文档内容
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ， ， ， ，
若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“不等式 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．设 ，则函数 的最小值为（ ）
A．0 B． C．-1 D．6． 是虚数单位，复数 满足 ，其中 . ：“复数 在复平面内对应的点在第一象限”，
则下列条件是 的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．设S是整数集Z的非空子集，如果任意的 ，有 ，则称S关于数的乘法是封闭的.若 、 是
Z的两个没有公共元素的非空子集， ．若任意的 ，有 ，同时，任意的 ，
有 ，则下列结论恒成立的是( )
A． 、 中至少有一个关于乘法是封闭的
B． 、 中至多有一个关于乘法是封闭的
C． 、 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． 、 中每一个关于乘法都是封闭的
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知 表示集合 的整数元素的个数，若集合 （ ）
A． B．
C． D．
10．下列结论正确的是（ ）A．若a，b为正实数， ，则
B．若a，b，m为正实数， ，则
C．若 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．不等式 成立的充分不必要条件是 ，则m的取值范围是
11．设 ， ， 是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 或 B．若 且 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
12．若 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最大值 B． 有最大值2
C． 有最小值4 D． 有最小值
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设命题 ： ， .写出一个实数 ，使得 为真命题.
14．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会
打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个
体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人
数为 ．
15．若复数z满足 ，则 的最小值为
16．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
设命题 ：“对任意 ， 恒成立”．且命题 为真命题．(1)求实数 的取值集合 ；
(2)在（1）的条件下，设非空集合 ，若“ ”是“ ”的充分条件，求实数
的取值范围．
18．（12分）
已知复数 ， ，其中i为虚数单位，且满足 ，且 为纯虚数.
(1)若复数 ， 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
(2)求 ；
(3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程 的一个根，求实数m，n的值.
19．（12分）
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活
动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商
品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高定价到 元．公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣
传费用，投入 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可
能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．20．（12分）
已知关于 的不等式 的解集为 或 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 ， 且满足 时，有 恒成立，求 的取值范围.
21．（12分）
已知函数 ．
(1)若不等式 的解集是空集，求m的取值范围；
(2)当 时，解不等式 ；
(3)若不等式 的解集为D，若 ，求m的取值范围．
22．（12分）
已知集合 的元素全为实数，且满足：若 ，则 ．
(1)若 ，求出 中其它所有元素；
(2)0是不是集合 中的元素？请你设计一个实数 ，再求出 中的所有元素？(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
