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培优点 2 对数平均不等式、切线不等式
在高考压轴题中，经常考查与导数有关的不等式问题，这些问题可以用常规方法求解，
也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解，起到事半功倍的效果．
考点一 对数平均不等式
例1 若a＞0，b＞0，a≠b，求证：＜＜.
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规律方法 该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题处理，即将看成一个
新对象(整体)，从而进行降维打击．
跟踪演练1 已知函数f(x)＝－x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x，x，证明：＜a－2.
1 2
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考点二 以泰勒公式为背景的切线不等式
泰勒公式：将函数展开为一个多项式与一个余项的和．
f(x)＝f(x)＋f′(x)(x－x)＋(x－x)2＋…＋(x－x)n＋R(x)，
0 0 0 0 0 n
其中余项R(x)＝(x－x)n＋1(ξ在x 与x之间)，
n 0 0
当x＝0时为麦克劳林公式．
0
其中ex与ln(1＋x)的麦克劳林公式为
ex＝1＋x＋x2＋x3＋o(x3)，
ln(1＋x)＝x－x2＋x3＋o(x3)，
从中截取片段就构成了常见的不等式：
ex≥1＋x或ex≥1＋x＋(x≥0)，
ln(1＋x)≤x(x≥0)或ln x≤x－1(x>0)，ln(1＋x)≥x－(x≥0)，
例2 设函数f(x)＝aexln x＋，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
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规律方法 指数的放缩．形如：
ex－1≥x－1＋1⇒ex≥ex，
≥e·⇒ex≥xn.
对数的放缩．形如：
eln x≥1＋ln x⇒ln x≤x－1⇒ln(1＋x)≤x，
ln<⇒ln(x＋1)－ln x<，
ln<－
⇒ln(1＋x)－ln x>，
ln ≤－1⇒x≥eln x.
跟踪演练2 已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x(a∈R)．
(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递增区间；
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(2)当a＝0时，证明：f(x)<2ex－x－4.
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