抗体为阳性 54 34 88
抗体为阴性 6 6 12
总计 60 40 100
零假设为 接种两种疫苗效果无差异
根据列联表中的数据，得到
因为
所以不能在犯错概率不超过0.10的前提下认为两种疫苗的预防效果存在差异.
21．在一张纸片上，画有一个半径为4的圆（圆心为M）和一个定点N，且 ，若在圆上任取一
点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P．(1)若以MN所在直线为 轴，MN的垂直平分线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹
方程；
(2)在（1）基础上，在直线 ， 上分别取点G，Q，当G，Q分别位于第一、二象限时，若
， ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F，考虑点A在劣弧EF上和优弧EF上两种情况得
到 ，确定轨迹是双曲线，计算得到答案.
（2）设 ， ， ，通过向量计算得到 ，计算
，利用函数的单调性得到范围.
【详解】（1）（1）过点N作圆M的切线，切点分别为E，F．由题意知，BC是线段AN的垂直平分线，直线BC与直线AM交于点P，故 ，
当点A在劣弧EF上时，点P在射线MA上，所以 ；
当点A在优弧EF上时，点P在射线AM上，所以 ．
所以 ，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线．
设该双曲线的标准方程为 ，则 ， ，
所以 ， ， ，所以点P的轨迹方程为 ；
（2）（2）设 ， ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，即 ，
将点 的坐标代入双曲线方程有 ，
化简得 ．
设 的倾斜角为 ，故 ， ，故
．
因为 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，故 ．
【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，三角形的面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，根据对称得到线段之差为定值，进而确定轨迹为双曲线是解题的关键.
22．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）讨论关于 的方程 的实根的个数.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】(1)对函数 求导，按m为正和非正讨论导函数值的正负而得解；
(2)对方程 作等价转化，再借助导数分类讨论函数 的零点个数即可得
解.
【详解】（1）定义域为： .
当 时， 在 上递减；
当 时，令 ，则
当 递减；当 递增；在 上递减，在 上递增
综合得：当 时， 在 上递减；
当 时， 在 上递减，在 上递增；
（2）由 得： ，即 ， ，
令 ，原问题等价于函数 在 上的零点的个数，
而 ，即 是 的一个零点，
又 ，即 在 和 上有零点时，零点互为倒数，故只需讨论函数 在 上
的零点即可，
当 时，
(i)当 时， 在 上递增， ， 在 上没有零点；
(ii)当 时，则 ，显然 ，
令 则 ，
①当 ，即 时， ，则 在 上递增， ， 在
上没有零点；
②当 ，即 时，则 有两个不等实根 ，不妨令 ，则 ，显然
，故 ，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
则 在 上递减，在 上递增，当 时， ，
当 时， 无零点，
又 ， ， ，
所以 ，而 ，即 在 上有且仅有一个
零点，
则 在 上有且仅有一个零点，故 在 上有且仅有一个零点，
当 时， 在 上无零点，当 时， 在 上有且仅有一个零点，
由 在 和 上的零点互为倒数知：当 时， 在 上无零点，当 时， 在
上有且仅有一个零点，
而当 时， 总是 的一个零点，
所以当 时， 仅有一个零点，当 时， 有三个零点，
即当 时，方程 仅有一个实根，当 时，方程 有三个实根.
【点睛】关键点睛：含参数的函数零点个数问题，等价转化为易于处理的新函数零点个数是解决问题的关
键.
